1.5.5.5 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第五节 三角恒等变换 第五课时 简单的三角恒等变换

教材考点
学习目标
核心素养
半角公式的推导
了解半角及其推导过程
逻辑推理
三角恒等变换
灵活运用和差的正弦、余弦公式进行相关计算及化简、证明
逻辑推理、数学运算
问题导学
预习教材P225－P228，并思考以下问题：
1．如何用cos
α表示sin2，cos2和tan2？
2．半角公式的符号是由哪些因素决定的？
1．半角公式
2．辅助角公式
asin
x＋bcos
x＝sin(x＋θ)(其中tan
θ＝)．
■微思考
(1)半角公式中的正负号能否去掉？该如何选择？
提示：不能．①若没有给出决定符号的条件，则在根号前保留正负两个符号；②若给出α的具体范围(即某一区间)时，则先求所在范围，然后根据所在范围选用符号．
(2)半角公式对α∈R都成立吗？
提示：cos＝±
，sin
＝±
对α∈R都成立．
但公式tan＝±
要求α≠(2k＋1)π(k∈Z)．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)半角公式对任意角都适用．(　　)
(2)cos
＝
.(　　)
(3)对于任意α∈R，sin
＝sin
α都不成立．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．若cos
α＝，且α∈(0，π)，则cos
的值为(　　)
A.　　　　　　　　　
B．－
C．±
D．±
答案：A
3．已知cos
α＝，α∈，则sin
等于(　　)
A．－　　
B.
C.
D．－
答案：B
4．已知cos
θ＝－，且180°＜θ＜270°，则tan
＝________．
答案：－2
探究点1　应用半角公式求值
已知α为钝角，β为锐角，且sin
α＝，sin
β＝，求cos
的值．
【解】　因为α为钝角，β为锐角，sin
α＝，sin
β＝，
所以cos
α＝－，cos
β＝.
所以cos(α－β)＝cos
αcos
β＋sin
αsin
β＝×＋×＝.
因为＜α＜π且0＜β＜，
所以0＜α－β＜π，即0＜＜.
所以cos
＝
＝
＝.
利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan
＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2
＝，cos2
＝计算．　
1．已知sin
α＝－且π＜α＜，则sin
＝________．
解析：因为sin
α＝－，π＜α＜，
所以cos
α＝－.又＜＜，
所以sin
＝
＝
＝.
答案：
2．已知cos
2θ＝－，<θ<π，求tan的值．
解：因为cos
2θ＝－，<θ<π，依半角公式得
sin
θ＝＝
＝，
cos
θ＝－＝－＝－，
所以tan＝＝＝.
探究点2　三角函数式的化简
化简(－π＜α＜0)．
【解】　原式＝
＝
＝＝.
因为－π＜α＜0，
所以－＜＜0，
所以sin
＜0，
所以原式＝＝cos
α.
(变条件)若本例中式子变为
(0＜θ＜π)，则化简后的结果是什么？
解：原式＝
＝
＝－.
因为0＜θ＜π，
所以0＜＜，
所以cos
＞0，
所以原式＝－cos
θ.
三角函数式化简的思路和方法
(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．
(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．　
　化简：(0＜α＜π)．
解：因为tan
＝，
所以(1＋cos
α)tan
＝sin
α，
又因为cos＝－sin
α，
且1－cos
α＝2sin2
，
所以原式＝＝
＝－.
因为0＜α＜π，
所以0＜＜.所以sin
＞0.
所以原式＝－2cos
.
探究点3　与三角函数性质有关的问题
已知函数f(x)＝cos(π＋x)cos
－cos2x＋.
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f(x)在上的单调递增区间．
【解】　f(x)＝(－cos
x)·(－sin
x)－·＋
＝sin
2x－cos
2x＝sin.
(1)f(x)的最小正周期为π，最大值为1.
(2)令2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)，所以f(x)在上单调递增，即f(x)在上的单调递增区间是
.
应用公式解决三角函数综合问题的三个步骤
↓
↓
　
1．已知函数f(x)＝cos2＋sin2－1，则f(x)(　　)
A．是奇函数
B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：选A.f(x)＝＋－1＝＝sin
2x，是奇函数．故选A.
2．已知函数f(x)＝sin
x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin
x＋cos
x－
＝2sin－，
所以f(x)的最小正周期为2π.
(2)因为0≤x≤，
所以≤x＋≤π.
当x＋＝π，
即x＝时，f(x)取得最小值．
所以f(x)在区间上的最小值为f＝－.
1．若sin(π－α)＝－且α∈，则sin等于(　　)
A．－　　　　　　　　　
B．－
C.
D.
解析：选B.由题意知sin
α＝－，α∈，
所以cos
α＝－.因为∈，
所以sin＝cos
＝－
＝－.故选B.
2．设α是第二象限角，tan
α＝－，且sin
，则cos＝(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析：选A.因为α是第二象限角，且sin所以为第三象限角，
所以cos<0.
因为tan
α＝－，
所以cos
α＝－，
所以cos＝－＝－.
3．若cos
α＝－，α是第三象限角，则＝(　　)
A．－
B.
C．2
D．－2
解析：选A.因为α是第三象限角，cos
α＝－，
所以sin
α＝－.
所以＝＝＝·＝＝
＝－.故选A.
4．化简：　＝________．
解析：原式＝＝，
因为<θ<2π，所以<<π，
所以sin>0，故原式＝sin.
答案：sin
5．已知α∈，β∈，cos
β＝－，sin(α＋β)＝.
(1)求tan的值；
(2)求sin
α的值．
解：(1)因为β∈，cos
β＝－，则sin
β＝，
tan＝＝＝.
(2)因为α∈，β∈，故α＋β∈，
从而cos(α＋β)＝－＝
－＝－，
所以sin
α＝sin[(α＋β)－β]
＝sin(α＋β)cos
β－cos(α＋β)sin
β
＝×－×＝.
[A　基础达标]
1．已知sin
2α＝，则cos2＝(　　)
A．－　　　　　　　　　
B．－
C.
D.
解析：选D.cos2
＝＝＝.
2．若cos
2α＝－，且α∈，则sin
α＝(　　)
A.
B.
C.
D．－
解析：选A.因为α∈，所以sin
α≥0，由半角公式可得sin
α＝＝.
3．已知等腰三角形的顶角的余弦值等于，则它的底角的余弦值为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos
α＝.又β＝－，所以cos
β＝cos＝sin＝＝，故选B.
4．若α∈，则
－
等于(　　)
A．cos
α－sin
α
B．cos
α＋sin
α
C．－cos
α＋sin
α
D．－cos
α－sin
α
解析：选D.因为α∈，
所以sin
α≥0，cos
α≤0，
则
－
＝－
＝|cos
α|－|sin
α|＝－cos
α－sin
α.
5．函数f(x)＝cos2x－2cos2(x∈[0，π])的最小值为(　　)
A．1
B．－1
C.
D．－
解析：选D.由题意，得f(x)＝cos2x－2cos2＝cos2x－(1＋cos
x)＝cos2x－cos
x－1，设t＝cos
x(x∈[0，π])，y＝f(x)，则t∈[－1，1]，y＝t2－t－1＝－，所以当t＝，即x＝时，y取得最小值，为－，所以函数f(x)的最小值为－，故选D.
6．已知sin
－cos
＝，则cos
2θ＝________．
解析：因为sin－cos＝，
所以1－sin
θ＝，即sin
θ＝，
所以cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－＝.
答案：
7．已知sin＝，则cos2＝________．
解析：因为cos
＝sin
＝sin＝，
所以cos2＝＝＝.
答案：
8．若3sin
x－cos
x＝2sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
解析：因为3sin
x－cos
x
＝2
＝2sin，
因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－.
答案：－
9．已知180°<α<270°，且sin(270°＋α)＝，求tan的值．
解：因为sin(270°＋α)＝，
所以cos
α＝－.
又180°<α<270°，所以90°<<135°.
所以tan＝－
＝－＝－3.
10．化简：(0<α<π)．
解：因为tan
＝，
所以(1＋cos
α)tan
＝sin
α.
又因为cos＝－sin
α，
且1－cos
α＝2sin2，
所以原式＝＝
＝－.
因为0<α<π，所以0<<.
所以sin
>0.
所以原式＝－2cos
.
[B　能力提升]
11．(多选)下列各式与tan
α相等的是(　　)
A.
B.
C.·(α∈(0，π))
D.
解析：选CD.A不符合，
＝＝＝|tan
α|；
B不符合，＝＝tan；
C符合，因为α∈(0，π)，所以原式＝·＝＝tan
α；
D符合，＝＝tan
α.
12．(一题两空)已知cos·cos＝，θ∈，则sin
2θ＝________，sin
θ＋cos
θ＝________．
解析：cos·cos
＝sincos
＝sin
＝cos
2θ＝.
所以cos
2θ＝.
因为θ∈，
所以2θ∈，
所以sin
2θ＝－，且sin
θ＋cos
θ＜0.
所以(sin
θ＋cos
θ)2＝1＋sin
2θ＝1－＝.
所以sin
θ＋cos
θ＝－.
答案：－　－
13．已知sin
2θ＝，0＜2θ＜，则＝________．
解析：
＝
＝＝＝.
因为sin
2θ＝，0＜2θ＜，
所以cos
2θ＝，
所以tan
θ＝＝＝，
所以＝＝，
即＝.
答案：
14．已知函数f(x)＝sin－2sin2x.
(1)求函数f(x)图象的对称轴方程、对称中心的坐标；
(2)当0≤x≤时，求函数f(x)的最大、最小值．
解：f(x)＝sin
2x－cos
2x－2·＝sin
2x＋cos
2x－
＝sin－.
(1)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，
得x＝kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝kπ＋(k∈Z)．
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ－(k∈Z)．
所以函数f(x)图象的对称中心的坐标是(k∈Z)．
(2)当0≤x≤时，≤2x＋≤，－≤sin≤1，
所以当x＝时，f(x)取最小值－，当x＝时，f(x)取最大值1－.
[C　拓展探究]
15．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？
解：如图所示．因为AB为半圆的直径，
所以∠APB＝，又AB＝1，
所以PA＝cos
α，PB＝sin
α.
又PT切半圆于P点，
所以∠TPB＝∠PAB＝α，
所以S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB＝PA·PB＋PT·PB·sin
α＝sin
αcos
α＋sin2α
＝sin
2α＋(1－cos
2α)
＝sin＋.
因为0＜α＜，
所以－＜2α－＜，
所以当2α－＝，
即α＝时，
S四边形ABTP取得最大值＋.