1.1.3.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第三节 集合的基本运算 第二课时 并集与交集全集、补集及综合应用

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教材考点
学习目标
核心素养
全集、补集
了解全集、补集的意义，正确理解符号?UA的含义，会求已知全集条件下集合A的补集
数学抽象、数学运算、直观想象
集合交、并、补的综合运算
会求解集合的交、并、补的集合问题
数学运算、直观想象
与补集相关的参数值(范围)的求解
能正确利用补集的意义求解一些具体问题
数学运算、直观想象
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
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"../../../../温馨提示ALLL.TIF"
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问题导学
预习教材P12－P13，并思考以下问题：
1．全集的含义是什么？
2．补集的含义是什么？
3．如何理解“?UA”的含义？
4．如何用Venn图表示?UA?
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．全集
(1)定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)记法：全集通常记作U．
■微思考1
在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？
提示：全集是一个相对性的概念，只包含研究问题中涉及的所有的元素，所以全集因问题的不同而异．
2．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作?UA
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x?A}
图形
语言
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"../../../../MF28.tif"
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3.补集的性质
(1)A∪(?UA)＝U．
(2)A∩(?UA)＝?．
(3)?UU＝?，?U?＝U，?U(?UA)＝A．
(4)(?UA)∩(?UB)＝?U(A∪B)．
(5)(?UA)∪(?UB)＝?U(A∩B)．
■微思考2
?UA，A，U三者之间有什么关系？
提示：A?U，?UA?U，A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?.
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)数集问题的全集一定是R.(　　)
(2)集合?BC与?AC相等．(　　)
(3)A∩?UA＝?.(　　)
(4)一个集合的补集中一定含有元素．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，则?UM＝(　　)
A．{2，4，6}　　　　　　　　
B．{1，3，5}
C．{1，2，4}
D．U
解析：选A.因为集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{1，3，5}，所以?UM＝{2，4，6}．
3．设全集U＝R，集合P＝{x|－1≤x≤1}，那么?UP＝(　　)
A．{x|x＜－1}
B．{x|x＞1}
C．{x|－1＜x＜1}
D．{x|x＜－1或x＞1}
解析：选D.因为P＝{x|－1≤x≤1}，U＝R，所以?UP＝?RP＝{x|x＜－1或x＞1}．
4．已知集合A＝{3，4，m}，集合B＝{3，4}，若?AB＝{5}，则实数m＝________．
答案：5
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　补集的运算
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
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"../../../../例1LLL.TIF"
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若集合A＝{x|－1≤x<1}，当S分别取下列集合时，求?SA.
(1)S＝R；
(2)S＝{x|x≤2}；
(3)S＝{x|－4≤x≤1}．
【解】　(1)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
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"../../../../ab37.TIF"
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由图知?SA＝{x|x<－1或x≥1}．
(2)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
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"../../../../ab39.TIF"
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由图知?SA＝{x|x<－1或1≤x≤2}．
(3)把集合S和A表示在数轴上，如图所示．
INCLUDEPICTURE
"../../../../ab40.TIF"
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由图知?SA＝{x|－4≤x<－1或x＝1}．
求集合补集的策略
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解．另外，针对此类问题，在解答过程中也常常借助Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象，且解答时不易出错．
(2)如果所给集合是无限集，在解答有关集合补集问题时，则常借助数轴，先把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后根据补集的定义求解．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．(2020·烟台高一检测)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2，4}，则?UA＝(　　)
A．{1，3}　　　　　　　　　
B．{1，3，5}
C．{0，1，3}
D．{0，1，3，5}
解析：选C.全集U＝{x|x是小于5的非负整数}＝{0，1，2，3，4}，A＝{2，4}，所以?UA＝{0，1，3}．故选C.
2．(2020·平顶山高一联考)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，则集合A＝{x∈R|－2≤x≤0}的补集?UA为(　　)
A．{x∈R|0B．{x∈R|0≤x<2}
C．{x∈R|0D．{x∈R|0≤x≤2}
解析：选C.借助数轴易得?UA＝{x∈R|0INCLUDEPICTURE
"../../../../C1-12.TIF"
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探究点2　集合交、并、补的综合运算
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1【解】　将集合A，B，P分别表示在数轴上，如图所示．
INCLUDEPICTURE
"../../../../ab41.TIF"
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因为A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－13}．
又P＝，
所以(?UB)∪P＝.
又?UP＝，
所以(A∩B)∩(?UP)
＝{x|－1＝{x|0INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变问法)在本例条件下，求(?UA)∩(?UP)．
解：画出数轴，如图所示：
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"../../../../ab42.TIF"
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观察数轴可知(?UA)∩(?UP)＝.
2．(变条件)将本例中的集合P改为{x|x≤5}，且全集U＝P，A，B不变，求A∪(?UB)．
解：画出数轴，如图所示：
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"../../../../ab43.TIF"
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观察数轴可知A∪(?UB)＝{x|x<2或3解决集合交、并、补运算的技巧
(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解．
(2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．(一题两空)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩(?UB)＝________，B∩(?UA)________．
解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，
A＝{2，3，5，6}，B＝{1，3，4，6，7}，
所以?UA＝{1，4，7，8}，?UB＝{2，5，8}．
所以A∩(?UB)＝{2，3，5，6}∩{2，5，8}＝{2，5}，
B∩(?UA)＝{1，3，4，6，7}∩{1，4，7，8}＝{1，4，7}．
答案：{2，5}　{1，4，7}
2．已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2解：如图．
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"../../../../MF31.TIF"
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因为A＝{x|－2B＝{x|－3≤x≤2}，
所以?UA＝{x|x≤－2或3≤x≤4}，?UB＝{x|x<－3或2所以A∩B＝{x|－2探究点3　与补集相关的参数值(范围)的求解
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../例3LLL.TIF"
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设集合A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2【解】　由已知A＝{x|x≥－m}，得?UA＝{x|x<－m}，
因为B＝{x|－2在数轴上表示，如图，
INCLUDEPICTURE
"../../../../C1-13.TIF"
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所以－m≤－2，
即m≥2，
所以m的取值范围是m≥2.
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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　(变条件)将本例中条件“(?UA)∩B＝?”改为“(?UA)∩B＝B”，其他条件不变，则m的取值范围又是什么？
解：由已知得A＝{x|x≥－m}，
所以?UA＝{x|x<－m}，
又(?UA)∩B＝B，
所以－m≥4，
解得m≤－4.
由集合的补集求解参数的方法
(1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限时，可利用补集定义并结合集合知识求解．
(2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个时，一般利用数轴分析法求解．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．(多选)设全集U＝{1，3，5，7，9}，集合A＝{1，|a－5|，9}，?UA＝{5，7}，则a的值是(　　)
A．2
B．－2
C．8
D．－8
解析：选AC.因为A∪(?UA)＝U，所以|a－5|＝3，解得a＝2或8.
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a解：由题意得?RA＝{x|x≥－1}，
①若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??RA；
②若B≠?，则由B??RA，
得2a≥－1且2a综上可得，实数a的取值范围是
.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合P＝{1，3，5}，Q＝{1，2，4}，则(?UP)∪Q＝(　　)
A．{1}　　　　　　　　　　
B．{3，5}
C．{1，2，4，6}
D．{1，2，3，4，5}
解析：选C.由题意得，?UP＝{2，4，6}，
所以(?UP)∪Q＝{1，2，4，6}．
故选C.
2．设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝(　　)
A．{x|0≤x＜1}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
解析：选B.因为?UB＝{x|x≤1}，
所以A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
3．已知全集U＝{1，2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，则实数a等于(　　)
A．0或2　　　　　　　　　　　
B．0
C．1或2
D．2
解析：选D.由题意，知得a＝2.
4．(一题两空)设全集为R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2解析：把集合A，B在数轴上表示如下：
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"../../../../MF34.TIF"
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由图知，A∪B＝{x|2所以?R(A∪B)＝{x|x≤2或x≥10}，
因为?RA＝{x|x<3或x≥7}，
所以(?RA)∩B＝{x|2答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|25．设U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，若?UA＝{x|x＜3或x＞4}，则a＋b＝________．
解析：因为U＝R，A＝{x|a≤x≤b}，所以?UA＝{x|x＜a或x＞b}．又因为?UA＝{x|x＜3或x＞4}，所以a＝3，b＝4，a＋b＝7.
答案：7
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则?U(A∪B)＝(　　)
A．{2，6}　　　　　　　　　
B．{3，6}
C．{1，3，4，5}
D．{1，2，4，6}
解析：选A.由题知A∪B＝{1，3，4，5}，
所以?U(A∪B)＝{2，6}．故选A.
2．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝(　　)
A．{x|x≥0}
B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0解析：选D.由已知得A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，　
故?U(A∪B)＝{x|03．已知集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则?AB＝(　　)
A．{x|x是菱形}
B．{x|x是内角都不是直角的菱形}
C．{x|x是正方形}
D．{x|x是邻边都不相等的矩形}
解析：选B.由集合A＝{x|x是菱形或矩形}，B＝{x|x是矩形}，则?AB＝{x|x是内角都不是直角的菱形}．
4．已知全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1，2}，则A∩(?UB)＝(　　)
A．{3}
B．{4}
C．{3，4}
D．?
解析：选A.因为全集U＝{1，2，3，4}，且?U(A∪B)＝{4}，所以A∪B＝{1，2，3}，又B＝{1，2}，所以?UB＝{3，4}，A＝{3}或{1，3}或{2，3}或{1，2，3}，所以A∩(?UB)＝{3}．故选A.
5.已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为(　　)
A．{x|－2≤x<4}
B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|－2≤x≤－1}
D．{x|－1≤x≤3}
解析：选D.由题意得，阴影部分所表示的集合为(?UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．
6．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合?U(A∪B)中元素的个数为________．
解析：由题意得，A＝{1，2}，B＝{2，4}，所以A∪B＝{1，2，4}，所以?U(A∪B)＝{3，5}，故有2个元素．
答案：2
7．设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1，2}，则实数m＝________．
解析：由题意可知，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}＝{0，3}，即0，3为方程x2＋mx＝0的两根，
所以m＝－3.
答案：－3
8．已知全集U＝R，A＝{x|1≤x解析：因为?UA＝{x|x<1或x≥2}，
所以A＝{x|1≤x<2}．所以b＝2.
答案：2
9．已知集合A＝{x|－1解：?R(A∪B)＝{x|x≤－1或x≥6}，
?R(A∩B)＝{x|x<1或x>3}，
(?RA)∩B＝{x|3A∪(?RB)＝{x|x≤3或x≥6}．
10．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?RA)∩B＝{2}，A∩(?RB)＝{4}，求实数a，b的值．
解：由条件(?RA)∩B＝{2}和A∩(?RB)＝{4}，知2∈B，但2?A；4∈A，但4?B.将x＝2和x＝4分别代入B，A两集合中的方程得
即
解得a＝，b＝－即为所求．
[B　能力提升]
11．定义差集A－B＝{x|x∈A，且x?B}，现有三个集合A，B，C分别用圆表示，则集合C－(A－B)可表示下列图中阴影部分的为(　　)
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"../../../../JN6.tif"
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解析：选A.如图所示，A－B表示图中阴影部分，故C－(A－B)所含元素属于C，但不属于图中阴影部分，故选A.
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"../../../../JN7.tif"
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12．已知M＝{x|x<－2或x≥3}，N＝{x|x－a≤0}，若N∩?RM≠?(R为实数集)，则a的取值范围是________．
解析：由题意知?RM＝{x|－2≤x＜3}，N＝{x|x≤a}．　
因为N∩?RM≠?，所以a≥－2.
答案：a≥－2
13．(一题两空)已知A＝{x|－1(1)当m＝1时，A∪B＝________；
(2)若B??RA，则实数m的取值范围为________.
解析：(1)m＝1时，B＝{x|1≤x<4}，
A∪B＝{x|－1(2)?RA＝{x|x≤－1或x>3}．
当B＝?，即m≥1＋3m时，
得m≤－，满足B??RA；
当B≠?时，要使B??RA成立，
则或
解得m>3.
综上可知，实数m的取值范围是m>3或m≤－.
答案：(1){x|－13或m≤－
14．设全集U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋(m＋1)x＋m＝0}．若(?UA)∩B＝?，求实数m的值．
解：由已知，得A＝{－2，－1}，
由(?UA)∩B＝?，得B?A，
因为方程x2＋(m＋1)x＋m＝0的判别式Δ＝(m＋1)2－4m＝(m－1)2≥0，所以B≠?.
所以B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．　
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且m＝(－2)×(－2)＝4，这两式不能同时成立，所以B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且m＝(－1)×(－2)＝2，由这两式得m＝2.
经检验，知m＝1，m＝2均符合条件．
所以m＝1或2.
[C　拓展探究]
15．对于集合A，B，我们把集合{(a，b)|a∈A，b∈B}记作A×B.例如，A＝{1，2}，B＝{3，4}，则有A×B＝{(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)}，B×A＝{(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)}，A×A＝{(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)}，B×B＝{(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)}，
据此，试回答下列问题．
(1)已知C＝{a}，D＝{1，2，3}，求C×D；
(2)已知A×B＝{(1，2)，(2，2)}，求集合A，B；
(3)A有3个元素，B有4个元素，试确定A×B有几个元素．
解：(1)C×D＝{(a，1)，(a，2)，(a，3)}．
(2)因为A×B＝{(1，2)，(2，2)}，
所以A＝{1，2}，B＝{2}．
(3)从以上解题过程中可以看出，A×B中元素的个数，与集合A和B中的元素个数有关，即集合A中的任何一个元素与B中的每一个元素对应后，得到A×B中的一个新元素．若A中有m个元素，B中有n个元素，则A×B中的元素应为(m×n)个．因此若A中有3个元素，B中有4个元素，则A×B中有3×4＝12(个)元素．
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