1.5.8.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第八节 全章复习 第一课时 复习提升课

主题1　同角三角函数的基本关系式和诱导公式
　已知cos(π＋α)＝－，且角α在第四象限，计算．
(1)sin(2π－α)；
(2)(n∈Z)．
【解】　因为cos(π＋α)＝－，
所以－cos
α＝－，cos
α＝.
又角α在第四象限，
所以sin
α＝－＝－.
(1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)]＝sin(－α)
＝－sin
α＝.
(2)
＝
＝＝
＝－＝－4.
(1)同角三角函数的基本关系的应用
①已知一个三角函数求另外两个：利用平方关系、商式关系直接求解或解方程(组)求解．
②已知正切，求含正弦、余弦的齐次式；
(i)齐次式为分式时，分子分母同除以cos
α或cos2α，化成正切后代入．
(ii)齐次式为整式时，分母看成1，利用1＝sin2α＋cos2α代入，再通过分子分母同除以cos
α或cos2α化切．
(2)用诱导公式化简求值的方法
①对于三角函数式的化简求值，关键在于根据给出角的特点，将角化成2kπ±α，π±α，±α，π±α(或k·±α，k∈Z)的形式，再用“奇变偶不变，符号看象限”来化简．
②解决“已知某个三角函数值，求其他三角函数值”的问题，关键在于观察分析条件角与结论角，理清条件与结论之间的差异，将已知和未知联系起来，还应注意整体思想的应用．　
1．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　　)
A．－　　　　　　　　　
B．－
C.
D.
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sin
θ＝－cos
θ，所以tan
θ＝.因为|θ|＜，所以θ＝.
2．(一题两空)已知－x＋cos
x＝，则sin
xcos
x＝________，sin
x－cos
x＝________．
解析：由sin
x＋cos
x＝，
平方得sin2x＋2sin
xcos
x＋cos2x＝，
即2sin
xcos
x＝－，所以sin
xcos
x＝－.
所以(sin
x－cos
x)2＝1－2sin
xcos
x＝.
又因为－所以sin
x<0，cos
x>0，sin
x－cos
x<0，
故sin
x－cos
x＝－.
答案：－　－
3．(2019·高考浙江卷)设函数f(x)＝sin
x，x∈R.
(1)已知θ∈[0，2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；
(2)求函数y＝＋的值域．
解：(1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，
所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)
即sin
xcos
θ＋cos
xsin
θ＝－sin
xcos
θ＋cos
xsin
θ，
故2sin
xcos
θ＝0，所以cos
θ＝0.
又θ∈[0，2π)，因此θ＝或.
(2)y＝＋
＝sin2＋sin2
＝＋
＝1－
＝1－cos.
因此函数的值域是.
主题2　三角函数的图象及变换
　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<)的图象上的一个最低点为M，周期为π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)的图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图象沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，写出函数y＝g(x)的解析式．
【解】　(1)由题可知T＝＝π，
所以ω＝2.又f(x)min＝－2，
所以A＝2.由f(x)的最低点为M，
得sin＝－1.
因为0<φ<，所以<＋φ<.
所以＋φ＝.所以φ＝.
所以f(x)＝2sin.
(2)y＝2sin
y＝2sin＝2sin
y＝2sin＝2sin
x，
所以g(x)＝2sin
x.
(1)由图象或部分图象确定解析式y＝Asin(ωx＋φ)中的参数
①A：由最大值、最小值来确定A.
②ω：通过求周期T来确定ω.
③φ：利用已知点列方程求出．
(2)函数y＝sin
x的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈R图象的两种方法
　
1．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)
解析：选A.令x＝0，得y＝sin＝－，排除B，D.由f＝0，f＝0，排除C.
2．要得到函数y＝cos的图象，只需将函数y＝cos
2x的图象(　　)
A．向左平移个单位
B．向左平移个单位
C．向右平移个单位
D．向右平移个单位
解析：选B.因为cos＝cos，所以只需把函数y＝cos
2x的图象向左平移个单位即可得到y＝cos的图象，故选B.
3．(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g＝，则f＝(　　)
A．－2
B．－
C.
D．2
解析：选C.由f(x)为奇函数，可知f(0)＝Asin
φ＝0，
由|φ|<π可得φ＝0.
由f(x)的最小正周期为π可得T＝＝π，
所以ω＝2，则f(x)＝Asin
2x.
将f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，
得g(x)＝Asin
x的图象，结合已知条件可得g＝Asin＝，
可得A＝2，则f(x)＝2sin
2x.
所以f＝2sin＝.故选C.
主题3　三角函数的性质
　已知函数f(x)＝4tan
xsin·cos－.　
(1)求f(x)的定义域与最小正周期；
(2)讨论f(x)在区间上的单调性．
【解】　(1)f(x)的定义域为.
f(x)＝4tan
xcos
xcos－
＝4sin
xcos－
＝4sin
x－
＝2sin
xcos
x＋2sin2x－
＝sin
2x＋(1－cos
2x)－
＝sin
2x－cos
2x＝2sin.
所以f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)令z＝2x－，则函数y＝2sin
z的单调递增区间是，k∈Z.
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
设A＝，
B＝，
易知A∩B＝.
所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．
(1)三角函数的两条性质
①周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
②奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin
ωx或y＝Atan
ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos
ωx＋B的形式．
(2)求三角函数值域(最值)的方法
①利用sin
x，cos
x的有界性．
②从y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
③换元法：把sin
x或cos
x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．　
1．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是(　　)
A．y＝sin　　　　　
B．y＝cos
C．y＝sin
D．y＝cos
解析：选A.因为函数的周期为π，
所以排除C，D.
因为函数在上是减函数，
所以排除B，故选A.
2．(多选)已知函数f(x)＝sin(x∈R)，下列说法正确的是(　　)
A．函数f(x)的最小正周期是π
B．函数f(x)是偶函数
C．函数f(x)的图象关于点中心对称
D．函数f(x)在上是增函数
解析：选ABC.因为f(x)＝sin＝－sin＝cos
2x，所以函数f(x)是偶函数，且最小正周期T＝＝π，故A，B正确；由2x＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，当k＝0时，x＝，所以函数f(x)
的图象关于点中心对称，故C正确；当x∈时，2x－π∈[－π，－]，所以函数f(x)在上是减函数，故D不正确．故选ABC.
主题4　三角恒等变换
　已知α，β为锐角，tan
α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求cos
2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
【解】　(1)因为tan
α＝，tan
α＝，
所以sin
α＝cos
α.
因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，
因此，cos
2α＝2cos2
α－1＝－.
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cos(α＋β)＝－，
所以sin(α＋β)＝＝，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan
α＝，所以tan
2α＝＝－，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.
三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan
45°等；　
(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等；
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
[提醒]　要特别注意二倍角余弦公式升降幂的作用．　
1．计算：＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D.原式＝－·
＝－tan
＝－×＝－.
2．在△ABC中，3sin
A＋4cos
B＝6，4sin
B＋3cos
A＝1，则C的大小为________．
解析：两式左右两边分别平方相加，得sin(A＋B)＝，
则sin
C＝sin[π－(A＋B)]＝，
所以C＝或C＝.
又3sin
A＝6－4cos
B>2，得sin
A>>，
所以A>，所以C<，故C＝.
答案：
3．已知α∈，sin
α＝，求sin
的值．
解：因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝－＝－.
故sin＝sincos
α＋cos
·sin
α＝×＋×＝－.