1.5.8.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第八节 全章复习 第二课时 综合检测

综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知角α的终边经过点P(－3，4)，则tan
2α＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　
B.
C．－
D．－
解析：选A.因为tan
α＝－，
所以tan
2α＝＝＝.
2．函数y＝3tan的定义域是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选C.令2x＋≠kπ＋，k∈Z，得x≠π＋，k∈Z，所以函数y＝3tan的定义域是.
3．已知cos＝，－＜α＜0，则sin
2α的值是(　　)
A.
B.
C．－
D．－
解析：选D.由已知得sin
α＝－，
又－＜α＜0，
故cos
α＝，
所以sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－.
4．sin
600°＋tan
240°的值等于(　　)
A．－
B.
C．－＋
D.＋
解析：选B.sin
600°＝sin(360°＋240°)
＝sin
240°
＝sin(180°＋60°)＝－sin
60°＝－，
tan
240°＝tan(180°＋60°)＝tan
60°＝，
因此sin
600°＋tan
240°＝.
5．若将函数f(x)＝sin图象上的每一个点都向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则函数g(x)的单调递增区间为(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选A.将函数f(x)＝sin
图象上的每一点都向左平移个单位长度，
得到函数g(x)＝sin＝sin(2x＋π)＝－sin
2x
的图象，
令＋2kπ≤2x≤＋2kπ(k∈Z)，
可得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
因此函数g(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，故选A.
6．若＝2，则tan＝(　　)
A．－
B.
C.
D．－
解析：选A.因为＝2，
所以＝2，
即＝＝2，
所以tan
α＝，
所以tan
2α＝＝＝，
所以tan＝
＝＝－，故选A.
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)的值等于(　　)
A.
B.
C.＋2
D．1
解析：选C.由图象知T＝2×(6－2)＝8，A＝2.
由T＝8＝?ω＝，
又当x＝2时，f(2)＝2，
所以2sin＝2，则＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝2kπ(k∈Z)，取φ＝0，
因此f(x)＝2sinx.
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(18)＝f(1)＋f(2)＋2×0＝＋2，故选C.
8．已知不等式f(x)＝3sin
cos
＋cos2－－m≤0对于任意的－≤x≤恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．m≥
B．m≤
C．m≤－
D．－≤m≤
解析：选A.f(x)＝3sin
cos
＋cos2
－－m＝sin
＋cos
－m＝sin－m≤0，
所以m≥sin，
因为－≤x≤，
所以－≤＋≤，
所以－≤sin≤，
所以m≥
.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列各式中，值为的是(　　)
A.
B．tan
15°cos215°
C.cos2－sin2
D.
解析：选AC.A符合，原式＝×
＝tan
45°＝；
B不符合，原式＝sin
15°·cos
15°＝sin
30°＝；
C符合，原式＝·cos＝；
D不符合，原式＝×＝tan
60°＝.
10．已知函数f(x)＝sin
xcos
x－cos2x，下列命题正确的是(　　)
A．f(x)的最小正周期为2π
B．f(x)在区间上为增函数
C．直线x＝是函数f(x)图象的一条对称轴
D．函数f(x)的图象可由函数f(x)＝sin
2x的图象向右平移个单位长度得到
解析：选BC.f(x)＝sin
2x－
＝sin－，显然A错；
x∈时，2x－∈，函数f(x)为增函数，故B正确；
令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝π＋，k∈Z，显然x＝是函数f(x)图象的一条对称轴，故C正确；
f(x)＝·sin
2x的图象向右平移个单位得到y＝·sin＝sin的图象，故D错．
11．已知函数f(x)＝sin4x＋cos2x，则下列说法正确的是(　　)
A．最小正周期是
B．f(x)是偶函数
C．f(x)在上单调递增
D．x＝是f(x)图象的一条对称轴
解析：选ABC.由题知f(x)＝sin4x＋1－sin2x
＝sin4x－sin2x＋1＝－sin2x(1－sin2
x)＋1
＝1－sin2xcos2x＝1－sin2
2x
＝1－×＝cos
4x＋.
所以T＝＝，所以A正确；
因为f(－x)＝f(x)，x∈R，
所以f(x)是偶函数，B正确；
由余弦函数的单调性可知C正确；
因为f＝≠±1，所以D错误．
12．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin
x|的叙述正确的是(　　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)在区间上单调递增
C．f(x)在[－π，π]有4个零点
D．f(x)的最大值为2
解析：选AD.因为f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|
＝sin|x|＋|sin
x|＝f(x)，
所以f(x)是偶函数，故A正确；
当x∈时，f(x)＝sin|x|＋|sin
x|＝2sin
x，f(x)在上单调递减，故B错误；
当x∈[0，π]时，令f(x)＝sin|x|＋|sin
x|＝2sin
x＝0，得x＝0或x＝π，
又f(x)在[－π，π]上为偶函数，
所以f(x)＝0在[－π，π]上的根为－π，0，π，有3个零点，故C错误；
因为sin|x|≤1，|sin
x|≤1，
当x＝＋2kπ(k∈N)或x＝－－2kπ(k∈N)时两等号同时成立，
所以f(x)的最大值为2，故D正确．故选AD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知2sin
θ＋3cos
θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．
解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan
θ＝－，从而tan(3π＋2θ)＝tan
2θ＝＝＝.
答案：
14.的值是________．
解析：因为
＝
＝tan
45°＝1，
所以＝1.
答案：1
15．(一题两空)已知cos＝，且α是第一象限角．则
(1)cos(3π－α)＝________；
(2)tan(α＋π)＋＝________．
解析：(1)由cos＝，
得sin
α＝.
因为α是第一象限角，所以cos
α>0.
因为sin
α＝，
所以cos(3π－α)＝－cos
α
＝－＝－.
(2)因为tan
α＝＝，
所以tan(α＋π)＋＝tan
α＋＝tan
α＋1＝.
答案：(1)－　(2)
16．函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，则ω的最小值为________．
解析：因为0≤x≤2，所以≤ωx＋≤2ω＋，要使函数y＝sin(ω>0)的图象在[0，2]上至少有三个最大值点，由三角函数的图象可得2ω＋≥π，解得ω≥π，即ω的最小值为π.
答案：π
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知＜α＜π，cos
α＝－.
(1)求tan
α的值；
(2)求sin
2α＋cos
2α的值．
解：(1)因为cos
α＝－，＜α＜π，
所以sin
α＝，
所以tan
α＝＝－.
(2)sin
2α＝2sin
αcos
α＝－.
cos
2α＝2cos2α－1＝，
所以sin
2α＋cos
2α＝－＋＝－.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)设α∈，若f＝2cos
2α，求α的大小．
解：(1)由2x＋≠＋kπ，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为
.
f(x)的最小正周期为.
(2)由f＝2cos
2α，
得tan＝2cos
2α，
即＝2(cos2α－sin2α)，
整理得＝2(cos
α＋sin
α)(cos
α－sin
α)，
因为α∈，所以sin
α＋cos
α≠0.
因此(cos
α－sin
α)2＝，
所以sin
2α＝.
由α∈，得2α∈，
所以2α＝，即α＝.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<2π)的部分图象如图所示，且f(0)＝f.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的解析式，并写出它的单调递增区间．
解：(1)由题意知，函数图象的一条对称轴为直线x＝＝，则＝－＝，所以T＝π.
所以函数f(x)的最小正周期为π.
(2)由图可知A＝2.
因为T＝π，所以ω＝＝2.
又因为f＝－2，
所以2sin＝－2，
即sin＝－1.
所以＋φ＝2kπ－，k∈Z，
即φ＝2kπ－，k∈Z.
又因为0<φ<2π，所以φ＝.
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
解得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．
解：(1)f(x)＝sin2x＋sin
xcos
x
＝－cos
2x＋sin
2x
＝sin＋，
所以f(x)的最小正周期为T＝＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin＋.
由题意知－≤x≤m，
所以－≤2x－≤2m－.
要使得f(x)在区间上的最大值为，
即sin在区间上的最大值为1.
所以2m－≥，即m≥.
所以m的最小值为.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝4sincos
x＋.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数g(x)＝f(x)－m在区间上有两个不同的零点x1，x2，求实数m的取值范围，并计算tan(x1＋x2)的值．
解：(1)f(x)＝4sincos
x＋
＝4cos
x＋
＝2sin
xcos
x－2cos2x＋
＝sin
2x－cos
2x＝2sin，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ＋π(k∈Z)．
所以f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
(2)因为方程g(x)＝f(x)－m＝0同解于f(x)＝m，
在直角坐标系中画出函数y＝f(x)＝2sin在上的图象如图，由图象可知，
当且仅当m∈[，2)时，方程f(x)＝m有两个不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝，故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan＝－.
22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin
ωx－cos
ωx－cos
ωx
＝sin
ωx－cos
ωx
＝
＝sin.
由题设知f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z，故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，
即x＝－时，g(x)取得最小值－.