1.5.5.4 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第五节 三角恒等变换 第四课时 两角差的余弦公式二倍角的正弦、余弦、正切公式

教材考点
学习目标
核心素养
二倍角的正弦、余弦、正切公式
会推导二倍角的正弦、余弦、正切公式
逻辑推理
二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用
能够灵活运用二倍角公式解决求值、化简和证明等问题
数学运算、逻辑推理
问题导学
预习教材P220－P223，并思考以下问题：
1．在公式C(α＋β)，S(α＋β)和T(α＋β)中，若α＝β，公式还成立吗？
2．在上述公式中，若α＝β，能得出什么结论？
二倍角的正弦、余弦、正切公式
名称
公式
推导
记法
正弦
sin
2α＝2sin__αcos__α
S(α＋β)S2α
S2α
余弦
cos
2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α
C(α＋β)C2α利用sin2α＋cos2α＝1消去sin2α或cos2α
C2α
正切
tan
2α＝
T(α＋β)T2α
T2α
■微思考
(1)所谓的“二倍角”公式，就是角α与2α之间的转化关系，对吗？
提示：不对．对于“二倍角”应该广义的理解，如：8α是4α的二倍角，3α是α的二倍角，α是的二倍角，是的二倍角，…这里蕴含着换元思想．这就是说“倍”是相对而言的，是描述两个数量之间关系的．
(2)公式中的角α是任意角吗？
提示：对于公式S2α，C2α中的角α是任意角，但是T2α中的角α要保证tan
α有意义且分母1－tan2α≠0.
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)10α是5α的倍角，5α是的倍角．(　　)
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(　　)
(3)存在角α，使得sin
2α＝2sin
α成立．(　　)
(4)对于任意角α，总有tan
2α＝.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2．已知sin
α＝，cos
α＝，则sin
2α等于(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
答案：D
3．计算1－2sin222.5°的结果等于(　　)
A.
B.
C.
D.
答案：B
4．已知tan
α＝，则tan
2α＝________．
答案：－
5．已知sin
α＋cos
α＝，则sin
2α＝________．
答案：－
探究点1　给角求值
求下列各式的值．
(1)sincos；
(2)cos2－sin2；
(3)；
(4)cos
cos
.
【解】　(1)sincos＝×2sincos＝×sin＝×＝.
(2)cos2－sin2＝cos
＝cos＝.
(3)原式＝tan(2×150°)＝tan
300°＝tan(360°－60°)＝－tan
60°＝－.
(4)原式＝＝
＝＝＝.
给角求值问题的两类解法
(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．
(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．　
1．cos4
－sin4
等于(　　)
A．－　　　　　　　　　
B．－
C.
D.
解析：选D.原式＝
＝cos
＝.
2．求下列各式的值．
(1)；
(2)－.
解：(1)＝
＝tan
60°＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝
＝4.
探究点2　给值求值
已知<α<π，sin
α＝.
(1)求tan
2α的值；
(2)求cos的值．
【解】　(1)由题意得cos
α＝－，
所以tan
α＝－，
所以tan
2α＝＝＝.
(2)因为sin
α＝，所以cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝－，
sin
2α＝2sin
α·cos
α＝2××＝－.
所以cos＝cos
2α·cos
＋sin
2α·sin
＝×＋×＝－.
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin
2x＝cos＝cos
＝2cos2－1＝1－2sin2；
②cos
2x＝sin＝sin
＝2sincos.　
1．已知x∈，cos
x＝，则tan
2x＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D.由cos
x＝，x∈，
得sin
x＝－，
所以tan
x＝－，
所以tan
2x＝＝
＝－，故选D.
2．若α∈，且3cos
2α＝sin，则sin
2α的值为(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选D.cos
2α＝sin
＝sin
2
＝2sincos，代入原式，
得6sin·cos
＝sin.因为α∈，
所以cos＝，
所以sin
2α＝cos＝2cos2－1＝－.
探究点3　化简与证明
(1)化简；
(2)证明tan－tan＝2tan
2α.
【解】　(1)原式＝
＝
＝
＝
＝＝1.
(2)证明：法一：左边＝－＝
＝
＝＝＝2tan
2α＝右边．
所以等式成立．
法二：左边＝－＝＝2tan
2α＝右边．故原式成立．
三角函数式的化简与证明
(1)化简的方法
①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin
θ±cos
θ)2＝1±sin
2θ.
(2)证明三角恒等式的方法
①从复杂的一边入手，证明一边等于另一边；②比较法，左边－右边＝0，＝1；③分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．　
1．若α为第三象限角，则－＝________．
解析：因为α为第三象限角，所以cos
α＜0，sin
α＜0，
所以－＝－
＝－＝0.
答案：0
2．求证：·＝tan
2α.
证明：左边＝·＝tan
2α＝右边．
1.－sin215°＝(　　)
A.　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选D.－sin215°＝
＝＝.
2．(一题两空)已知sin
＋cos
＝，那么sin
θ＝________，cos
2θ＝________．
解析：因为sin
＋cos
＝，
所以＝，
即1＋2sin
cos
＝，
所以sin
θ＝，
所以cos
2θ＝1－2sin2θ＝1－2×＝.
答案：　
3.的值为________．
解析：原式＝cos2－sin2
＝cos
＝.
答案：
4．已知α∈，sin
α＝.
(1)求sin
2α，cos
2α的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因为α∈，sin
α＝，
所以cos
α＝－＝－.
sin
2α＝2sin
αcos
α＝2××＝－，
cos
2α＝1－2sin2α＝1－2×＝.
(2)由(1)知cos＝coscos
2α＋sinsin
2α
＝×＋×＝－.
[A　基础达标]
1．已知sin＝，则cos的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.
解析：选D.因为sin＝，
所以cos＝cos
＝1－2sin2＝.
2．已知sin
α＝3cos
α，那么tan
2α的值为(　　)
A．2　　　　　　　　　　　
B．－2
C.
D．－
解析：选D.因为sin
α＝3cos
α，所以tan
α＝3，
所以tan
2α＝＝＝－.
3．设－3π<α<－，化简
的结果是(　　)
A．sin
B．cos
C．－cos
D．－sin
解析：选C.因为－3π<α<－，－<<－，所以＝＝＝－cos.
4．已知cos＝－，则sin(－3π＋2α)＝(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选A.易得cos＝2cos2－1
＝2×－1＝－.
又cos＝cos＝sin
2α，所以sin(－3π＋2α)＝sin(π＋2α)＝－sin
2α＝－＝.故选A.
5．已知tan＝2，则cos
2α＝(　　)
A．－
B.
C．－
D.
解析：选D.由tan＝＝2，
解得tan
α＝，
则cos
2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝.故选D.
6．已知sin
α－2cos
α＝0，则tan
2α＝________．
解析：由sin
α－2cos
α＝0，
得tan
α＝＝2，
tan
2α＝＝＝－.
答案：－
7．已知cos＝，则sin
2x＝________．
解析：因为sin
2x＝cos＝cos
＝2cos2－1，
所以sin
2x＝2×－1＝－1＝－.
答案：－
8.＝________．
解析：
＝
＝＝1.
答案：1
9．已知sin
2α＝，<α<，求sin
4α，cos
4α的值．
解：由<α<，得<2α<π.
因为sin
2α＝，
所以cos
2α＝－
＝－＝－.
于是sin
4α＝2sin
2αcos
2α＝2××＝－；
cos
4α＝1－2sin22α＝1－2×＝.
10．已知α为第二象限角，且sin
α＝，求的值．
解：原式＝
＝.
因为α为第二象限角，且sin
α＝，
所以sin
α＋cos
α≠0，cos
α＝－，
所以原式＝＝－.
[B　能力提升]
11．(多选)已知函数f(x)＝，则有(　　)
A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)是奇函数
D．函数f(x)的最小正周期为π
解析：选BCD.因为f(x)＝＝
＝－tan
x，
所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点对称，故选BCD.
12．已知tan
x＝2，则tan等于(　　)
A.
B．－
C.
D．－
解析：选C.tan
＝tan＝
＝＝－
＝－＝＝.
13．(一题两空)已知θ∈，＋＝2，则sin
2θ＝________，sin＝________．
解析：＋＝2?＝2
?sin
θ＋cos
θ＝2sin
θcos
θ?1＋sin
2θ＝2sin22θ，
因为θ∈，所以2θ∈(π，2π)，
所以sin
2θ＝－，所以sin
θ＋cos
θ<0，
所以θ∈，所以2θ∈，
所以cos
2θ＝，
所以sin＝sin
2θcos＋sincos
2θ＝.
答案：－　
14．已知sin
－2cos
＝0.
(1)求tan
x的值；
(2)求的值．
解：(1)由sin
－2cos
＝0，
知cos
≠0，所以tan
＝2，
所以tan
x＝＝＝－.
(2)由(1)知tan
x＝－，
所以
＝
＝
＝
＝×
＝×＝.
[C　拓展探究]
15．如图所示，在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿由点B到点E的方向前进30
m至点C，测得顶端A的仰角为2θ，再沿刚才的方向继续前进10
m
到点D，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高．
解：因为∠ACD＝θ＋∠BAC＝2θ，
所以∠BAC＝θ，所以AC＝BC＝30
m.
又∠ADE＝2θ＋∠CAD＝4θ，
所以∠CAD＝2θ，
所以AD＝CD＝10
m.
所以在Rt△ADE中，AE＝AD·sin
4θ＝10sin
4θ(m)，
在Rt△ACE中，AE＝AC·sin
2θ
＝30sin
2θ(m)，
所以10sin
4θ＝30sin
2θ，
即20sin
2θcos
2θ＝30sin
2θ，
所以cos
2θ＝，
又2θ∈，所以2θ＝，
所以θ＝，
所以AE＝30sin
＝15(m)，
所以θ＝，建筑物AE的高为15
m.