1.5.6.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第六节 函数y＝Asin(ωx＋φ) 第二课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用

探究点1　由图象求三角函数的解析式
函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式为______________．
【解析】　由题图得A＝2，＝－＝，即T＝π.
由ω>0，T＝＝π得ω＝2.
又当x＝时，ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝2kπ－(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝－.
因此f(x)＝2sin(x∈R)．
【答案】　f(x)＝2sin，x∈R
根据函数的部分图象求解析式的方法
(1)直接从图象确定振幅和周期，则可确定函数式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数A和ω，再选取最大值点的数据代入ωx＋φ＝2kπ＋，k∈Z，结合φ的范围求出φ.
(2)通过若干特殊点代入函数式，通过解方程组求相关待定系数A，ω，φ.
(3)运用逆向思维的方法，先确定函数的基本函数式y＝Asin
ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数．　
1．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分图象如图所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，则(　　)
A．A＝4　　　　　　　　　
B．ω＝1
C．φ＝
D．B＝4
解析：选C.由图象可知，A＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2.因为2×＋φ＝，所以φ＝，故选C.
2．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小值是－5，图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这个函数的解析式．
解：由题意知A＝5，＝，
所以T＝＝，所以ω＝4，
所以y＝5sin(4x＋φ)．
又因为图象经过点，所以＝5sin
φ，
即sin
φ＝，所以φ＝＋2kπ(k∈Z)或φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为0<φ<，所以φ＝，
所以这个函数的解析式为y＝5sin.
探究点2　三角函数图象的对称性
已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，求该函数的对称轴方程．
【解】　由T＝＝π，解得ω＝2，
则f(x)＝sin，
令2x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝＋，k∈Z，即对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
1．(变问法)本例中函数不变，则函数的对称中心为________．
解析：令2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)．
所以该函数的对称中心为(k∈Z)．　
答案：，k∈Z
2．(变条件)若本例中函数变为f(x)＝cos，则对称轴方程为________．
解析：令x＋＝kπ，k∈Z，
得x＝2kπ－π，k∈Z.
答案：x＝2kπ－，k∈Z
三角函数的对称轴、对称中心的求法
对称轴
对称中心
y＝Asin(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求对称中心横坐标
y＝Acos(ωx＋φ)
令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)
令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求对称中心横坐标
y＝Atan(ωx＋φ)
无
令ωx＋φ＝(k∈Z)，求对称中心横坐标
　
1．下列函数中，图象关于直线x＝对称的是(　　)
A．y＝sin　　　　
B．y＝sin
C．y＝sin
D．y＝sin
解析：选B.当x＝时，仅有选项B中的函数y＝sin取得最值，故函数y＝sin的图象关于直线x＝对称．
2．将函数f(x)＝2cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，则函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.由题意g(x)＝2cos，
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，当k＝1时，x＝，
故函数y＝g(x)的图象的一个对称中心是.
探究点3　三角函数性质的综合应用
已知函数f(x)＝sin，以下命题中为假命题的是(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．x＝－是函数f(x)的一个零点
C．函数f(x)的图象可由g(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到
D．函数f(x)在上是增函数
【解析】　令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，即函数f(x)的图象关于直线x＝对称，选项A正确；令2x＋＝kπ(k∈Z)，当k＝0时，x＝－，即x＝－是函数f(x)的一个零点，选项B正确；2x＋＝2，故函数f(x)的图象可由g(x)＝sin
2x的图象向左平移个单位长度得到，选项C错误；若x∈，则2x＋∈，故f(x)在上是增函数，选项D正确．故选C.
【答案】　C
(1)正、余弦型函数奇偶性的判断方法
正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数y＝Acos(ωx＋φ)不一定具备奇偶性．对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为偶函数；对于函数y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当φ＝kπ±(k∈Z)时为奇函数．
(2)确定函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)单调区间的方法
采用“换元”法整体代换，将ωx＋φ看作一个整体，可令“z＝ωx＋φ”，即通过求y＝Asin
z的单调区间从而求出函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间．若ω<0，则可利用诱导公式先将x的系数转变为正数，再求单调区间．　
1．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后得到的函数是奇函数，则函数f(x)的图象(　　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
解析：选D.将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.
令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故排除A；
令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故排除B；令x＝，求得f(x)＝cos
0＝1，为函数的最大值，排除C，选D.
2．已知函数f(x)＝2sin的最小正周期为π，则函数y＝f(x)在区间上的最大值和最小值分别是(　　)
A．2和－2
B．2和0
C．2和－1
D.和－
解析：选C.由题知＝π，得ω＝2，
所以函数y＝f(x)＝2sin.
又因为x∈，所以2x－∈，
所以sin∈，
所以2sin∈[－1，2]，
故函数f(x)的最大值为2，最小值为－1.故选C.
1．将函数y＝sin
的图象向右平移个单位长度，所得图象所对应的函数是(　　)
A．非奇非偶函数　　　　　　
B．既奇又偶函数
C．奇函数
D．偶函数
解析：选C.将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度后，得函数y＝sin＝sin
2x，为奇函数，故选C.
2．已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，f＝－，则f(0)＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B.由图象可知所求函数的周期为T＝2×＝，故ω＝＝3.
将代入解析式，得Acos＝0，
即cos＝0，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋2kπ，k∈Z.
令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos.
又因为f＝－，
所以f＝－Asin＝－A＝－，
所以A＝.
所以f(0)＝cos＝cos＝.
3．函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)图象的一条对称轴是直线x＝，则φ的值为________．
解析：由题意知2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
所以φ＝＋kπ，k∈Z，又－π＜φ＜0，
所以φ＝－π.
答案：－π
4．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________．
解析：由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为
2＝，
所以＝，
所以ω＝.
因为当x＝时，y有最小值－1，
所以×＋φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为－π≤φ<π，所以φ＝.
答案：
5.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数y＝f(x)在上的值域．
解：(1)由图象可知A＝1，＝＝－＝，所以ω＝2.
又由图象知2·＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，
所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.
(2)当x∈时，2x＋∈，
所以f(x)＝sin∈，
所以函数f(x)的值域为.
[A　基础达标]
1．若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f＝f，则有f等于(　　)
A．3或0　　　　　　　　　
B．－3或0
C．0
D．－3或3
解析：选D.由f＝f知，直线x＝是函数的对称轴，解得f＝3或－3.故选D.
2．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值为(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选B.由题意，得＝＋＝，所以T＝π，由T＝，得ω＝2，由图可知A＝1，所以f(x)＝sin(2x＋φ)．又f＝sin＝0，－<φ<，所以φ＝，故选B.
3．设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的定义域为R，周期为，初相为，值域为[－1，3]，则函数f(x)的解析式为(　　)
A．f(x)＝2sin＋1
B．f(x)＝2sin－1
C．f(x)＝－2sin－1
D．f(x)＝2sin＋1
解析：选A.因为－A＋B＝－1，A＋B＝3，所以A＝2，B＝1，
因为T＝＝，所以ω＝3，又φ＝，
故f(x)＝2sin＋1.
4．若将函数y＝sin的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数g(x)图象的一个对称中心为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选A.将y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可以得到y＝sin＝sin的图象，再向右平移个单位可以得到y＝sin＝sin的图象，因此，g(x)＝sin，由g＝sin
0＝0，选项A正确．
5．函数y＝2sin与y轴最近的对称轴方程是________．　
解析：对于函数y＝2sin，
令2x－＝kπ＋(k∈Z)得，x＝＋，
因此，当k＝－1时，得到x＝－，故直线x＝－是与y轴最近的对称轴．
答案：x＝－
6．在函数y＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的一个周期上，当x＝时，有最大值2，当x＝时，有最小值－2，则ω＝________．
解析：依题意知＝－＝，
所以T＝π，又T＝＝π，得ω＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)＝2cos(ωx－φ)(ω>0，φ∈[0，π])的部分图象如图所示．若A，B，则f(0)＝________．　
解析：由函数图象可知函数f(x)的周期T＝－＝π，ω＝＝2.又f＝2cos(π－φ)＝－2cos
φ＝，则cos
φ＝－.因为φ∈[0，π]，所以φ＝，所以f(x)＝2cos，则f(0)＝－.
答案：－
8.如图为函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的一个周期内的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在x∈[－1，2]的值域．
解：(1)由题图，知A＝2，T＝7－(－1)＝8，
所以ω＝＝＝，
所以f(x)＝2sin.
将点(－1，0)代入，
得0＝2sin.
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
(2)因为－1≤x≤2，所以0≤x＋≤π，
所以0≤sin≤1，
所以0≤2sin≤2.
所以函数f(x)的值域为[0，2]．
[B　能力提升]
9．(多选)已知函数f(x)＝|Acos(x＋φ)＋1|的部分图象如图所示，则(　　)
A．φ＝
B．φ＝
C．A＝2
D．A＝3
解析：选BC.由题图知，A＝＝2，
又f(0)＝|2cos
φ＋1|＝2，
所以cos
φ＝或cos
φ＝－(舍)，
因为|φ|<，即－<φ<，由图象知φ>0，
所以φ＝，故选BC.
10．(多选)对于函数f(x)＝cos，下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)的图象是由f(x)＝cos
πx的图象向右平移个单位长度而得到的
B．y＝f(x)的图象过点
C．y＝f(x)的图象关于点对称
D．y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称
解析：选CD.f(x)＝cos
πx的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式为f(x)＝cos
＝cos，故说法A错误；
当x＝1时，f(1)＝cos＝－，故说法B错误；
当x＝时，f＝cos＝0，
y＝f(x)的图象关于点对称，故说法C正确；
当x＝－时，f＝cos＝－1，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，故说法D正确．
综上，正确的说法为CD.
11．(一题两空)已知函数f(x)＝asin＋1(a＞0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2，则
(1)a＝________；
(2)该函数的对称中心的坐标为________．
解析：(1)当－≤x≤－时，则－≤2x＋≤，
所以当2x＋＝时，f(x)有最大值为＋1.
又因为f(x)的最大值为2，所以＋1＝2，解得a＝2.
(2)f(x)＝2sin＋1，令2x＋＝kπ，k∈Z，
解得x＝－，k∈Z，
所以函数f(x)＝2sin＋1的对称中心的横坐标为－，k∈Z.
又因为函数f(x)＝2sin＋1的图象是函数f(x)＝2sin的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f(x)＝2sin＋1的对称中心的纵坐标为1，所以对称中心的坐标为，k∈Z.
答案：(1)2　(2)，k∈Z
12．将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin
x的图象．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，求m的取值范围．
解：(1)将y＝sin
x的图象向左平移个单位长度得到y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝f(x)＝sin的图象．
(2)因为x∈[0，3π]，
所以x＋∈，
sin∈[－1，1]，因为当x∈[0，3π]时，方程f(x)＝m有唯一实数根，所以函数f(x)的图象和直线y＝m只有一个交点，如图所示．故方程f(x)＝m有唯一实数根m的取值范围为∪{1，－1}．
[C　拓展探究]
13．已知函数f(x)＝Asin(A>0，ω>0)的部分图象如图所示．
(1)求A和ω的值；
(2)求函数y＝f(x)在[0，π]上的单调增区间；
(3)若函数g(x)＝f(x)＋1在区间(a，b)上恰有10个零点，求b－a的最大值．
解：(1)由题图可知，A＝2，＝－＝，所以T＝π.
由T＝得ω＝2.
(2)由(1)可知f(x)＝2sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又因为x∈[0，π]，
所以函数y＝f(x)在[0，π]上的单调增区间为和.
(3)令g(x)＝0，则f(x)＝2sin＝－1，
所以2x＋＝＋2kπ(k∈Z)或2x＋＝＋2kπ(k∈Z)．
得x＝kπ＋(k∈Z)或x＝kπ＋(k∈Z)，
函数g(x)在每个周期上有两个零点，
所以b－a的最大值为5T＋＝.