1.5.5.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第五节 三角恒等变换 第一课时 两角差的余弦公式

教材考点
学习目标
核心素养
两角差的余弦公式
理解两角差的余弦公式的推导过程
逻辑推理
两角差的余弦公式的应用
能利用公式进行计算、化简及求值
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P215－P217，并思考以下问题：
1．两角差的余弦公式是什么？
2．公式中的α、β是任意的吗？
两角差的余弦公式
公式
cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β
简记符号
C(α－β)
使用条件
α，β为任意角
(1)公式的结构特征是怎样的？
提示：左端为两角差的余弦，右端为角α，β的同名三角函数积的和，即差角余弦等于同名积之和．
(2)公式中的角α，β可以为几个角的组合吗？
提示：可以．公式中α，β都是任意角，可以是一个角，也可以是几个角的组合．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对?α，β∈R，cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β都成立．(　　)
(2)对于?α，β，cos(α－β)＝cos
α－cos
β都不成立．(　　)
答案：(1)√　(2)×
2．cos
43°cos
13°＋sin
43°sin
13°的值为(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
答案：C
3．cos
15°＝________．
答案：
探究点1　两角差的余弦公式的简单应用
求下列各式的值：
(1)cos(－375°)；
(2)coscos＋cossin；
(3)cos
105°＋sin
105°.
【解】　(1)cos(－375°)＝cos
375°＝cos
15°
＝cos(45°－30°)
＝cos
45°cos
30°＋sin
45°sin
30°
＝×＋×＝.
(2)coscos＋cossin
＝coscos＋sinsin
＝cos
＝cos＝.
(3)cos
105°＋sin
105°
＝cos
60°cos
105°＋sin
60°sin
105°
＝cos(60°－105°)＝cos(－45°)＝.
利用两角差的余弦公式求值的一般思路
(1)把非特殊角转化为特殊角的差，正用公式直接求解．
(2)在逆用公式解题时，还要善于将特殊的值变形为某特殊角的三角函数值．　
1．化简＝________．
解析：原式＝
＝＝.
答案：
2．化简下列三角函数的值．
(1)cos
75°＋sin
75°；
(2)coscos
θ＋sinsin
θ.
解：(1)cos
75°＋sin
75°
＝cos
30°cos
75°＋sin
30°sin
75°
＝cos(30°－75°)＝cos(－45°)
＝.
(2)coscos
θ＋sinsin
θ
＝cos[－θ]＝cos
＝.
探究点2　给值求值
(1)已知cos
α＝，α是第四象限角，sin
β＝，β是第二象限角，求cos(α－β)的值．
(2)已知α，β∈，且sin
α＝，cos(α＋β)＝－，求cos
β的值．
【解】　(1)因为cos
α＝，α是第四象限角，
所以sin
α＝－＝
－＝－，
因为sin
β＝，β是第二象限角，
所以cos
β＝－＝
－＝－，
则cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
(2)因为α，β∈，所以0＜α＋β＜π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝，
又sin
α＝，所以cos
α＝，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
(变条件)若把本例(2)中的“α，β∈”改为“α，β∈”，求cos
β的值．
解：因为α，β∈，所以π＜α＋β＜2π，
由cos(α＋β)＝－，得sin(α＋β)＝－，
又sin
α＝，
所以cos
α＝－，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×
＝－.
给值求值问题的解题策略
(1)从角的关系中找解题思路：已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．
(2)常见角的变换：①α＝(α－β)＋β；②α＝＋；
③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．　
1．已知sin
α＝，α∈，则cos的值为________．
解析：因为sin
α＝，α∈，
所以cos
α＝－
＝－＝－，
所以cos＝coscos
α＋sinsin
α＝×＋×＝.
答案：
2．已知sin＝，且π<α<π，求cos
α的值．
解：因为π<α<π，
所以π<α＋<2π.所以cos>0，
所以cos＝＝＝，
所以cos
α＝cos＝
coscos
＋sin
sin
＝×＋×＝.
探究点3　给值求角
已知cos
α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求β的值．
【解】　因为α，β∈且cos
α＝，cos(α＋β)＝－，所以α＋β∈，
所以sin
α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又因为β＝(α＋β)－α，
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
又因为β∈，所以β＝.
解给值求角问题的一般步骤
(1)确定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．　
　已知α，β均为锐角，且cos
α＝，cos
β＝，则α－β＝________．
解析：因为α，β均为锐角，所以sin
α＝，sin
β＝.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β
＝×＋×＝.
又sin
α＜sin
β，所以0＜α＜β＜，
所以－＜α－β＜0.故α－β＝－.
答案：－
1．cos
56°cos
26°＋sin
56°cos
64°的值为(　　)
A.　　　　B．－　　　　C.　　　　D．－
解析：选C.原式＝cos
56°cos
26°＋sin
56°sin
26°
＝cos(56°－26°)＝cos
30°＝.
2．已知α是锐角，sin
α＝，则cos＝________．
解析：因为α是锐角，sin
α＝，
所以cos
α＝，
所以cos＝coscos
α＋sinsin
α
＝×＋×＝.
答案：
3．计算：sin
60°＋cos
60°＝________．
解析：原式＝sin
30°sin
60°＋cos
30°cos
60°
＝cos(60°－30°)＝cos
30°＝.
答案：
4．若0<α<，－<β<0，cos
α＝，cos＝，求cos的值．
解：由cos
α＝，0<α<，所以sin
α＝.
由cos＝，－<<0，所以sin＝－，
所以cos＝cos
αcos＋sin
αsin
＝×＋×＝－.
[A　基础达标]
1．cos
20°＝(　　)
A．cos
30°cos
10°－sin
30°sin
10°
B．cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°
C．sin
30°cos
10°－sin
10°cos
30°
D．cos
30°cos
10°－sin
30°cos
10°
解析：选B.cos
20°＝cos(30°－10°)＝cos
30°cos
10°＋sin
30°sin
10°.
2．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)＝(　　)
A.　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
解析：选A.原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)·sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]
＝cos(－60°)＝.
3．设α∈，若sin
α＝，则cos等于(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：选B.因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝，
所以原式＝
＝cos
α＋sin
α＝＋＝.
4．若sin
αsin
β＝1，则cos(α－β)＝(　　)
A．0
B．1
C．±1
D．－1
解析：选B.由sin
αsin
β＝1可知，sin
α＝1，sin
β＝1或sin
α＝－1，sin
β＝－1，此时均有cos
α＝cos
β＝0，从而cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝0＋1＝1.
5．已知锐角α，β满足cos
α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A.因为α，β为锐角，cos
α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin
α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos(2π－β)＝cos
β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α
＝×＋×＝.
6．cos
2
072°cos
212°＋sin
2
072°sin
212°＝________．
解析：cos
2
072°cos
212°＋sin
2
072°sin
212°
＝cos(2
072°－212°)＝cos
1
860°＝cos
60°＝.
答案：
7．(2020·济南检测)已知cos＝，则cos
α＋sin
α的值为________．
解析：因为cos＝coscos
α＋sinsin
α＝cos
α＋sin
α＝，
所以cos
α＋sin
α＝.
答案：
8．在△ABC中，sin
A＝，cos
B＝－，则cos(A－B)＝________．
解析：因为cos
B＝－，且0B＝＝＝，且0A＝＝＝，所以cos(A－B)＝cos
Acos
B＋sin
Asin
B＝×＋×＝－.
答案：－
9．求下列各式的值．
(1)cos
105°；
(2)cos
75°cos
15°－sin
255°sin
15°.
解：(1)原式＝cos(150°－45°)
＝cos
150°cos
45°＋sin
150°sin
45°
＝－×＋×＝.
(2)原式＝cos
75°cos
15°＋sin
75°sin
15°
＝cos(75°－15°)
＝cos
60°＝.
10．若x∈，且sin
x＝，求2cos＋2cos
x的值．
解：因为x∈，sin
x＝，
所以cos
x＝－.
所以2cos＋2cos
x
＝2＋2cos
x
＝2＋2cos
x
＝sin
x＋cos
x
＝－＝.
[B　能力提升]
11．(多选)已知α，β，γ∈，sin
α＋sin
γ＝sin
β，cos
β＋cos
γ＝cos
α，则下列说法正确的是(　　)
A．cos(β－α)＝
B．cos(β－α)＝－
C．β－α＝
D．β－α＝－
解析：选AC.由已知，得sin
γ＝sin
β－sin
α，cos
γ＝cos
α－cos
β.
两式分别平方相加，得(sin
β－sin
α)2＋(cos
α－cos
β)2＝1.
所以－2cos(β－α)＝－1，
所以cos(β－α)＝，
所以A正确，B错误．
因为sin
γ＝sin
β－sin
α>0，
所以β>α，
所以β－α＝，
所以C正确，D错误，故选AC.
12．(一题两空)已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0<β<α<，则cos
β＝________，β＝________．
解析：因为sin(π－α)＝sin
α＝，
0<α<，所以cos
α＝，
又因为0<β<α<，
所以0<α－β<，
又cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝.
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
α·sin(α－β)＝×＋×＝＝.
又因为0<β<，
所以β＝.
答案：　
13．化简：＝________．
解析：原式＝
＝
＝
＝＝.
答案：
14．已知A(cos
α，sin
α)，B(cos
β，sin
β)，其中α，β为锐角，且|AB|＝.
(1)求cos(α－β)的值；
(2)若cos
α＝，求cos
β的值．
解：(1)由|AB|＝，
得
＝，
所以2－2(cos
αcos
β＋sin
αsin
β)＝，
所以cos(α－β)＝.
(2)因为cos
α＝，
cos(α－β)＝，α，β为锐角，
所以sin
α＝，sin(α－β)＝±.
当sin(α－β)＝时，
cos
β＝cos[α－(α－β)]＝
cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝.
当sin(α－β)＝－时，
cos
β＝cos[α－(α－β)]＝
cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝0.
因为β为锐角，所以cos
β＝.
[C　拓展探究]
15．已知cos(α－β)＝－，cos(α＋β)＝，且α－β∈，α＋β∈，求角β的值．
解：由α－β∈，cos(α－β)＝－，
可知sin(α－β)＝，
又因为α＋β∈，cos(α＋β)＝，
所以sin(α＋β)＝－，
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－1.
因为α－β∈，α＋β∈，
所以2β∈，所以2β＝π，故β＝.