1.5.5.3 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第五节 三角恒等变换 第三课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式习题课

探究点1　三角函数公式逆用
求值：(1)sin
－cos
；
(2).
【解】　(1)sin
－cos
＝2
＝2sin＝2sin
＝－.
(2)＝
＝tan(60°－15°)＝tan
45°＝1.
(1)在逆用两角的和与差的正弦和余弦公式时，首先要注意结构是否符合公式特点，其次注意角是否满足要求．
(2)注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造成适合公式的形式．　
1．cos
24°cos
36°－cos
66°cos
54°的值等于(　　)
A．0　　　　　　　　　　　
B.
C.
D．－
解析：选B.因为cos
24°cos
36°－cos
66°cos
54°＝cos
24°cos
36°－sin
24°sin
36°＝cos(24°＋36°)＝cos
60°＝.故选B.
2．已知sin
α＋cos＝，则sin的值是________．　
解析：sin
α＋cos＝sin
α＋cos
αcos
＋sin
α·sin
＝sin
α＋cos
α＝＝
＝
sin＝.
所以sin＝.
所以sin＝－sin
＝－.
答案：－
3．设a＝sin
14°＋cos
14°，b＝sin
16°＋cos
16°，则a，b的大小关系是________(用“<”连接)．
解析：a＝sin(14°＋45°)＝sin
59°，
b＝sin(16°＋45°)＝sin
61°，
由y＝sin
x在(0°，90°)上的单调性可知a答案：a探究点2　三角函数公式的活用
计算：(1)tan
＋tan
＋tan
tan
；
(2)(1＋tan
21°)(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)(1＋tan
24°)．
【解】　(1)tan＋tan＋tantan＝tan(1－tantan)＋tantan＝＋tantan＝.
(2)(1＋tan
21°)(1＋tan
24°)＝1＋tan
21°＋tan
24°＋tan
21°
tan
24°＝1＋tan(21°＋24°)(1－tan
21°tan
24°)＋tan
21°tan
24°＝1＋(1－tan
21°tan
24°)tan
45°＋tan
21°·
tan
24°＝1＋1－tan
21°tan
24°＋tan
21°·tan
24°＝2，
同理可得(1＋tan
22°)(1＋tan
23°)＝2，
所以原式＝2×2＝4.
正切函数公式的变形结论
tan(α＋β)(1－tan
αtan
β)＝tan
α＋tan
β；
tan
α＋tan
β＋tan
αtan
βtan(α＋β)＝tan(α＋β)；
tan
α－tan
β＝tan(α－β)(1＋tan
αtan
β)；
tan
α－tan
β－tan
αtan
βtan(α－β)＝tan(α－β)．　
1．计算：tan
73°＋tan
193°－tan
73°tan
13°＝________．
解析：原式＝tan
73°－tan
13°－tan
73°tan
13°
＝tan(73°－13°)(1＋tan
73°tan
13°)－tan
73°tan
13°＝.
答案：
2．已知△ABC中，tan
Atan
B－tan
A－tan
B＝，则C的大小为________．
解析：依题意有＝－，
即tan(A＋B)＝－.
又因为0所以A＋B＝，
所以C＝π－A－B＝.
答案：
探究点3　三角函数式的化简
化简：(1)(tan
10°－)·；
(2)sin(α＋β)cos
α－[sin(2α＋β)－sin
β]．
【解】　(1)原式＝(tan
10°－tan
60°)·
＝·
＝·
＝－·＝－＝－2.
(2)原式＝sin(α＋β)cos
α－[sin(α＋α＋β)－sin(α＋β－α)]＝sin(α＋β)cos
α－[sin
αcos(α＋β)＋cos
αsin(α＋β)－sin(α＋β)cos
α＋cos(α＋β)sin
α]＝sin(α＋β)cos
α－×2sin
αcos(α＋β)＝sin(α＋β)cos
α－cos(α＋β)sin
α＝sin(α＋β－α)＝sin
β.　
三角函数式的化简要遵循“三看”原则，即一看角，二看名，三看式子的结构与特征．
(1)看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角；
(2)看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化；
(3)看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形使用这些公式．　
　化简：(1)sin
θ＋sin
＋sin
；
(2)[2sin
50°＋sin
10°(1＋tan
10°)]×.
解：(1)原式＝sin
θ＋sin
θ·cos
＋cos
θsin
＋sin
θcos
＋cos
θsin
＝sin
θ－sin
θ＋cos
θ－sin
θ－cos
θ＝0.　
(2)原式＝×sin
80°＝
×cos
10°
＝2(sin
50°cos
10°＋sin
10°cos
50°)
＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.
1．sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝(　　)
A．－　　　　　　　　　
B.
C．－
D.
解析：选D.sin
20°cos
10°－cos
160°sin
10°＝sin
20°cos
10°＋cos
20°sin
10°＝sin(20°＋10°)＝sin
30°＝，故选D.
2．函数y＝sin＋sin的最小值为(　　)
A.
B．－2
C．－
D.
解析：选C.因为y＝sin＋sin＝sin
2xcos＋cos
2x·sin＋sin
2xcos－cos
2xsin＝sin
2x，所以所求函数的最小值为－.
3．已知A，B都是锐角，且tan
A＝，sin
B＝，则A＋B＝________．
解析：因为B为锐角，sin
B＝，
所以cos
B＝，
所以tan
B＝，
所以tan(A＋B)＝＝＝1.
因为0答案：
4．已知sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α＝，β是第三象限角，求sin(β＋)的值．
解：因为sin(α－β)cos
α－cos(β－α)sin
α
＝sin(α－β)cos
α－cos(α－β)sin
α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin
β＝.
所以sin
β＝－，又β是第三象限角，
所以cos
β＝－＝－，
所以sin＝sin
βcos
＋cos
βsin
＝×＋×
＝－.
[A　基础达标]
1．sin
20°cos
40°＋cos
20°sin
140°＝(　　)
A．－　　　　　　　　　
B.
C．－
D.
解析：选B.sin
20°cos
40°＋cos
20°sin
140°＝sin
20°cos
40°＋cos
20°sin
40°＝sin(20°＋40°)＝sin
60°＝.
2．若cos(α－β)＝，则(sin
α＋sin
β)2＋(cos
α＋cos
β)2＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A.原式＝2＋2(sin
αsin
β＋cos
αcos
β)＝2＋2cos(α－β)＝2＋2×＝.
3．已知在△ABC中，cos＝－，那么sin
＋cos
A＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选A.因为cos
＝sin
＝sin＝－，
所以sin
＋cos
A＝sin
A＋cos
A
＝
＝sin
＝－.
4.sin＋sin的化简结果是(　　)
A．2sin
B．2sin
C．2sin
D．2sin
解析：选A.sin
＋sin
＝sin
＋sin
　
＝cos＋sin
＝2
＝2
＝2sin
＝2sin.
5．若α＋β＝，则(1－tan
α)·(1－tan
β)等于(　　)
A.
B．2
C．1＋
D．2(tan
A＋tan
B)
解析：选B.由题可得tan(α＋β)＝＝－1，所以tan
α＋tan
β＝－1＋tan
αtan
β，即2＝1－tan
α－tan
β＋tan
αtan
β＝(1－tan
α)(1－tan
β)．
6．已知cos＝cos
α，则tan
α＝________．
解析：cos＝cos
αcos
＋sin
α·sin
＝cos
α＋sin
α＝cos
α，所以sin
α＝cos
α，所以＝，
即tan
α＝.
答案：
7．已知cos＝－，则cos
x＋cos＝________．　
解析：cos
x＋cos＝cos
x＋cos
x
＋sin
x＝cos
x＋sin
x＝
＝cos＝×＝－1.
答案：－1
8．若tan
α，tan
β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根，且α，β∈，则α＋β＝________．
解析：由tan
α，tan
β是方程x2＋5x＋6＝0的两个根得tan
α＋tan
β＝－5，tan
αtan
β＝6，则两根同号，且都为负数，故α，β∈，所以α＋β∈(－π，0)，又tan(α＋β)＝＝1，故α＋β＝－.
答案：－
9．化简下列各式：
(1)sin＋2sin－cos；
(2)－2cos(α＋β)．
解：(1)原式＝sin
xcos
＋cos
xsin
＋2sin
xcos
－2cos
xsin
－cos
cos
x－sin
sin
x＝sin
x＋cos
x＋sin
x－cos
x＋cos
x－sin
x＝sin
x＋cos
x
＝0.
(2)原式＝
＝
＝＝.
10．已知tan＝2，tan(α－β)＝，α∈，β∈.
(1)求tan
α的值；
(2)求2α－β的值．
解：(1)tan＝＝2，
得tan
α＝.
(2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，
又α∈，β∈，
得2α－β∈，
所以2α－β＝.
[B　能力提升]
11．(多选)在△ABC中，∠C＝120°，tan
A＋tan
B＝，下列各式正确的是(　　)
A．tan(A＋B)＝－
B．tan
A＝tan
B
C．cos
B＝sin
A
D．tan
Atan
B＝
解析：选BCD.因为∠C＝120°，所以A＋B＝60°，
所以tan(A＋B)＝＝.
因为tan
A＋tan
B＝(1－tan
Atan
B)＝，
所以tan
Atan
B＝①，所以D正确；
又tan
A＋tan
B＝②，由①②联立解得
tan
A＝tan
B＝，所以cos
B＝sin
A，故B、C正确．综上，B，C，D正确．故选BCD.
12．若α，β均为锐角，sin
α＝，sin(α＋β)＝，则cos
β＝(　　)
A.
B.
C.或
D．－
解析：选B.因为α与β均为锐角，且sin
α＝>sin(α＋β)＝，
所以α＋β为钝角．
又由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝－；
由sin
α＝，得cos
α＝.
所以cos
β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos
α＋sin(α＋β)sin
α＝－×＋×＝，故选B.
13．已知tan
α，tan
β是方程x2＋p(x＋1)＋1＝0的两根，α＋β∈(0，π)．
(1)求α＋β；
(2)若cos(θ－α－β)＝，θ∈，求sin
θ.
解：(1)由根与系数的关系得tan
α＋tan
β＝－p，tan
α·tan
β＝p＋1，所以tan(α＋β)＝＝＝1，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)cos(θ－α－β)＝cos＝，由θ∈，得θ－∈，所以sin＝.
sin
θ＝sin
＝sincos
＋cos
sin
＝×＝.
[C　拓展探究]
14．如图，在平面直角坐标系中，角α，β的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，角α，β的终边与单位圆分别交A，B两点．
(1)求cos(α＋β)的值；
(2)若α∈，β∈，求2α－β的值．
解：(1)由A，B，得cos
α＝，sin
α＝，cos
β＝－，sin
β＝，
则cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝×－×＝－.
(2)由已知得cos
2α＝cos(α＋α)＝cos
αcos
α－sin
αsin
α＝－，sin
2α＝sin(α＋α)＝sin
αcos
α＋cos
αsin
α＝.
因为cos
2α<0，α∈，
所以2α∈，
因为β∈，
所以2α－β∈，
则sin(2α－β)＝sin
2αcos
β－cos
2αsin
β
＝×－×＝－.
所以2α－β＝－.