1.1.1.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第一节 集合的概念 第二课时　集合的表示

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教材考点
学习目标
核心素养
列举法表示集合
掌握用列举法表示有限集
数学抽象
描述法表示集合
理解描述法格式及其适用情况，并会用描述法表示相关集合
数学抽象
集合表示法的简单应用
学会在集合不同的表示法中作出选择和转换
数学抽象
问题导学
预习教材P3－P5，并思考以下问题：
1．集合有哪两种表示方法？它们如何定义？
2．列举法的使用条件是什么？如何用符号表示？
3．描述法的使用条件是什么？如何用符号表示？
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1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
■微思考1
(1)利用列举法表示集合时，需要考虑元素的顺序吗？
提示：用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序．
例如：{a，b}与{b，a}表示同一个集合．
(2)a与{a}相同吗？
提示：a与{a}是完全不同的，{a}表示一个集合，这个集合由一个元素a构成，a是集合{a}的元素．
2．描述法
一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法，有时也用冒号或分号代替竖线，写成{x∈A：P(x)}或{x∈A；P(x)}．
■微思考2
若集合A＝{x|y＝x2＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，C＝{(x，y)|y＝x2＋1}，P＝{y＝x2＋1}，则A，B，C，P表示同一个集合吗？它们有什么区别？
提示：A，B，C，P表示不同的集合．
①A＝{x|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的自变量x的取值范围，且x的取值范围是R，因此A＝R；
②B＝{y|y＝x2＋1}表示使函数y＝x2＋1有意义的函数值y的取值范围，而y的取值范围是y＝x2＋1≥1，因此B＝{y|y≥1}；
③C＝{(x，y)|y＝x2＋1}表示满足y＝x2＋1的点(x，y)组成的集合，因此C表示函数y＝x2＋1的图象上的点组成的集合；
④P＝{y＝x2＋1}是用列举法表示的集合，该集合中只有一个元素，且此元素是一个式子y＝x2＋1.
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一个集合可以表示为{s，k，t，k}．(　　)
(2)集合{－5，－8}和{(－5，－8)}表示同一个集合．(　　)
(3)集合A＝{x|x－1＝0}与集合B＝{1}表示同一个集合．(　　)
(4)集合{x|x>3，且x∈N}与集合{x∈N|x>3}表示同一个集合．(　　)
(5)集合{x∈N|x3＝x}可用列举法表示为{－1，0，1}．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．方程x2－1＝0的解集用列举法表示为(　　)
A．{x2－1＝0}　　　　　　　
B．{x∈R|x2－1＝0}
C．{－1，1}
D．以上都不对
解析：选C.解方程x2－1＝0得x＝±1，
故方程x2－1＝0的解集为{－1，1}．
3．集合{x∈N
|x－3<2}的另一种表示法是(　　)
A．{0，1，2，3，4}
B．{1，2，3，4}
C．{0，1，2，3，4，5}
D．{1，2，3，4，5}
解析：选B.因为x－3<2，x∈N
，
所以x<5，x∈N
，所以x＝1，2，3，4.
4．(一题两空)由大于－1小于5的自然数组成的集合用列举法表示为________，用描述法表示为________．
解析：大于－1小于5的自然数有0，1，2，3，4.故用列举法表示集合为{0，1，2，3，4}，用描述法表示可用x表示代表元素，其满足的条件是x∈N且－1答案：{0，1，2，3，4}　{x∈N|－1INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　用列举法表示集合
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"../../../../例1LLL.TIF"
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用列举法表示下列集合：
(1)满足－2≤x≤2且x∈Z的元素组成的集合A；
(2)方程(x－2)2(x－3)＝0的解组成的集合M；
(3)方程组的解组成的集合B；
(4)15的正约数组成的集合N.
【解】　(1)因为－2≤x≤2，x∈Z，
所以x＝－2，－1，0，1，2，
所以A＝{－2，－1，0，1，2}．
(2)因为2和3是方程的根，所以M＝{2，3}．
(3)解方程组得
所以B＝{(3，2)}．
(4)因为15的正约数有1，3，5，15四个数字，
所以N＝{1，3，5，15}．
列举法表示的集合的种类
(1)元素个数少且有限时，全部列举，如{1，2，3，4}．
(2)元素个数多且有限时，可以列举部分，中间用省略号表示，如“从1到1
000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1
000}．
(3)元素个数无限但有规律时，也可以类似地用省略号列举，如“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}．
[注意]　(1)花括号“{}”表示“所有”“整体”的含义，如实数集R可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．
(2)用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏．
(3)元素之间用“，”隔开．　
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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用列举法表示下列给定的集合：
(1)大于1且小于6的整数组成的集合A；
(2)方程x2－9＝0的实数根组成的集合B；
(3)小于8的素数组成的集合C；
(4)一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.
解：(1)大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，
所以A＝{2，3，4，5}．
(2)方程x2－9＝0的实数根为－3，3，
所以B＝{－3，3}．
(3)小于8的素数有2，3，5，7，
所以C＝{2，3，5，7}．
(4)由解得
所以一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点为(1，4)，所以D＝{(1，4)}．
探究点2　用描述法表示集合
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"../../../../例2LLL.TIF"
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用描述法表示下列集合：
(1)函数y＝－2x2＋x图象上的所有点组成的集合；
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合；
(3)如图中阴影部分的点(含边界)的集合；
(4)3和4的所有正的公倍数构成的集合．
【解】　(1)函数y＝－2x2＋x的图象上的所有点组成的集合可表示为{(x，y)|y＝－2x2＋x}．
(2)不等式2x－3<5的解组成的集合可表示为{x|2x－3<5}，即{x|x<4}．
(3)题图中阴影部分的点(含边界)的集合可表示为{(x，y)|－1≤x≤，－≤y≤1，xy≥0}．
(4)3和4的最小公倍数是12，因此3和4的所有正的公倍数构成的集合是{x|x＝12n，n∈N
}．
利用描述法表示集合应关注四点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x＜1}不能写成{x＜1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x2－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R|x2－2x＋1＝0}，也可写成{x|x2－2x＋1＝0}．　
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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试分别用描述法和列举法表示下列集合：
(1)由方程x(x2－2x－3)＝0的所有实数根组成的集合；
(2)大于2小于7的整数．
解：(1)用描述法表示为{x∈R|x(x2－2x－3)＝0}，用列举法表示为{0，－1，3}．
(2)用描述法表示为{x∈Z|2探究点3　集合表示方法的简单应用
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"../../../../例3LLL.TIF"
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已知集合A＝{x∈R|mx2－2x＋3＝0，m∈R}，若A中元素至多只有一个，求m的取值范围．
【解】　①当m＝0时，原方程为－2x＋3＝0，x＝，符合题意．
②当m≠0时，方程mx2－2x＋3＝0为一元二次方程，由Δ＝4－12m≤0，得m≥，即当m≥时，方程mx2－2x＋3＝0无实根或有两个相等的实数根，符合题意．
由①②知m＝0或m≥.
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变条件)若将本例中的“至多只有一个”改为“恰有一个”，如何求解？
解：当m＝0时，A＝，即集合A中只有一个元素，符合题意；
当m≠0时，Δ＝4－12m＝0，即m＝.
综上可知，m＝0或m＝.
2．(变条件)若将本例中的“至多只有”改为“至少有”，如何求解？
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．由例题可知，当m＝0或m＝时，A中有一个元素；当A中有两个元素时，Δ＝4－12m>0，即m<且m≠0.所以A中至少有一个元素时，m的取值范围为.
此题容易漏解m＝0，漏解的原因是默认所给的方程一定是一元二次方程．其实，当m＝0时，所给的方程是一个一元一次方程；当m≠0时，所给的方程才是一个一元二次方程，求解时要注意对m进行分类讨论.
　
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝(　　)
A．{1}
　　　　　　　　　
B．{1，2}
C．{2，5}
D．{1，5}
解析：选D.由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．已知集合A＝{x|－1A．－1∈A　　　　　　　　
B.∈A
C．0∈A
D．1?A
解析：选C.因为－1<0<，且0∈Z，所以0∈A.
2．下列集合中表示同一集合的是(　　)
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{2，3}，N＝{3，2}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)}
解析：选B.选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合．选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合．选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合．对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合．
3．集合用描述法可表示为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选D.通过观察发现规律，从而得到3，，，，…中的第n项的分母为n，分子为2n＋1，所以集合用描述法可表示为{x|x＝，n∈N
}．故选D.
4．将集合用列举法表示，正确的是(　　)
A．{2，3}
B．{(2，3)}
C．{x＝2，y＝3}
D．(2，3)
解析：选B.解方程组
得
所以集合
＝{(2，3)}．
5．设A＝{4，a}，B＝{2，ab}，若A与B的元素相同，则a＋b＝______．　
解析：因为A与B的元素相同，
所以
即a＝2，b＝2.故a＋b＝4.
答案：4
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．集合{(x，y)|y＝2x－1}表示(　　)
A．方程y＝2x－1
B．点(x，y)
C．平面直角坐标系中的所有点组成的集合
D．一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合
解析：选D.本题中的集合是点集，其表示一次函数y＝2x－1图象上的所有点组成的集合．故选D.
2．(2020·遵义高一检测)若集合A＝{－3，－2，－1，0，1，2}，集合B＝{y|y＝|x＋1|，x∈A}，则B＝(　　)
A．{1，2，3}
B．{0，1，2}
C．{0，1，2，3}
D．{－1，0，1，2，3}
解析：选C.由y＝|x＋1|，x∈A得，当x＝－3，1时，y＝2；当x＝－2，0时，y＝1；当x＝－1时，y＝0；当x＝2时，y＝3.故集合B＝{0，1，2，3}，故选C.
3．已知集合{x|x2＋ax＝0}＝{0，1}，则实数a的值为(　　)
A．－1　　　　　　　　　　
B．0
C．1
D．2
解析：选A.由题意，x2＋ax＝0的解为0，1，利用根与系数的关系得0＋1＝－a，所以a＝－1.
4．下列说法中正确的是(　　)
①0与{0}表示同一个集合；
②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；
③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解组成的集合可表示为{1，1，2}；
④集合{x|4A．①④
B．②③
C．②
D．②④
解析：选C.①中“0”不能表示集合，而“{0}”可以表示集合，故①错误．根据集合中元素的无序性可知②正确；根据集合中元素的互异性可知③错误；④不能用列举法表示，原因是集合中有无数个元素，不能一一列举．
5．(2020·郑州高一检测)已知集合A＝，B＝，C＝，下列结论正确的是(　　)
A．A＝B
B．A＝C
C．B＝C
D．A＝B＝C
解析：选A.A＝{x|x≠0}，B＝{y|y≠0}，C表示坐标满足y＝的点(x，y)形成的集合，则A＝B.
6．用列举法表示集合A＝{(x，y)|x＋y＝3，x∈N，y∈N
}为____________．
解析：集合A是由方程x＋y＝3的部分整数解组成的集合，由条件可知，当x＝0时，y＝3；当x＝1时，y＝2；当x＝2时，y＝1，故A＝{(0，3)，(1，2)，(2，1)}．
答案：{(0，3)，(1，2)，(2，1)}
7．用列举法表示集合{x|x＝(－1)n，n∈N}＝________．
解析：当n为奇数时，(－1)n＝－1；
当n为偶数时，(－1)n＝1，
所以{x|x＝(－1)n，n∈N}＝{－1，1}．
答案：{－1，1}
8．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}只有一个元素，则实数k＝________．
解析：集合A中只有一个元素，即方程kx2＋4x＋4＝0只有一个根．当k＝0时，方程为一元一次方程，只有一个根；当k≠0时，方程为一元二次方程，若只有一根，则Δ＝16－16k＝0，即k＝1.所以实数k的值为0或1.
答案：0或1
9．用列举法表示下列集合．
(1){x|x2－2x－8＝0}．
(2){x|x为不大于10的正偶数}．
(3){a|1≤a<5，a∈N}．
(4)A＝.
(5){(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}．
解：(1){x|x2－2x－8＝0}，用列举法表示为{－2，4}．
(2){x|x为不大于10的正偶数}，用列举法表示为{2，4，6，8，10}．
(3){a|1≤a<5，a∈N}，用列举法表示为{1，2，3，4}．
(4)A＝，用列举法表示为{1，5，7，8}．
(5){(x，y)|x∈{1，2}，y∈{1，2}}，用列举法表示为{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}．
10．用描述法表示下列集合：
(1){0，2，4，6，8}．
(2){3，9，27，81，…}．
(3).
(4)被5除余2的所有整数的全体构成的集合．
解：(1){x∈N|0≤x<10，且x是偶数}．
(2){x|x＝3n，n∈N
}．
(3).
(4){x|x＝5n＋2，n∈Z}．
[B　能力提升]
11．设P、Q为两个实数集，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0，2，5}，Q＝{1，2，6}，则P＋Q中元素的个数是(　　)
A．9
B．8
C．7
D．6
解析：选B.因为0＋1＝1，0＋2＝2，0＋6＝6，2＋1＝3，2＋2＝4，2＋6＝8，5＋1＝6，5＋2＝7，5＋6＝11，所以P＋Q＝{1，2，3，4，6，7，8，11}．故选B.
12．(多选)设集合M＝{x|x＝2m＋1，m∈Z}，P＝{y|y＝2m，m∈Z}，若x0∈M，y0∈P，a＝x0＋y0，b＝x0y0，则(　　)
A．a∈M
B．a∈P
C．b∈M
D．b∈P
解析：选AD.设x0＝2n＋1，y0＝2k，n，k∈Z，则x0＋y0＝2n＋1＋2k＝2(n＋k)＋1∈M，x0y0＝2k(2n＋1)＝2(2nk＋k)∈P，即a∈M，b∈P，故选AD.
13．(一题两空)若－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则a＝________，集合{x|x2－3x＋a＝0}用列举法表示为________．
解析：因为－5∈{x|x2－ax－5＝0}，
所以(－5)2＋5a－5＝0，解得a＝－4.
解x2－3x－4＝0得，x＝－1或x＝4，
所以{x|x2－3x＋a＝0}＝{－1，4}．
答案：－4　{－1，4}
14．设a∈N，b∈N，a＋b＝2，A＝{(x，y)|(x－a)2＋(y－a)2＝5b}，(3，2)∈A，求a，b的值．
解：由a＋b＝2，得b＝2－a，
代入(x－a)2＋(y－a)2＝5b得：
(x－a)2＋(y－a)2＝5(2－a)①，
又因为(3，2)∈A，将点代入①，可得
(3－a)2＋(2－a)2＝5(2－a)，
整理，得2a2－5a＋3＝0，
得a＝1或1.5(舍去，因为a是自然数)，
所以a＝1，所以b＝2－a＝1，
综上，a＝1，b＝1.　
[C　拓展探究]
15．已知a，b∈N
，现规定：a
b＝
集合M＝{(a，b)|a
b＝36，a，b∈N
}．
(1)用列举法表示a与b一个为奇数，一个为偶数时的集合M；
(2)当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有多少个元素？
解：(1)当a与b一个为奇数，一个为偶数时，集合M中的元素(a，b)满足a×b＝36，a，b∈N
.
因为1×36＝36，3×12＝36，4×9＝36，9×4＝36，12×3＝36，36×1＝36，
所以当a与b一个为奇数，一个为偶数时，M＝{(1，36)，(3，12)，(4，9)，(9，4)，(12，3)，(36，1)}．
(2)当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中的元素(a，b)满足a＋b＝36，a，b∈N
.
因为1＋35＝36，2＋34＝36，3＋33＝36，…，34＋2＝36，35＋1＝36.
所以当a与b同为奇数或同为偶数时，集合M中共有35个元素．
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