1.1.2.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第二节 集合间的基本关系 第一课时　集合间的基本关系

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INCLUDEPICTURE"导学聚焦LLL.TIF"
教材考点
学习目标
核心素养
子集、真子集、空集的概念
理解子集、真子集、空集的概念，会用列举法求有限集的所有子集
数学抽象
集合关系的判定
能用符号和Venn图表达集合间的关系，会判断两个集合间的关系
数学抽象、逻辑推理
集合关系的应用
能根据集合的关系解决简单的求参问题
逻辑推理、数学运算
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"
问题导学
预习教材P7－P8，并思考以下问题：
1．集合与集合之间的关系有哪几种？如何用符号表示这些关系？
2．集合的子集是什么？真子集又是什么？如何用符号表示？
3．空集是什么样的集合？空集和其他集合间具有什么关系？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．Venn图
(1)定义：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图，这种表示集合的方法叫做图示法．
(2)适用范围：元素个数较少的集合．
(3)使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．
2．子集、真子集、集合相等
定义
符号表示
图形表示
子集
如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A是集合B的子集
A?B(或B?A)
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"../../../../JN1.tif"
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真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就称集合A是集合B的真子集
A?B(或B?A)
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"../../../../JN2.tif"
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集合相等
如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等
A＝B
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"../../../../JN3.tif"
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■微思考1
(1)符号“∈”与“?”有什么区别？
提示：①“∈”是表示元素与集合之间的关系，比如1∈N，－1?N.
②“?”是表示集合与集合之间的关系，比如N?R，{1，2，3}?{3，2，1}．
③“∈”的左边是元素，右边是集合，而“?”的两边均为集合．
(2)“A?B”与“A?B”有什么区别和联系？
提示：A?B首先要满足A?B，其次至少有一个x∈B且x?A.
3．空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．
(2)用符号表示为?．
(3)规定：空集是任何集合的子集．
■微思考2
?与{0}有什么区别？
提示：?是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，0∈{0}，0??，??{0}．
4．子集的有关性质
(1)任何一个集合是它本身的子集，即A?A.
(2)对于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C．
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“∈”“?”的意义是一样的．(　　)
(2)集合{0}是空集．(　　)
(3)空集是任何集合的真子集．(　　)
(4)若集合A是集合B的真子集，则集合B中必定存在元素不在集合A中．(　　)
(5)若a∈A，集合A是集合B的子集，则必定有a∈B.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2．已知集合M＝{1}，N＝{1，2，3}，能够准确表示集合M与N之间关系的是(　　)
A．MB．M∈N
C．N?M
D．M?N
答案：D
3．已知集合A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}，C＝{x|x是等腰直角三角形}，D＝{x|x是等边三角形}，则(　　)
A．A?B
B．C?B
C．D?C
D．A?D
解析：选B.因为等腰直角三角形必为等腰三角形，所以C?B.　
4．下列四个集合中是空集的是(　　)
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|x<4或x>8}
D．{x|x2＋2x＋1＝0}
解析：选B.A，D选项各有一个元素，C项中有无穷多个元素，x2＋1＝0无实数解，故选B.
5．已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0，a＋3}，且A?B，则a＝________．
解析：因为A?B，所以a＋3＝1，即a＝－2.
答案：－2
探究点1　集合间关系的判断
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"../../../../例1LLL.TIF"
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指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；
(2)A＝{x|－1(3)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}；
(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
【解】　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A?B.
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"../../../../MF7.TIF"
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(3)正方形是特殊的矩形，故A?B.
(4)两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
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"../../../../CK1.TIF"
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1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)
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"../../../../ab12.TIF"
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解析：选B.解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0，1}，易得N?M，其对应的Venn图如选项B所示．
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1，2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：
(1)A________B；(2)A________C；
(3){2}________C；(4)2________C.
解析：集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1，2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0，1，2，3，4，5，6，7}．故(1)A＝B；(2)A?C；(3){2}?C；(4)2∈C.
答案：(1)＝　(2)?　(3)?　(4)∈
探究点2　子集、真子集的个数问题
(1)集合{a，b，c}的所有子集为________，其中它的真子集有________个．
(2)写出满足{3，4}?P?{0，1，2，3，4}的所有集合P.
【解】　(1)集合{a，b，c}的子集有：?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个．故填?，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}和7.
(2)由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}．
与子集、真子集个数有关的4个结论
假设集合A中含有n个元素，则有
(1)A的子集的个数有2n个；
(2)A的非空子集的个数有2n－1个；
(3)A的真子集的个数有2n－1个；
(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．
[提醒]　求给定集合的子集的两个注意点：
(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；
(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集个数为2的a的值为(　　)
A．－2　　　　　　　　　　
B．4
C．0
D．以上答案都不是
解析：选C.由题意知，集合A中只有1个元素，必有x2＝a只有一个解；若方程x2＝a只有一个解，必有a＝0.
2．若集合A?{1，2，3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．
解析：若A中含有一个奇数，则A可能为{1}，{3}，{1，2}，{3，2}；若A中含有两个奇数，则A＝{1，3}．
答案：5
探究点3　由集合间的包含关系求参数
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"../../../../例3LLL.TIF"
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已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|11)，且B?A，则实数m的取值范围是________．
【解析】　由于B?A，结合数轴分析可知，m≤4，
又m>1，所以1INCLUDEPICTURE
"../../../../C1-3.TIF"
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【答案】　1INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|1解：若m≤1，则B＝?，满足B?A.
若m>1，则由例题解析可知1综上可知m≤4.
2．(变条件)本例若将“B＝{x|11)”改为“B＝{x|2m－1解：因为B?A，
①当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
②当B≠?时，有
解得－1≤m<2.
综上得m≥－1.
3．(变条件)本例若将集合A，B分别改为A＝{－1，3，2m－1}，B＝{3，m2}，其他条件不变，则实数m的值又是什么？
解：因为B?A，所以m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，所以m＝1，当m＝1时，A＝{－1，3，1}，B＝{3，1}满足B?A.所以m的值为1.
由集合间的包含关系求参数的方法
(1)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论；
(2)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，应注意端点处是实点还是虚点．
[注意]　(1)不能忽视集合为?的情形．
(2)当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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(多选)已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B?A，则m的值为(　　)
A.
B．－
C．0
D．2
解析：选ABC.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}．
因为B?A且B＝{x|mx＋1＝0}，
所以B＝{－3}或B＝{2}或B＝?.
当B＝{－3}时，
由m·(－3)＋1＝0，得m＝.
当B＝{2}时，
由m·2＋1＝0，
得m＝－.
当B＝?时，m＝0.
综上所述，m＝或m＝－或m＝0.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
1．下列命题中正确的是(　　)
A．空集没有子集
B．空集是任何一个集合的真子集
C．任何一个集合必有两个或两个以上的子集
D．设集合B?A，那么，若x?A，则x?B
解析：选D.空集有唯一一个子集，就是其本身，故A，C错误；空集是任何一个非空集合的真子集，故B错误；由子集的概念知D正确．
2．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间的最适合的关系是(　　)
A．A?B　　　　　　　　　
B．A?B
C．A?B
D．A?B
解析：选D.集合A是能被3整除的整数组成的集合，集合B是能被6整除的整数组成的集合，所以A?B.
3．满足{a}?M?{a，b，c，d}的集合M共有(　　)
A．6个
B．7个
C．8个
D．15个
解析：选B.依题意a∈M，且M?{a，b，c，d}，因此M中必含有元素a，且可含有元素b，c，d中的0个、1个或2个，即M的个数等于集合{b，c，d}的真子集的个数，有23－1＝7(个)．
4．(多选)设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，1－2a}，且B?A，则a的值为(　　)
A．3
B．1
C.
D．－1
解析：选CD.由题意得1－2a＝3或1－2a＝a，
解得a＝－1或a＝.
当a＝－1时，
A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}，符合条件．
当a＝时，
A＝，B＝，符合条件．
所以a的值为－1或.
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
[A　基础达标]
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{3，4，5，X}，若B?A，则X可以取的值为(　　)
A．1，2，3，4，5，6　　　　　　
B．1，2，3，4，6
C．1，2，3，6
D．1，2，6
解析：选D.由B?A和集合元素的互异性可知，X可以取的值为1，2，6.
2．(多选)已知集合A＝{x|x2－9＝0}，则下列式子表示正确的有(　　)
①3∈A；②{－3}∈A；③??A；④{3，－3}?A.
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：选ACD.根据题意，集合A＝{x|x2－9＝0}＝{－3，3}，依次分析4个式子：
对于①3∈A，3是集合A的元素，正确；
②{－3}∈A，{－3}是集合，有{－3}?A，错误；
③??A，空集是任何集合的子集，正确；
④{3，－3}?A，任何集合都是其本身的子集，正确．
3．若A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，则集合B的非空真子集的个数为(　　)
A．3
B．6
C．7
D．8
解析：选B.由题意A＝{2，3，4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6，8，12}，所以集合B的非空真子集的个数为：23－2＝6.
4．已知集合M＝，N＝{x|x＝＋，}，则(　　)
A．M＝N
B．M?N
C．M?N
D．M与N没有相同元素
解析：选C.因为＋＝(2k＋1)，＋＝(k＋2)，当k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又奇数都是整数，且整数不都是奇数，所以M?N.故选C.
5．(2020·驻马店高一检测)已知??{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：选B.因为??{x|x2－x＋a＝0}，所以方程x2－x＋a＝0有实根，所以Δ＝1－4a≥0，解得a≤.故选B.
6．设集合M＝{(x，y)|x＋y<0，xy>0}和P＝{(x，y)|x<0，y<0}，那么M与P的关系为________．
解析：因为xy>0，所以x，y同号，又x＋y<0，所以x<0，y<0，即集合M表示第三象限内的点，而集合P也表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
7．设A＝{x|－1a}，若A?B，则a的取值范围是________．
解析：集合A，B在数轴上表示如图，由A?B可求得a≤－1.
INCLUDEPICTURE
"../../../../C1-5.TIF"
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答案：a≤－1
8．已知集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，若非空集合C是这样一个集合：其各元素都加2后，就变为A的一个子集，若各元素都减2后，则变为B的一个子集，则集合C＝________．
解析：由题意知C?{0，2，4，6，7}，C?{3，4，5，7，10}，所以C?{4，7}．又因为C≠?，所以C＝{4}，{7}或{4，7}．
答案：{4}，{7}或{4，7}
9．判断下列集合间的关系：
(1)A＝{－1，1}，B＝{x∈N|x2＝1}．
(2)P＝{x|x＝2n，n∈Z}，Q＝{x|x＝2(n－1)，n∈Z}．
(3)A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}．
(4)A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}，B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}．
解：(1)用列举法表示集合B＝{1}，故B?A.
(2)因为Q中n∈Z，所以n－1∈Z，Q与P都表示偶数集，所以P＝Q.
(3)因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，
B＝{x|2x－5≥0}＝，
所以利用数轴判断A，B的关系．
如图所示，A?B.
INCLUDEPICTURE
"../../../../ab16.TIF"
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(4)因为A＝{x|x＝a2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，
B＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈R}＝{x|x＝(a－2)2＋1，a∈R}＝{x|x≥1}，所以A＝B.
10．已知A＝{x|x<－2或x>3}，B＝{x|4x＋m<0}，当A?B时，求实数m的取值范围．
解：集合A在数轴上表示如图．
INCLUDEPICTURE
"../../../../MF11.TIF"
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要使A?B，则集合B中的元素必须都是A中的元素，
即B中元素必须都位于阴影部分内．
那么由4x＋m<0，
即x<－知，－≤－2，
即m≥8，
故实数m的取值范围是m≥8.
[B　能力提升]
11．已知集合A＝{0，1}，B＝{x|x?A}，则下列关于集合A与B的关系正确的是(　　)
A．A?B
B．A?B
C．B?A
D．A∈B
解析：选D.因为x?A，所以B＝{?，{0}，{1}，{0，1}}，则集合A＝{0，1}是集合B中的元素，所以A∈B，故选D.
12．(多选)已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q?P，则a的值是(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．2
解析：选ABC.由题意，当Q为空集时，a＝0，符合题意；当Q不是空集时，由Q?P，得a＝1或a＝－1.所以a的值为0，1或－1.
13．(一题两空)已知集合A＝{a，a－1}，B＝{2，y}，C＝{x|1(1)若A＝B，则y的值为________；
(2)若A?C，则a的取值范围为________．
解析：(1)若a＝2，则A＝{1，2}，所以y＝1.
若a－1＝2，则a＝3，A＝{2，3}，
所以y＝3，
综上，y的值为1或3.
(2)因为C＝{x|2所以
所以3答案：(1)1或3　(2)314．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}．
(1)若B?A，求实数m的取值范围；
(2)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(3)当x∈R时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝?满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使B?A成立，
则有m＋1≥－2且2m－1≤5，
可得－3≤m≤3，即2≤m≤3.
综上可知，当m≤3时，B?A.
(2)当x∈Z时，A＝{－2，－1，0，1，2，3，4，5}，共8个元素，故A的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．
(3)因为x∈R，A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立，
所以A，B没有公共元素．
当m＋1＞2m－1，
即m＜2时，B＝?满足题意；
当m＋1≤2m－1，
即m≥2时，要使A，B没有公共元素，
则有或
解得m＞4.
综上所述，当m＜2或m＞4时，不存在元素x使x∈A且x∈B同时成立．
[C　拓展探究]
15．已知集合A＝{x||x－a|＝4}，B＝{1，2，b}．
(1)是否存在实数a，使得对于任意的实数b，都有A?B？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
(2)若A?B成立，求出对应的实数对(a，b)．
解：(1)由题意，知当且仅当集合A中的元素为1，2时，对于任意的实数b，都有A?B.
因为A＝{a－4，a＋4}，
所以或，方程组均无解，
所以不存在实数a，使得对于任意的实数b都有A?B.
(2)结合(1)，知若A?B，
则有或或或，
解得或或或，
所以所求实数对(a，b)为(5，9)，(6，10)，(－3，－7)，(－2，－6)．
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