1.5.6.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第六节 函数y＝Asin(ωx＋φ) 第一课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换

教材考点
学习目标
核心素养
“五点法”作图
会用“五点法”作函数
y＝Asin(ωx＋φ)的图象
直观想象
三角函数的图象变换
会通过变换由
y＝sin
x
的图象得到
y＝Asin(ωx＋φ)的图象
逻辑推理、直观想象
问题导学
预习教材P231－P239，并思考以下问题：
1．如何用
y＝sin
x的图象变换为
y＝sin(x＋φ)(其中
φ≠0)的图象？
2．如何用
y＝sin
x的图象变换为
y＝Asin
x(A>0且
A≠1)的图象？
3．如何用
y＝sin
x的图象变换为
y＝sin
ωx(ω>0
且
ω≠1)的图象？
　A、ω、φ对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
(1)φ对函数y＝sin(x＋φ)图象的影响
―→
(2)ω(ω＞0)对函数y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
(3)A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响
■微思考
A，ω，φ对函数
y＝Asin(ωx＋φ)的图象有什么影响？
提示：(1)A越大，函数图象的最大值越大，最大值与
A
是正比例关系．
(2)|ω|越大，函数图象的周期越小，|ω|越小，周期越大，周期与|ω|为反比例关系．
(3)φ>
0
时，函数图象向左平移，φ<0
时，函数图象向右平移，即“加左减右”．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位，得到函数y＝cos
x的图象．(　　)
(2)将函数y＝sin
x图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，便得到函数y＝2sin
x的图象．(　　)
(3)把函数y＝cos
x图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍就得到函数y＝cos
3x的图象．(　　)
答案：(1)√　(2)√　
(3)×
2．利用“五点法”作函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标为(　　)
A．0，，π，，2π　　　　　　
B．0，，，，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，，，，
答案：C
3．将函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变，得到的函数解析式为(　　)
A．y＝4cos
x　　　　　　　　
B．y＝2cos
x
C．y＝cos
x
D．y＝cos
x
答案：B
4．要得到函数y＝sin的图象，可以将函数y＝sin
x的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
答案：B
5．将函数y＝sin
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得________的图象．
答案：y＝sin
4x
探究点1　“五点法”作图
已知函数y＝3sin＋3(x∈R)，用“五点法”画出它在一个周期内的闭区间上的图象．
【解】　(1)列表：
x
－
＋
0
π
2π
y
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
1．(变条件)将本例函数解析式中的改为x，其他条件不变，结果如何？
解：(1)列表：
x
－
x＋
0
π
2π
y
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
2．(变条件)将本例函数解析式中的改为，其他条件不变，结果如何？
解：(1)列表：
x
－
＋
0
π
2π
y
3
6
3
0
3
(2)描点画图：
(1)“五点法”作图的实质
利用“五点法”作函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象，实质是利用函数的三个零点、两个最值点画出函数在一个周期内的图象．
(2)“五点法”
作定区间上图象的关键是列表，列表的方法是：
①计算
x
取端点值时的
ωx＋φ
的范围；
②取出
ωx＋φ
范围内的“五点”，并计算出相应的
x
值；
③利用
ωx＋φ
的值计算
y
值；
④描点(x，y)，连线得到函数图象．　
　用“五点法”作出函数
y＝2sin＋3
的图象．
解：①列表如下：
x
π
π
π
π
x－
0
π
π
2π
y
3
5
3
1
3
②描点．
③连线成图．将这个函数在一个周期内的图象向左、右两边扩展即得
y＝2sin＋3
的图象．如图所示．
探究点2　三角函数的图象变换
(1)(多选)有下列四种变换方式，其中能将正弦函数
y＝sin
x
的图象变为
y＝sin的图象的是(　　)
A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
B．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
C．横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)
(2)将函数
y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数解析式为__________．
【解析】　(1)选项A：向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，则正弦函数
y＝sin
x的图象变为
y＝sin的图象；
选项B：横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，
正弦函数
y＝sin
x
的图象变为
y＝sin
＝sin的图象；
选项C：横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，
正弦函数
y＝sin
x的图象变为
y＝sin
＝sin的图象；
选项D：向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的(纵坐标不变)，
正弦函数
y＝sin
x的图象变为
y＝sin
的图象，因此A和B符合题意，故选
AB.
(2)函数
y＝sin的图象向右平移个单位长度后的解析式为
y＝sin＝sin
2x.
【答案】　(1)AB　(2)y＝sin
2x
(1)图象平移变换的方法
①确定平移方向和平移的量是解决平移变换的关键．
②当x的系数是1时，若φ＞0，则左移φ个单位；
若φ＜0，则右移|φ|个单位．
③当x的系数是ω(ω＞0)时，若φ＞0，则左移个单位；若φ＜0，则右移个单位．
(2)三角函数图象伸缩变换的方法
法一：y＝A1sin
ω1x
y＝A2sin
ω1xy＝A2sin
ω2x.
法二：y＝A1sin
ω1x
y＝A1sin
ω2xy＝A2sin
ω2x.　
1．将函数y＝sin
x的图象向左平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象的解析式是(　　)
A．y＝sin＋2
B．y＝sin－2
C．y＝sin－2
D．y＝sin＋2
解析：选D.向左平移个单位长度得y＝sin，再向上平移2个单位长度得y＝sin＋2，故选D.
2．要得到函数
y＝3sin
2x
的图象，可将函数
y＝3cos的图象(　　)
A．沿
x
轴向左平移个单位长度
B．沿
x
轴向右平移个单位长度
C．沿
x
轴向左平移个单位长度
D．沿
x
轴向右平移个单位长度
解析：选B.由于函数
y＝3sin
2x＝3cos
＝3cos，
所以将函数
y＝3cos的图象沿
x
轴向右平移个单位长度，即可得到函数
y＝3sin
2x的图象．
1．要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos
2x的图象(　　)
A．向左平移1个单位长度　
B．向右平移1个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选C.y＝cos(2x＋1)＝cos，
因此由y＝cos
2x向左平移个单位，故选C.
2．要得到
y＝tan
x
的图象，只需把
y＝tan的图象(　　)
A．向左平移个单位　　　　
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
答案：D
3．函数y＝cos
x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos
ωx，则ω的值为(　　)
A．2
B.
C．4
D.
解析：选B.由题意可知得到图象的解析式为y＝cosx，所以ω＝.
4．将函数y＝sin图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的5倍，可得到函数____________的图象．
解析：y＝sin的图象
y＝sin的图象．
答案：y＝sin
5．已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度，这样得到的图象与y＝sin
x的图象相同，求f(x)的解析式．
解：逆向思维，
y＝sin
x
y＝sin
y＝sin，
即f(x)＝sin.
[A　基础达标]
1．若函数
y＝sin
2x
的图象向左平移个单位得到
y＝f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝cos
2x　　　　　　
B．f(x)＝sin
2x
C．f(x)＝－cos
2x
D．f(x)＝－sin
2x
解析：选
A．依题意得
f(x)＝sin
＝sin＝cos
2x.故选
A.
2．为了得到函数
y＝sin的图象，只需把函数
y＝sin的图象(　　)
A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
解析：选
D．将
y＝sin的图象向右平移个单位长度得到y＝sin＝sin的图象，故选D.
3．为了得到函数
y＝sin的图象，需将函数
y＝sin的图象(　　)
A．纵坐标变为原来的
3
倍，横坐标不变
B．横坐标变为原来的
3
倍，纵坐标不变
C．横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．纵坐标变为原来的，横坐标不变
解析：选
C．只需将函数
y＝sin
的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，便得到函数
y＝sin的图象．
4．给出几种变换：
①横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变；
②横坐标缩小到原来的，纵坐标不变；
③向左平移个单位长度；
④向右平移个单位长度；
⑤向左平移个单位长度；
⑥向右平移个单位长度；
则由函数y＝sin
x的图象得到y＝sin的图象，可以实施的方案是(　　)
A．①→③
B．②→③
C．②→④
D．②→⑤
解析：选D.y＝sin
x的图象y＝sin
2x的图象y＝sin的图象．
5．把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标伸长到原来的2倍，最后把图象向左平移个单位长度，则所得图象表示的函数的解析式为(　　)
A．y＝2sin
2x
B．y＝－2sin
2x
C．y＝2cos
D．y＝2cos
解析：选B.把函数y＝cos
x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，所得图象的函数解析式为y＝cos
2x，再把纵坐标伸长到原来的2倍，所得图象的函数解析式为y＝2cos
2x，最后把图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝2cos＝－2sin
2x.故选B.
6．(一题两空)将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标________(填“伸长”或“缩短”)为原来的________倍，将会得到函数y＝3sin的图象．
解析：A＝3＞0，故将函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象．
答案：伸长　3
7．(一题两空)利用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0)的图象时，其五点的坐标分别为，，，，，则A＝________，周期T＝________．
解析：由题知A＝，
T＝2＝π.
答案：　π
8．(一题两空)将函数y＝sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为______和______．　
解析：依据图象变换可得函数g(x)＝sin.　
因为x∈，
所以4x＋∈，
所以当4x＋＝时，g(x)取最大值；
当4x＋＝时，g(x)取最小值－.
答案：　－
9．如何由函数y＝sin
x的图象通过变换得到y＝sin(2x＋)的图象．
解：y＝sin
xy＝sin(x＋)
y＝sin(2x＋)
y＝sin(2x＋)．
10．用“五点法”画函数y＝3sin，x∈的图象．
解：①列表：
2x＋
0
π
2π
x
－
y＝3sin
0
3
0
－3
0
②描点：在坐标系中描出下列各点：
，，，，.　
③连线：用光滑的曲线将所描的五个点顺次连接起来，得函数y＝3sin，x∈的简图，如图所示．
[B　能力提升]
11．把函数
y＝cos
的图象适当变换就可以得到
y＝sin(－3x)的图象，这种变换可以是(　　)
A．向右平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选
D．因为
y＝cos＝
cos＝sin
＝sin，所以将
y＝sin的图象向左平移个单位长度能得到
y＝sin
(－3x)的图象．
12．(多选)将函数y＝4sin
x的图象向左平移个单位长度，再将横坐标缩短到原来的，得到函数y＝f(x)的图象，下列关于y＝f(x)的说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)的最小正周期为4π
B．由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍
C．y＝f(x)的表达式可改写成f(x)＝4cos
D．y＝f(x)的图象关于中心对称
解析：选CD.由题意得，函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝4sin.
对于A，由T＝得y＝f(x)的最小正周期为π，所以A错误；
对于B，由f(x)＝0可得2x＋＝kπ(k∈Z)，
所以x＝π－(k∈Z)，
所以x1－x2是的整数倍，所以B错误；
对于C，f(x)＝4sin利用诱导公式得f(x)＝4cos＝4cos，所以C正确；
对于D，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ，k∈Z，
所以x＝π－，k∈Z，
所以是函数y＝f(x)的一个对称中心，所以D正确．
13．已知f(x)＝2sin.
(1)若将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，请写出函数g(x)的解析式；
(2)请通过列表、描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出函数g(x)在[0，π]上的简图．
解：(1)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin
＝2sin的图象．
(2)列表如下：
x
0
π
2x－
－
0
π
sin
－
0
1
0
－1
－
g(x)
－1
0
2
0
－2
－1
描点、连线，得出所要求作的图象如下：
[C　拓展探究]
14．已知函数f(x)＝2sin
ωx，其中常数ω＞0.
(1)若y＝f(x)在上单调递增，求ω的取值范围；
(2)令ω＝2，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y＝g(x)的图象，区间[a，b](a，b∈R且a＜b)满足：y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[a，b]中，求b－a的最小值．
解：(1)因为ω＞0，
根据题意有?0＜ω≤.
所以ω的取值范围是.
(2)由f(x)＝2sin
2x可得，
g(x)＝2sin＋1
＝2sin＋1，
g(x)＝0?sin＝－?x＝kπ－或x＝kπ－π，k∈Z，
即g(x)的零点相邻间隔依次为和，
故若y＝g(x)在[a，b]上至少含有30个零点，
则b－a的最小值为14×＋15×＝.