1.5.4.4 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第四节 三角函数的图像与性质 第四课时 正切函数的性质与图象

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教材考点
学习目标
核心素养
正切函数的定义域与值域
掌握正切函数的定义域、值域
数学抽象
正切函数的单调性及应用
会利用正切函数图象研究其单调性，并利用单调性解决其相应问题
直观想象、逻辑推理
正切函数的周期性与奇偶性
掌握正切函数的周期性及奇偶性
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P209－P212，并思考以下问题：
1．如何借助单位圆画正切函数图象？
2．正切函数的性质与正弦函数性质有何不同？
3．正切函数在定义域内是不是单调函数？
函数y＝tan
x的图象与性质
解析式
y＝tan
x
图象
定义域
值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
对称中心(k∈Z)
■微思考
(1)能说正切函数y＝tan
x为单调增函数吗？
提示：正切函数在每一个开区间(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数，无单调递减区间．
(2)正切函数y＝tan
x的图象与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？
提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
(3)正切曲线是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？是轴对称图形吗？
提示：y＝tan
x是中心对称图形，对称中心为(k∈Z)，不是轴对称图形．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
(2)正切函数在整个定义域上是增函数．(　　)
(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．(　　)
(4)存在某个区间，使正切函数为减函数．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．函数f(x)＝tan的定义域是(　　)
A.
B．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}
C.
D.
答案：D
3．函数y＝tan的最小正周期为(　　)
A.　　　　　　　　　　
B．π
C．2π　　　　
D．3π
答案：A
4．函数f(x)＝tan
x在[－，]上的最小值为________．
答案：－
5．函数y＝tan的单调递增区间是________．
答案：(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z
探究点1　正切函数的定义域、值域
(1)函数
y＝tan(2x－)的定义域是________．
(2)函数y＝tan2x＋4tan
x－1的值域是________．
【解析】　(1)因为
2x－≠＋kπ(k∈Z)?x≠＋(k∈Z)，所以定义域为{x}．
(2)令t＝tan
x，则t∈R，故y＝t2＋4t－1＝(t＋2)2－5≥－5，所求的值域为[－5，＋∞)．
【答案】　(1)　(2)[－5，＋∞)
(1)求正切函数定义域的方法
①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan
x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
②求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
(2)求正切函数值域的方法
①对于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域．
②对于与y＝tan
x相关的二次函数，可以把tan
x看成整体，利用配方法求值域．　
　
1．函数y＝3tan(π＋x)，－解析：函数y＝3tan(π＋x)＝3tan
x，因为正切函数在(－，]上是增函数，所以－3答案：(－3，]
2．函数y＝lg(－tan
x)的定义域为________．
解析：因为－tan
x＞0，所以tan
x＜.
又因为tan
x＝时，x＝＋kπ(k∈Z)，
根据正切函数图象，得kπ－＜x＜kπ＋(k∈Z)．
答案：
探究点2　正切函数的单调性及其应用
(1)求y＝tan的单调区间．
(2)比较tan
π与tan的大小．
【解】　(1)由题意，kπ－即kπ－所以2kπ－故单调递增区间为
(k∈Z)．　
(2)tan
π＝tan＝tan
，
tan＝－tan
π
＝－tan
＝－tan＝tan
，
因为－＜＜＜，
y＝tan
x在上单调递增，
所以tan
＜tan
，
即tan
π＞tan.
(变条件)本例(1)中函数变为y＝tan(－x＋)，求该函数的单调区间．
解：y＝tan(－x＋)
＝－tan(x－)，
由kπ－得2kπ－所以函数y＝tan(－x＋)的单调递减区间是(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z.
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝Atan(ωx＋φ)(A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法
①若ω＞0，由于y＝tan
x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－＜ωx＋φ＜kπ＋，k∈Z，解得x的范围即可．
②若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝Atan(ωx＋φ)转化为y＝Atan[－(－ωx－φ)]＝－Atan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可．　
　函数
f(x)＝tan的单调递增区间为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选
A．由
kπ－2k－f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
探究点3　正切函数奇偶性和周期性的应用
画出函数y＝|tan
x|的图象，并根据图象判断其单调区间、奇偶性、周期性．
【解】　由y＝|tan
x|，得
y＝
其图象如图所示．
由图象可知，函数y＝|tan
x|是偶函数，单调递增区间为(k∈Z)，
单调递减区间为(－＋kπ，kπ](k∈Z)，周期为π.
正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期．
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．　
　已知函数y＝tan(ωx＋)(ω<0)的周期为，求该函数的定义域、值域，并判断奇偶性．
解：y＝tan(ωx＋)(ω<0)的周期为＝，解得ω＝2或ω＝－2.
因为ω<0，所以ω＝－2，
故y＝tan(－2x＋)＝－tan(2x－)．
由2x－≠kπ＋(k∈Z)，解得x≠＋(k∈Z)，
所以该函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}，值域为R.
由于该函数的定义域不关于原点对称，所以该函数既不是奇函数也不是偶函数．
1．函数f(x)＝|tan
2x|是(　　)
A．周期为π的奇函数
B．周期为π的偶函数
C．周期为的奇函数
D．周期为的偶函数
解析：选D.f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan
2x|＝f(x)为偶函数，T＝.
2．下列图形分别是①y＝|tan
x|；②y＝tan
x；③y＝tan(－x)；④y＝tan|x|在x∈内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　)
A．①②③④　　　　　　　
B．①③④②
C．③②④①
D．①②④③
解析：选D.y＝tan(－x)＝－tan
x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③，故选D.
3．比较大小：tan
________tan.
解析：因为tan＝tan，tan＝tan
，又
0<<<，y＝tan
x在内单调递增，
所以
tantan答案：<
4．求函数y＝tan(3x－)的定义域、周期，并指出它的单调区间．
解：要使函数有意义，自变量x的取值应满足3x－≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)，
所以函数的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
函数的周期T＝.
令kπ－<3x－即－所以函数的单调递增区间为(－，＋)(k∈Z)，不存在单调递减区间．
[A　基础达标]
1．当x∈(－，)时，函数y＝tan
|x|的图象(　　)
A．关于原点对称　　　　　
B．关于y轴对称
C．关于x轴对称
D．无法确定
解析：选B.函数y＝tan
|x|，在x∈(－，)上是偶函数，其图象关于y轴对称．故选B.
2．与函数y＝tan(2x－)的图象不相交的一条直线是(　　)
A．x＝
B．x＝－
C．x＝
D．x＝－
解析：选D.当x＝－时，2x－＝－，而－的正切值不存在，所以直线x＝－与函数的图象不相交．
3．函数y＝的值域是(　　)
A．(－1，1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，1)
D．(－1，＋∞)
解析：选B.因为－＜x＜，
所以－1＜tan
x＜1，
所以∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.
4．函数y＝tan在一个周期内的图象是下图中的　(　　)
解析：选A.由函数周期T＝＝2π，
排除选项B、D.
将x＝π代入函数解析式中，得
tan＝tan
0＝0，
故函数图象与x轴的一个交点为.
5．在(0，2π)内，使
tan
x>1
成立的
x
的取值范围为(　　)
A.
B.
C.∩
D.∪
解析：选
D．因为
x∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使
tan
x>1
成立的
x
的取值范围为∪.
6．函数y＝tan(＋6x)的定义域为________．
解析：由＋6x≠kπ＋(k∈Z)，得x≠＋(k∈Z)．
答案：{x|x≠＋，k∈Z}
7．函数y＝tan(＋)，x∈(0，)的值域是________．
解析：因为0所以1答案：(1，)
8．函数
f(x)＝tan的单调减区间为________．
解析：因为
f(x)＝tan＝－tan，所以原题即求函数
y＝tan的单调增区间．由
kπ－kπ－f(x)＝tan
的单调减区间为，k∈Z.
答案：，k∈Z
9．求函数y＝tan
2x的定义域、值域、周期、奇偶性和单调区间．
解：设t＝2x，
(1)定义域：y＝tan
2x＝tan
t，要使函数y＝tan
t有意义，必须且只需t≠kπ＋，k∈Z，　
即2x≠kπ＋，k∈Z，所以x≠＋，k∈Z.　
所以函数y＝tan
2x的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
(2)值域：由t≠kπ＋，k∈Z知y＝tan
t的值域为(－∞，＋∞)，
即y＝tan
2x的值域为(－∞，＋∞)．
(3)周期：(定义法)由tan
2(x＋)＝tan(2x＋π)＝tan
2x，所以y＝tan
2x的周期为.
(公式法)正切函数y＝tan
2x的周期T＝＝.
(4)奇偶性：定义域关于原点对称．令y＝f(x)＝tan
2x，则f(x)满足：f(－x)＝tan(－2x)＝－tan
2x＝－f(x)，所以y＝tan
2x为奇函数．
(5)单调区间：y＝tan
t的单调递增区间为(kπ－，kπ＋)，k∈Z，
所以y＝tan
2x的单调递增区间为(－，＋)，k∈Z.
10．比较下列两个正切值的大小：
(1)tan
167°，tan
173°；
(2)tan，tan.
解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y＝tan
x在(90°，180°)上为增函数，
所以tan
167°173°.
(2)因为tan＝tan，
tan＝tan，
且0<<<，y＝tan
x在上为增函数，
所以tan即tan[B　能力提升]
11．(多选)下列说法错误的是(　　)
A．tan>tan
B．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为
C．函数y＝2tan
x的值域是[2，＋∞)
D．y＝tan
x在第一、四象限是增函数
解析：选ABD.A错误，tan＝tan＝tan，
因为0<<<，
函数y＝tan
x在上单调递增，
所以tanB错误，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为；
C正确，因为≤x<，
所以由函数的单调性可知y＝2tan
x≥2；
D错误，y＝tan
x在每个区间(k∈Z)上都是增函数，但不能说在第一、四象限是增函数．故选ABD.
12．已知函数y＝tan
ωx在内是减函数，则　(　　)
A．0＜ω≤1
B．－1≤ω＜0
C．ω≥1
D．ω≤－1
解析：选B.因为y＝tan
ωx在内是减函数，
所以ω＜0且T＝≥π.
所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.
13．(一题两空)设函数
f(x)＝tan.
(1)函数f(x)的单调区间为________；
(2)不等式f(x)≤的解集为________．
解析：(1)令
kπ－<－得
2kπ－故函数的增区间为
，k∈Z.
(2)求不等式
f(x)≤
，
即
tan≤
，
所以
kπ－<－≤kπ＋，k∈Z，　
求得
2kπ－故不等式的解集为
，k∈Z.
答案：(1)(2kπ－，2kπ＋π)，k∈Z
(2)，k∈Z
14．画出函数y＝|tan
x|＋tan
x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期．
解：因为y＝|tan
x|＋tan
x
＝
所以画出函数y＝|tan
x|＋tan
x的图象，
如图所示：
则该函数的定义域是
，
值域是[0，＋∞)，
单调递增区间是[kπ，kπ＋)，k∈Z，
最小正周期是π.
[C　拓展探究]
15．设函数y＝10tan[(2k－1)·]，k∈N
.当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时至少有两次失去意义，求k的最小正整数值．
解：由题意可得，当x在任意两个连续整数间(包括整数本身)变化时，至少包含函数的2个周期，故函数的最小正周期T满足T≤，即≤，
求得k≥，故k的最小正整数值为17.
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