1.1.1.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念 第一课时　集合的概念

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教材考点
学习目标
核心素养
集合的概念
了解集合与元素的概念
数学抽象
元素与集合的关系
理解元素与集合的关系，掌握数学中一些常见的数集及其记法
数学抽象、逻辑推理
集合中元素的特性及应用
理解集合中元素的特性，并能利用它们进行解题
数学运算、数学抽象
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"问题导学
预习教材P2－P3，并思考以下问题：
1．集合和元素的概念是什么？
2．如何用字母表示集合和元素？
3．元素和集合之间有哪两种关系？
4．常见的数集有哪些？分别用什么符号表示？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．元素与集合的概念
(1)元素：一般地，我们把研究对象统称为元素．元素通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)．集合通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．
■微思考1
(1)集合中的元素只能是数学中的数、点、代数式吗？
提示：集合中的元素所指的范围非常广泛，可以是数学中的数、点、代数式，也可以是现实生活中的各种各样的事物或人等．
(2)“很瘦的人”能构成集合吗？为什么？
提示：“很瘦的人”不能构成集合．因为它没有确定的标准．如果给定一个集合A，一个研究对象a是不是这个集合中的元素就确定了．
2．元素与集合的关系
关系
语言描述
记法
读法
属于
a是集合A中的元素
a∈A
a属于集合A
不属于
a不是集合A中的元素
a?A
a不属于集合A
■微思考2
(1)元素与集合之间有第三种关系吗？
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a?A”这两种结果．
(2)符号“∈”“?”的左边可以是集合吗？
提示：∈和?具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R∈0是错误的．
3．常用的数集及其记法
常用的数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N
或N＋
Z
Q
R
■微思考3
N与N＋(或N
)有何区别？
提示：N＋是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整数组成的集合，所以N比N＋(或N
)多一个元素0.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../自我检测LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)集合中的元素一定是数．(　　)
(2)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合．　(　　)
(3)一个集合中可以找到两个相同的元素．(　　)
(4)集合N中的最小元素为0.(　　)
(5)若a∈Q，则一定有a∈R.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2．由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．3
C．4
D．5
解析：选C.由“title”中的字母构成的集合中元素为t，i，l，e，共4个．
3．下列关系①0.21∈Q；②?N
；③－∈N
；④∈N.其中正确的个数是(　　)
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：选C.①是正确的，②中＝2∈N
，③中－＝－2?N
，④＝2∈N是正确的，故①④正确．
4．已知集合M有两个元素3和a＋1，且4∈M，则实数a＝________．
解析：由题意知a＋1＝4，即a＝3.
答案：3
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
探究点1　集合的概念
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例1LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
2020年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象中能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．
(1)你所在班级中的全体同学；
(2)班级中比较高的同学；
(3)班级中身高超过178
cm的同学；
(4)班级中比较胖的同学；
(5)班级中体重超过75
kg的同学；
(6)学习成绩比较好的同学
【解】　(1)班级中的全体同学是确定的，所以可以构成一个集合．
(2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(3)因为“身高超过178
cm”是确定的，所以可以构成一个集合．
(4)“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
(5)“体重超过75
kg”是确定的，所以可以构成一个集合．
(6)“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．
判断一组对象能否构成集合的方法
一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an(a1，a2，…，an均不相同)能否构成集合的过程为：
INCLUDEPICTURE
"../../../../ab4.TIF"
\
MERGEFORMAT
　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
1．(多选)下列各组对象能构成集合的是(　　)
A．拥有手机的人　　　　　
B．2020年高考数学难题
C．所有有理数
D．小于π的正整数
解析：选ACD.B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，显然A，C，D选项中能构成集合，故选ACD.
2．中国男子篮球职业联赛(China
Basketball
Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是________(填序号)．
①2019～2020赛季，CBA的所有队伍；
②CBA中比较著名的队员；
③CBA中得分前五位的球员；
④CBA中比较高的球员．
解析：①CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．
②“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
③“得分前五位”是确定的，所以可以构成一个集合．
④“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．
答案：①③
探究点2　元素与集合的关系
(1)集合M是由大于－2且小于1的实数构成的，则下列关系式正确的是(　　)
A.∈M　　　　　　　　　　
B．0?M
C．1∈M
D．－∈M
(2)用符号∈和?填空．
①设集合A是正整数的集合，则0________A，________A，(－1)0________A；
②设集合D是由满足y＝x2的有序实数对(x，y)组成的，则－1________D，(－1，1)________D；
③设集合M由可表示为a＋b(a∈Z，b∈Z)的实数构成，则0________M，________M，________M.
【解析】　(1)＞1，故?M；－2＜0＜1，故0∈M；1不小于1，故1?M；－2＜－＜1，故－∈M.故选D.
(2)①0不是正整数，不是正整数，(－1)0＝1是正整数；②－1不是有序实数对，所以－1?D，(－1，1)满足y＝x2，故(－1，1)∈D；③因为0＝0＋0×，所以0∈M，因为＝1＋1×，所以∈M，因为＝＋1×，?Z，所以?M.
【答案】　(1)D　(2)①?　?　∈　②?　∈　③∈　∈　?
判断元素和集合关系的两种方法
(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可.
此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．
(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．　
1．下列关系中，正确的有(　　)
①∈R；②?Q；③|－3|∈N；④|－|∈Q.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：选C.是实数，是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－|＝是无理数．
因此①②③正确，④错误．
2．已知集合A中元素满足2x＋a>0，a∈R.若1?A，2∈A，则实数a的取值范围为________．
解析：因为1?A，2∈A，
所以
即－4答案：－4探究点3　集合中元素的特征及应用
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，则实数a的值为________．
【解析】　若1∈A，则a＝1或a2＝1，
即a＝±1.
当a＝1时，集合A中有重复元素，
所以a≠1；
当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a＝－1.
【答案】　－1
1．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A”，则实数a的取值范围是什么？
解：因为集合A中含有两个元素a和a2，
所以a≠a2，
即a≠0且a≠1.
2．(变条件)若将本例中的“1∈A”改为“2∈A”，则a为何值？
解：因为2∈A，
所以a＝2或a2＝2，
即a＝2或a＝±.
3．(变条件)若由a和a2构成的集合只有一个元素，则a为何值？
解：因为由a和a2构成的集合只有一个元素，所以a＝a2，即a＝0或a＝1.
由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤
INCLUDEPICTURE
"../../../../MF1.TIF"
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MERGEFORMAT
　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
1．若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D.
2．若集合A中有三个元素x，x＋1，1，集合B中也有三个元素x，x＋x2，x2，且A＝B，求实数x的值．
解：因为A＝B，
所以或
解得x＝±1.经检验，x＝1不适合集合元素的互异性，而x＝－1适合，
所以x＝－1.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是(　　)
①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④的近似值．
A．①②　　　　　　　　　　
B．③④
C．②③
D．①③
解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准确定，能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准确定，能构成集合；④“的近似值”的标准不确定，不能构成集合．
2．下列结论中，不正确的是(　　)
A．若a∈N，则?N
B．若a∈Z，则a2∈Z
C．若a∈Q，则|a|∈Q
D．若a∈R，则∈R
解析：选A.A不正确．反例a＝1∈N，＝1∈N.
3．若以方程x2－5x＋6＝0和x2－x－2＝0的解为元素组成集合M，则M中元素的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选C.方程x2－5x＋6＝0的解为x＝2或x＝3，x2－x－2＝0的解为x＝2或x＝－1，所以集合M中含有3个元素．
4．用适当的符号填空：
已知集合A中的元素x是被3除余2的整数，则有：
17________A；－5________A.
解析：由题意可设x＝3k＋2，k∈Z，
令3k＋2＝17得，k＝5∈Z
.
所以17∈A.令3k＋2＝－5得，
k＝－?Z.所以－5?A.
答案：∈　?
5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m＝________．
解析：由题意知，m＝2或m2－3m＋2＝2，
解得m＝2或m＝0或m＝3，经验证，
当m＝0或m＝2时，
不满足集合中元素的互异性，
当m＝3时，满足题意，
故m＝3.
答案：3INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
[A　基础达标]
1．有以下说法，其中正确的是(　　)
①接近于0的数的全体构成一个集合；
②正方体的全体构成一个集合；
③未来世界的高科技产品构成一个集合；
④不大于3的所有自然数构成一个集合．
A．①②　　　　　　　　　　
B．②③
C．③④
D．②④
解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．
2．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3?Z；④－?N，其中正确的个数为(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确．故选B.
3．设A是方程2x2＋ax＋2＝0的解集，且2∈A，则实数a的值为(　　)
A．－5
B．－4
C．4
D．5
解析：选A.因为2∈A，
所以2×22＋2a＋2＝0，
解得a＝－5.
4．设集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，则下列关系中正确的是(　　)
A．a∈M
B．a?M
C．a＝M
D．a≠M
解析：选B.因为集合M是由不小于2的数组成的集合，a＝，所以a不是集合M中的元素，故a?M.
5．由实数x，－x，|x|，，－所组成的集合，最多含有(　　)
A．2个元素
B．3个元素
C．4个元素
D．5个元素
解析：选A.＝|x|，－＝－x.
当x＝0时，它们均为0；
当x>0时，它们分别为x，－x，x，x，－x；
当x<0时，它们分别为x，－x，－x，－x，－x.
通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故集合中元素最多含有2个．
6．(一题两空)已知集合A是由偶数组成的，集合B是由奇数组成的，若a∈A，b∈B，则a＋b________A，ab________A．(填“∈”或“?”)
解析：因为a是偶数，b是奇数，所以a＋b是奇数，ab是偶数，故a＋b?A，ab∈A.
答案：?　∈
7．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为________．
解析：由y∈N且y＝－x2＋1≤1，所以y＝0或y＝1，所以A＝{0，1}．又因为t∈A，所以t＝0或t＝1.
答案：0或1
8．已知集合P中的元素x满足：x∈N，且2解析：因为集合P中恰有三个不同元素，且元素x满足x∈N，且2答案：6
9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，a∈R.
(1)若－3∈A，试求实数a的值；
(2)若a∈A，试求实数a的值．
解：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意；
若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意．
综上所述，实数a的值为0或－1.
(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.
当a＝a－3时，有0＝－3，不成立；
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1.
10．设集合A中的元素是实数，且满足1?A，且若a∈A，则∈A.若2∈A，写出集合A中的元素．
解：因为2∈A，所以＝－1∈A，
所以＝∈A，
所以＝2，
再求下去仍然只得到2，－1，这三个数，
所以集合A中的元素只有三个：－1，，2.
[B　能力提升]
11．(多选)已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是(　　)
A．0?M
B．2∈M
C．－4∈M
D．4∈M
解析：选CD.x，y，z同为正数时，代数式的值为4，所以4∈M；当x，y，z中只有一个负数或有两个负数时，代数式的值为0；当x，y，z同为负数时，代数式的值为－4.故选CD.
12．若集合A的元素y满足y＝x2＋1，集合B的元素(x，y)满足y＝x2＋1(A，B中x∈R，y∈R)．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是(　　)
A．2∈A，且2∈B
B．(1，2)∈A，且(1，2)∈B
C．2∈A，且(3，10)∈B
D．(3，10)∈A，且2∈B
解析：选C.集合A中的元素为y，是数集，又y＝x2＋1≥1，故2∈A，集合B中的元素为点(x，y)，且满足y＝x2＋1，经验证，(3，10)∈B，故选C.
13．(一题两空)已知a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N.
(1)若A中只有1个元素，则a＝________；
(2)若A中有2个元素，则a＝________．
解析：因为a∈A且4－a∈A，
a∈N且4－a∈N，
若a＝0，则4－a＝4，
此时A含两个元素；
若a＝1，则4－a＝3，
此时A含两个元素；
若a＝2，则4－a＝2，
此时A含1个元素．
答案：(1)2　(2)0或1
14．由a，，1组成的集合与由a2，a＋b，0组成的集合是同一个集合，求a2
020＋b2
020的值．
解：由a，，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得＝0，即b＝0，此时两集合中的元素分别为a，0，1和a2，a，0，因此a2＝1，解得a＝－1或a＝1(不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a＝－1，且b＝0，所以a2
020＋b2
020＝(－1)2
020＋0＝1.
[C　拓展探究]
15．定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
解：①数集N，Z不是“闭集”，例如，3∈N，2∈N，而＝1.5?N；3∈Z，－2∈Z，而＝－1.5?Z，故N，Z不是闭集．
②数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab，(b≠0)仍是有理数，
所以Q是闭集，同理R也是闭集．
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