1.5.5.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第五节 三角恒等变换 第二课时 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

教材考点
学习目标
核心素养
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
理解两角和与差的正弦、余弦、正切公式的推导过程
逻辑推理
两角和与差的正弦、余弦、正切公式的应用
能够运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式解决求值、化简等问题
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P217－P220，并思考以下问题：
1．两角和的余弦公式是什么？与两角差的余弦公式有什么不同？
2．两角和与差的正弦、正切公式是什么？
两角和的余弦公式及两角和与差的正弦、正切公式
名称
公式
简记符号
条件
两角和的余弦
cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β
C(α＋β)
α，β∈R
两角和的正弦
sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β
S(α＋β)
两角差的正弦
sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β
S(α－β)
两角和的正切
tan(α＋β)＝
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋(k∈Z)
两角差的正切
tan(α－β)＝
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋(k∈Z)
■微思考
(1)两角和的余弦公式是怎样由两角差的余弦公式推导而来的？
提示：在两角差的余弦公式cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β中，只要用－β替换β，便可以得到两角和的余弦公式．
(2)试推导公式sin(α＋β)与sin(α－β)．
提示：①sin(α＋β)＝cos
＝cos
＝coscos
β＋sinsin
β
＝sin
αcos
β＋cos
αsin
β.
②法一：sin(α－β)＝cos
＝cos
＝coscos
β－sinsin
β
＝sin
αcos
β－cos
αsin
β.
法二：用－β代替sin(α＋β)中的β，
sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin
αcos(－β)＋cos
αsin(－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β.
(3)你能借助两角和与差的正、余弦公式推导tan(α＋β)与tan(α－β)吗？
提示：tan(α＋β)＝＝
＝＝.
tan(α－β)＝＝
＝＝.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　)
(2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝sin
α－sin
β成立．(　　)
(3)对于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin
α＋sin
β都不成立．(　　)
(4)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tan
α＋tan
β成立．(　　)
(5)对任意α，β∈R，tan(α＋β)＝都成立．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2．已知tan
α＝2，则tan＝(　　)
A．－3　　　　B．3　　　　C．－4　　　　D．4
答案：A
3．cos
75°cos
15°－sin
75°sin
15°的值等于(　　)
A.
B．－
C．0
D．1
答案：C
4．设α∈，若sin
α＝，则2sin等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：A
5．sin
75°＝________，tan
＝________．
答案：　2－
探究点1　给角求值
求值：(1)cos
105°；
(2)tan
75°；
(3).
【解】　(1)cos
105°＝cos(60°＋45°)
＝cos
60°cos
45°－sin
60°sin
45°
＝×－×＝.
(2)tan
75°＝tan
(45°＋30°)＝＝＝＝＝2＋.
(3)原式＝＝
＝＝sin
30°＝.
解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．　
　求下列各式的值．
(1)sin
105°；(2)tan
165°；(3).
解：(1)sin
105°＝sin(45°＋60°)＝sin
45°cos
60°＋cos
45°·sin
60°＝×＋×＝.
(2)tan
165°＝tan(180°－15°)＝－tan
15°＝－tan(45°－30°)
＝－
＝－＝－2.
(3)
＝＝
＝
＝sin
30°＝.
探究点2　给值求值
已知＜β＜α＜，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos
2α与cos
2β的值．
【解】　因为＜β＜α＜，
所以0＜α－β＜，π＜α＋β＜.
所以sin(α－β)＝
＝＝，
cos(α＋β)＝－
＝－＝－.
所以cos
2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)
＝×－×＝－，
cos
2β＝cos[(α＋β)－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝×＋×＝－.
(变问法)若本例的条件不变，求sin
2α的值．
解：由本例解析可知
sin
2α＝sin[(α－β)＋(α＋β)]
＝sin(α－β)cos(α＋β)＋cos(α－β)sin(α＋β)
＝×＋×
＝－.
给值(式)求值的解题策略
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．　
1．已知α∈，sin
＝，则sin
α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　
B.
C．－或
D．－
解析：选B.由已知，可得<α＋<，cos
＝－，
所以sin
α＝sin
＝sin
cos
－cos
·
sin
＝×＝.
故选B.
2．已知cos
α＝，cos
β＝，其中α，β都是锐角．求：
(1)sin(α－β)的值；
(2)tan(α＋β)的值．
解：因为cos
α＝，cos
β＝且α，β都是锐角．
所以sin
α＝＝，
sin
β＝＝.
(1)sin(α－β)＝sin
αcos
β－cos
αsin
β
＝×－×＝.
(2)tan
α＝＝2，
tan
β＝＝.
所以tan(α＋β)＝＝－2.
探究点3　给值求角(值)
已知tan
α＝2，tan
β＝－，其中0＜α＜，＜β＜π.
(1)求tan(α－β)；
(2)求α＋β的值．
【解】　(1)因为tan
α＝2，tan
β＝－，
所以tan(α－β)＝＝＝7.
(2)因为tan(α＋β)＝＝＝1，
又因为0＜α＜，＜β＜π，所以＜α＋β＜，在与之间，只有的正切值等于1.所以α＋β＝.
解决给值求角(值)问题的常用策略
(1)关于求值问题，利用角的代换，将所求角转化为已知角的和与差，再根据公式求解．
(2)关于求角问题，先确定该角的某个三角函数值，再根据角的取值范围确定该角的大小．　
　若sin
＝－，sin
＝，其中<α<，<β<，求α＋β的值．
解：因为<α<，<β<，
所以－<－α<0，<＋β<π.
所以cos
＝＝，
cos
＝－＝－，
所以cos
(α＋β)＝cos
＝cos
·cos
＋sin
sin
＝×＋×＝－.
又因为<α＋β<π，
所以α＋β＝π.
1．化简：sin
21°cos
81°－cos
21°sin
81°等于(　　)
A.　　　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
解析：选D.原式＝sin(21°－81°)＝－sin
60°＝－.
2．cos的值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.cos＝－cos＝－cos
＝－
＝－＝.
3．若tan
α＝3，tan
β＝，则tan(α－β)等于(　　)
A．3　　　　B．－3
C.　　　　
D．－
解析：选C.tan(α－β)＝＝＝.
4．若cos
α＝－，α∈，则cos＝________．
解析：因为cos
α＝－，α∈，
所以sin
α＝＝＝，
所以cos＝cos
αcos
－sin
α·sin
＝－×－×＝－.
答案：－
5．已知tan(α＋β)＝，tan＝，求tan.
解：tan＝tan
＝
＝＝.
[A　基础达标]
1．(多选)下面各式中，正确的是(　　)
A．sin＝sin
cos
＋cos
B．cos
＝sin
－cos
cos
C．cos＝cos
cos
＋
D．cos
＝cos
－cos
解析：选ABC.因为sin
＝，所以A正确；
因为cos
＝－cos
＝－cos
，所以B正确；
cos
＝cos
，所以C正确；
因为cos
＝cos
≠cos
－cos
，所以D不正确．
2．已知角α的终边经过点(－3，4)，则sin的值为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．－
C.
D．－
解析：选C.因为角α的终边经过点(－3，4)，则sin
α＝，cos
α＝－，
所以sin
＝sin
αcos
＋
cos
αsin
＝×－×＝.
3．已知cos＝2cos(π－α)，则tan＝(　　)
A．－4
B．4
C．－
D.
解析：选C.因为cos＝2cos(π－α)，
所以－sin
α＝－2cos
α?tan
α＝2，
所以tan＝＝－.
4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan
2α的值为(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析：选A.tan
2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝＝＝＝－.
5．在△ABC中，cos
A＝，cos
B＝，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．等边三角形
解析：选B.由题意得sin
A＝，sin
B＝，所以cos
C＝cos(π－A－B)＝－cos(A＋B)＝－cos
Acos
B＋sin
Asin
B＝－×＋×＝－＝－＝－<0，所以C是钝角，故△ABC是钝角三角形．
6.已知cos
α＝－，且α∈，则tan等于________．
解析：由cos
α＝－，且α∈，得sin
α＝，
所以tan
α＝＝－.
所以tan＝
＝＝7.
答案：7
7．cos
105°＋sin
195°的值为________．
解析：cos
105°＋sin
195°＝cos
105°＋sin(90°＋105°)　
＝2cos
105°＝2cos(135°－30°)
＝2(cos
135°cos
30°＋sin
135°sin
30°)
＝2
＝.
答案：
8．已知cos＝sin，则tan
α＝________．
解析：cos＝cos
αcos
－sin
αsin
＝cos
α－sin
α，sin＝sin
αcos
－cos
αsin
＝sin
α－cos
α，所以sin
α＝cos
α，故tan
α＝1.
答案：1
9．已知tan
α＝，tan(β－α)＝－2，且<β<π，求β.
解：tan
β＝tan[α＋(β－α)]
＝＝＝－1.
又因为<β<π，所以β＝.
10．已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin
β＝－，求sin
α.
解：因为α∈，β∈，
所以α－β∈(0，π)．因为cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝.
因为β∈，sin
β＝－，
所以cos
β＝.
所以sin
α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos
β＋cos(α－β)sin
β
＝×＋×＝.
[B　能力提升]
11．(多选)下列式子结果为的是(　　)
A．tan
25°＋tan
35°＋tan
25°tan
35°
B．2(sin
35°cos
25°＋cos
35°cos
65°)
C.
D.
解析：选ABC.对于选项A利用正切的变形公式可得原式＝；
对于选项B原式可化为2(sin
35°cos
25°＋cos
35°·sin
25°)＝2sin
60°＝.
对于选项C原式＝＝tan
60°＝.
对于选项D原式＝＝，故选ABC.
12.＝________．
解析：原式＝＝＝tan
15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.
答案：2－
13．(一题两空)已知α∈，β∈，cos
α＝，且cos(α－β)＝，则sin(α＋)＝________，cos
β＝________．
解析：因为α为第四象限角，cos
α＝，
所以sin
α＝－＝－，
所以sin＝sin
α＋cos
α＝×＋×＝.
因为α∈，β∈，
所以α－β∈(－π，0)，
又cos(α－β)＝，
所以sin(α－β)＝－＝－，
所以cos
β＝cos[α－(α－β)]＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)＝×＋×＝.
答案：　
14．已知cos
α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.
求：(1)cos(2α－β)的值；
(2)β的值．
解：(1)因为cos
α＝，且α∈，
所以sin
α＝，
因为α，β∈，
所以－＜α－β＜，
所以cos(α－β)＝＝，
所以cos(2α－β)＝cos[(α－β)＋α]
＝cos
αcos(α－β)－sin
αsin(α－β)
＝×－×＝.
(2)cos
β＝cos[α－(α－β)]
＝cos
αcos(α－β)＋sin
αsin(α－β)
＝×＋×＝，
又因为β∈，
所以β＝.
[C　拓展探究]
15．在△ABC中，tan
B＋tan
C＋tan
Btan
C＝，且tan
A＋tan
B＋1＝tan
Atan
B，试判断△ABC的形状．
解：tan
A＝tan[π－(B＋C)]＝－tan(B＋C)＝＝＝－，而0°tan
C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝＝＝，而0°所以B＝180°－120°－30°＝30°.
所以△ABC是顶角为120°的等腰三角形．