1.5.7.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第五章 三角函数 第七节 三角函数的应用 第一课时 三角函数的应用

教材考点
学习目标
核心素养
三角函数模型的构建
了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型
数学抽象、数学建模
三角函数模型在实际问题中的应用
会用三角函数模型解决简单的实际问题
数学建模、数学运算
问题导学
预习教材P242－P248，并思考以下问题：
1．在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别为多少？
2．解三角函数应用题有哪四步？
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中参数的物理意义
2．三角函数模型的建立程序
■微思考
现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？
提示：一般用三角函数模型．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的最大值为A.(　　)
(2)函数y＝Asin(ωx－φ)的初相为φ.(　　)
(3)“五点法”作函数y＝2sin在一个周期上的简图时，第一个点为.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．函数y＝2sin的周期、振幅依次是(　　)
A．4π，－2　　　　　　　　
B．4π，2
C．π，2
D．π，－2
答案：B
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的图象如图，则它的振幅A与最小正周期T分别是(　　)
A．A＝3，T＝
B．A＝3，T＝
C．A＝，T＝
D．A＝，T＝
答案：D
4．已知某人的血压满足函数解析式f(t)＝24sin(160πt)＋115.其中f(t)为血压(单位：mmHg)，t为时间(单位：min)，则此人每分钟心跳的次数(心跳次数即求频率)为(　　)
A．60
B．70
C．80
D．90
答案：C
5．已知电流强度I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝5sin，则当t＝s时，电流强度为(　　)
A．5
A
B．2.5
A
C．2
A
D．－5
A
答案：B
探究点1　三角函数在物理中的应用
已知弹簧挂着的小球做上下振动，它离开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)与时间t(s)的函数关系式为h＝3sin.
(1)求小球开始振动的位置；
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的坐标．
【解】　(1)令t＝0，得h＝3sin
＝，所以开始振动的位置为.
(2)由题意知，当h＝3时，t的最小值为，即所求最高点为；当h＝－3时，t的最小值为，即所求最低点为.
利用三角函数处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆，光波，电流，机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．　
1.如图，从某点给单摆一个作用力后，单摆开始来回摆动，它离开平衡位置O的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数解析式为s＝5sin，则单摆摆动时，从最右边到最左边的时间为(　　)
A．2
s　　　　　　　　　　
B．1
s
C.
s
D.
s
解析：选C.由题意，知周期T＝＝1(s)．单摆从最右边到最左边的时间是半个周期，为
s.
2．已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I＝Asin(ω
t＋φ)
.
(1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；
(2)如果t在任意一段
s的时间内，电流I都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？
解：(1)由题图知A＝300，周期
T＝2＝，
所以ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin＝0，
而|φ|＜，所以φ＝.
故所求的解析式为
I＝300sin.
(2)依题意，周期T≤，即≤，
所以ω≥300π，故ω的最小值为300π.
探究点2　三角函数在实际生活中的应用
　通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14
℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2
℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0，24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10
℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
【解】　(1)由题意知
解得
易知＝14－2，所以T＝24，
所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0，24))．
(2)当x＝9时，
y＝8sin＋6
＝8sin＋6<8sin＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
解三角函数应用问题的基本步骤
　已知某地一天从4～16时的温度变化曲线近似满足函数y＝10sin＋20，x∈[4，16]．
(1)求该地这一段时间内温度的最大温差；
(2)若有一种细菌在15
℃到25
℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌最多能生存多长时间？
解：(1)当x＝14时函数取最大值，此时最高温度为30
℃，
当x＝6时函数取最小值，此时最低温度为10
℃，
所以最大温差为30
℃－10
℃＝20
℃.
(2)令10sin＋20＝15，
得sin＝－，
而x∈[4，16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，
得sin＝，
而x∈[4，16]，所以x＝.
当x∈时，
x－∈，
所以y在上单调递增．
故该细菌能存活的最长时间为－＝小时．
探究点3　三角函数模型的拟合
　下表所示的是芝加哥1951～1981年的月平均气温(?).
月份
1
2
3
4
5
6
平均气温
21.4
26.0
36.0
48.8
59.1
68.6
月份
7
8
9
10
11
12
平均气温
73.0
71.9
64.7
53.5
39.8
27.7
以月份为x轴，x＝月份－1，平均气温为y轴建立直角坐标系．
(1)描出散点图；
(2)用正弦曲线去拟合这些数据；
(3)这个函数的周期是多少？
(4)估计这个正弦曲线的振幅A；
(5)下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据？
①＝cos；②＝cos；
③＝cos；④＝sin.
【解】　(1)(2)根据表中数据画出散点图，并用曲线拟合这些数据，如图所示．
(3)1月份的平均气温最低，为21.4
?，7月份的平均气温最高，为73.0
?，根据散点图知＝7－1＝6，所以T＝12.
(4)2A＝最高气温－最低气温＝73.0－21.4＝51.6，所以A＝25.8.
(5)因为x＝月份－1，所以不妨取x＝2－1＝1，y＝26.0，
代入①，得＝>1≠cos，所以①不适合．
代入②，得＝<0≠cos，
所以②不适合，同理，④不适合，所以③最适合．
根据收集的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，然后利用这个模型解决实际问题．　
　一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)
和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________．
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
y
－4.0
－2.8
0.0
2.8
4.0
2.8
0.0
－2.8
－4.0
解析：设y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，则从表中数据可以看到A＝4，ω＝＝＝，
又由4sin
φ＝－4.0，得sin
φ＝－1，取φ＝－，则y＝4sin，即y＝－4cost.
答案：y＝－4cost
1．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的(　　)
A．[0，5]　　　　　　　　　
B．[5，10]
C．[10，15]
D．[15，20]
解析：选C.由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]?[3π，5π]，故选C.
2．已知简谐振动的振幅是，图象上相邻最高点和最低点的距离是5，且过点，则该简谐振动的频率和初相是(　　)
A.，
B.，
C.，
D.，
解析：选B.由题意可知，A＝，32＋＝52，
则T＝8，ω＝＝，
所以y＝sin.
由图象过点得sin
φ＝，
所以sin
φ＝，
因为|φ|<，所以φ＝，
因此频率是，初相为，故选B.
3．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin(ωπt＋)＋60(美元)，t为天数，A>0，ω>0，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150天时，油价最低，则ω最小值为________．
解析：A＋60＝80得A＝20，且150πω＋＝－＋2kπ，k∈Z，即k＝1时，ω最小值为.
答案：
4．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5
s内往复运动________次．
解析：据I＝5sin(100πt－)知ω＝100π
rad/s，
该电流的周期为T＝＝＝0.02
s，
则这种交流电流在0.5
s内往复运行次数n＝2·＝2×
s＝50(次)．
答案：50
[A　基础达标]
1．函数y＝－2sin的周期、振幅、初相分别是(　　)
A．2π，－2，　　　　　　
B．4π，－2，
C．2π，2，－
D．4π，2，－
解析：选D.y＝－2sin＝2sin，所以周期T＝＝4π，振幅A＝2，初相φ＝－.
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)
A．5
B．6
C．8
D．10
解析：选C.由题意可知当sin取最小值－1时，
函数取最小值ymin＝－3＋k＝2，得k＝5，
所以y＝3sin＋5，
当sin取最大值1时，
函数取最大值ymax＝3＋5＝8.
3．在一个港口，相邻两次高潮发生的时间间隔为12
h，低潮时水深9
m，高潮时水深15
m．每天潮涨潮落时，该港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数图象可以近似地看成函数y＝Asin(ωt＋φ)＋k的图象，其中0≤t≤24，且t＝3时涨潮到一次高潮，则该函数的解析式可以是(　　)
A．y＝3sint＋12
B．y＝－3sint＋12
C．y＝3sint＋12
D．y＝3cost＋12
解析：选A.根据题意，由ω＝＝＝，排除选项C，D.当t＝3时，3sint＋12＝3sin＋12＝15，符合题意，－3sint＋12＝－3sin＋12＝9.不符合题意，故选项B错误．
4．已知点P是单位圆上的一个质点，它从初始位置P0开始，按逆时针方向以角速度1
rad/s做圆周运动，则点P的纵坐标y关于运动时间t(单位：s)的函数关系式为(　　)
A．y＝sin，t≥0
B．y＝sin，t≥0
C．y＝－cos，t≥0
D．y＝－cos，t≥0
解析：选A.由题意，知圆心角∠POP0的弧度数为t·1＝t，则∠POx的弧度数为t－，则由任意角的三角函数的定义，知点P的纵坐标y＝sin，t≥0，故选A.
5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：
x
1
2
3
y
10
000
9
500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是(　　)
A．10
000元
B．9
500元
C．9
000元
D．8
500元
解析：选C.因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9
500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9
500＝10
000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9
500＝9
500，
所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9
500.
当x＝3时，y＝9
000.
6．某港口在一天24小时内的潮水的高度近似满足关系式f(t)＝2sin，其中f(t)的单位为m，t的单位是h，则12点时潮水的高度是________m.
解析：当t＝12时，f(12)＝2sin＝2sin＝1.
答案：1
7．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5
cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0，60]．
解析：秒针1
s转弧度，t
s后秒针转了t弧度，如图所示，sin
＝，
所以d＝10sin
.
答案：10sin
8．如图，某游乐园内摩天轮的中心O点距地面的高度为50
m，摩天轮做匀速运动．摩天轮上的一点P自最低点A点起，经过t
min后，点P的高度h＝40sin＋50(m)，那么在摩天轮转动一圈的过程中，点P的高度在距地面70
m
以上的时间将持续____________min.
解析：40sin＋50>70，
即cost<－，从而<<，
4min.
答案：4
9．健康成年人的收缩压和舒张压一般为120～140
mmHg和60～90
mmHg.心脏跳动时，血压在增加或减小．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80
mmHg为标准值．记某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin(160πt)，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：
(1)求函数p(t)的周期；
(2)求此人每分钟心跳的次数；
(3)求出此人的血压在血压计上的读数，并与正常值比较．
解：(1)T＝＝＝(min)．
(2)f＝＝80.
(3)p(t)max＝115＋25＝140(mmHg)，
p(t)min＝115－25＝90(mmHg)．
即收缩压为140
mmHg，舒张压为90
mmHg.此人的血压在血压计上的读数为140/90
mmHg，在正常值范围内．
10．如图，弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化曲线是一个三角函数的图象．
(1)经过多长时间，小球往复振动一次？
(2)求这条曲线的函数解析式；
(3)小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是多少？
解：(1)由题图可知，
周期T＝2＝π，
所以小球往复振动一次所需要的时间为π≈3.14
s.
(2)可设该曲线的函数解析式为s＝Asin(ωt＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)，t∈[0，＋∞)，
从题图中可以看出A＝4，T＝2×＝π.即＝π，即ω＝2，将t＝，s＝4代入解析式，
得sin＝1，解得φ＝.
所以这条曲线的函数解析式为
s＝4sin，t∈[0，＋∞)．
(3)当t＝0时，s＝4sin
＝2(cm)，故小球在开始振动时，离开平衡位置的位移是2
cm.
[B　能力提升]
11．(多选)如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是(　　)
A．该质点的运动周期为0.7
s
B．该质点的振幅为5
C．该质点在0.1
s和0.5
s时运动速度为零
D．该质点的运动周期为0.8
s
解析：选BCD.由题图可知，振动周期为2×(0.7－0.3)＝0.8
s，故A错，D正确；该质点的振幅为5，B正确；由简谐运动的特点知，质点处于平衡位置时的速度最大，即在0.3
s和0.7
s时运动速度最大，在0.1
s和0.5
s时运动速度为零，故C正确．综上，BCD正确．
12．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28
℃，12月份的月平均气温最低，为18
℃，则10月份的月平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
13．(一题两空)如图一个水轮的半径为4
m，水轮圆心O距离水面2
m，已知水轮每分钟转动5圈，当水轮上点P从水中浮现(图中点P0)时开始计算时间．
(1)点P距离水面的高度z(m)表示为时间t(s)的函数为________；
(2)点P第一次到达最高点需要的时间为________s.
解析：(1)如图，建立直角坐标系，设角φ是以Ox为始边，OP0为终边的角，OP每秒钟所转过的弧度为＝，又水轮的半径为4
m，圆心O距离水面2
m，
所以z＝4sin＋2.
当t＝0时，z＝0，得sin
φ＝－，即φ＝－.
故所求的函数表达式为
z＝4sin＋2.
(2)令z＝4sin＋2＝6，
得sin＝1.
取t－＝，得t＝4.
故点P第一次到达最高点需要4
s.
答案：(1)z＝4sin＋2　(2)4
14．某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米)
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝Asin
ωt＋B(A>0，ω>0)的图象．
(1)试根据数据和曲线，求出y＝Asin
ωt＋B的解析式；
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)
解：(1)从拟合的曲线可知，函数y＝Asin
ωt＋B的一个周期为12小时，因此ω＝＝.
又因为ymin＝7，ymax＝13，所以A＝(ymax－ymin)＝3，B＝(ymax＋ymin)＝10.
所以函数的解析式为y＝3sint＋10(0≤t≤24)．
(2)由题意，水深y≥4.5＋7，即y＝3sint＋10≥11.5，t∈[0，24]，所以sint≥，所以t∈，k＝0，1，所以t∈[1，5]或t∈[13，17]．
所以该船在1：00至5：00或13：00至17：00
能安全进港．
若欲于当天安全离港，则船在港内停留的时间最多不能超过16小时．
[C　拓展探究]
15．为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入，为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．
(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；
(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？
解：(1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；由③可知，f(x)在[2，8]上单调递增，且f(2)＝100，
所以f(8)＝500.
根据上述分析可得，＝12，
故ω＝，且
解得
根据分析可知，当x＝2时，f(x)最小，
当x＝8时，f(x)最大，
故sin＝－1，
且sin＝1.
又因为0＜|φ|＜π，故φ＝－.
所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为
f(x)＝200sin＋300.
(2)由条件可知，200sin＋300≥400，
化简，得sin≥?2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，
解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因为x∈N
，且1≤x≤12，
故x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．