1.1.4.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第四节 充分条件与必要条件 第一课时 充分条件与必要条件

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教材考点
学习目标
核心素养
充分条件、必要条件的概念
理解充分条件、必要条件、充要条件的概念
数学抽象
充分条件、必要条件的判断
结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法
逻辑推理
充分条件、必要条件的应用
掌握证明充要条件的一般方法
逻辑推理
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
问题导学
预习教材P17－P22，并思考以下问题：
1．什么是充分条件？
2．什么是必要条件？
3．什么是充要条件？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”为真命题
“若p，则q”为假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件q是p的必要条件
p不是q的充分条件q不是p的必要条件
■微思考1
(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
提示：相同，都是p?q.
(2)能否认为“若p，则q”就是“p?q”？为什么？
提示：不能．不能将“若p，则q”与“p?q”混为一谈，只有“若p，则q”为真命题时，才有“p?q”，即“p?q”?“若p，则q”为真命题．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p?q，又有q?p，就记作p?q．此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
■微思考2
(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．这种说法对吗？
提示：正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q，故此说法正确．
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
提示：①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
INCLUDEPICTURE"自我检测LLL.TIF"
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x＝0”是“(2x－1)x＝0”的充分不必要条件．(　　)
(2)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　)
(3)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题．(　　)
(4)q不是p的必要条件时，“pq”成立．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√
2．设p：“四边形为菱形”，q：“四边形的对角线互相垂直”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件　　　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.若四边形为菱形，则该四边形的对角线互相垂直，即p?q；反之，当四边形的对角线互相垂直时，该四边形不一定是菱形，故qp，所以p是q的充分不必要条件．
3．设p：x＜3，q：－1＜x＜3，则p是q成立的(　　)
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.因为?{x|x<3}，所以p是q成立的必要不充分条件．
4．设a，b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选D.若a＋b>0，取a＝3，b＝－2，则ab>0不成立；反之，若ab>0，取a＝－2，b＝－3，则a＋b>0也不成立，因此“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件．
5．“ac＝bc”是“a＝b”的________条件．
解析：若ac＝bc，当c＝0时不一定有a＝b；反之若a＝b，则有ac＝bc成立．故ac＝bc是a＝b的必要不充分条件．
答案：必要不充分
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
探究点1　充分、必要、充要条件的判断
INCLUDEPICTURE"例1LLL.TIF"
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"../../../../例1LLL.TIF"
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下列各题中，p是q的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)
(1)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝；
(2)p：四边形是正方形，q：四边形的对角线互相垂直平分；
(3)p：xy>0，q：x>0，y>0；
(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
【解】　(1)因为x＝1或x＝2?x－1＝，x－1＝?x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件．
(2)若一个四边形是正方形，则它的对角线互相垂直平分，即p?q.反之，若四边形的对角线互相垂直平分，该四边形不一定是正方形，即q
p.
所以p是q的充分不必要条件．
(3)因为xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0.
故pq，但q?p.
所以p是q的必要不充分条件．
(4)因为eq
\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(四边形的对角线相等?/
四边形是,　平行四边形，,四边形是平行四边形
四边形,　的对角线相等，))
所以p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
(1)定义法
若p?q，qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq，q?p，则p是q的必要不充分条件；
若p?q，q?p，则p是q的充要条件；
若pq，q
p，则p是q的既不充分也不必要条件．
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A?B，则p是q的充分条件；
若A?B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若A?B，则p是q的充分不必要条件；
若A?B，则p是q的必要不充分条件．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．已知条件p：－1A．充分不必要条件　　　　
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.依题意可知p?q成立，反之不成立．即p是q的充分不必要条件，故选A.
2．“x>a”是“x>|a|”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若a≥0，由x>|a|得x>a，若a<0，则由x>|a|得x>－a，此时x>－a>a成立，即必要性成立，当a<0时，不妨设a＝－1，则由x>－1，不一定推出x>|－1|，即充分性不成立，则“x>a”是“x>|a|”的必要不充分条件，故选B.
3．“x<2”是“<0”的(　　)
A．充要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由<0得x－2<0得x<2，即“x<2”是“<0”的充要条件，故选A.
探究点2　充分、必要、充要条件的探求
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
(1)不等式1－＞0成立的充分不必要条件是(　　)
A．x＞1
B．x＞－1
C．x＜－1或0＜x＜1
D．－1＜x＜0或x＞0
(2)1＜2x＋2＜8的一个必要不充分条件是(　　)
A．－＜x＜3
B．－1＜x＜6
C．－＜x＜0
D．－3＜x＜
【解析】　(1)由1－＞0可得＜1，解得x＞1或x＜0，
结合四个选项可得其成立的充分不必要条件是x＞1.
(2)求解不等式1＜2x＋2＜8可得－＜x＜3，
结合所给的选项可知它的一个必要不充分条件是－1＜x＜6.
【答案】　(1)A　(2)B
(1)探求一个命题成立的充分不必要条件以及必要不充分条件时，往往可以先找到其成立的充要条件，然后通过对充要条件的范围放大或缩小，得到相应的充分不必要条件或必要不充分条件．
(2)如果p是q的充分不必要条件，那么p并不是唯一的，可以有多个；同样，如果p是q的必要不充分条件，那么p也不是唯一的，可以有多个；但如果p是q的充要条件，那么p是唯一的．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．(多选)给出四个条件：
①xt2＞yt2；②xt＞yt；③x2＞y2；④0＜＜.
其中能成为x＞y的充分条件的有(　　)
A．①
B．②
C．③
D．④
解析：选AD.①由xt2＞yt2可知t2＞0，所以x＞y，故xt2＞yt2?x＞y；②当t＞0时，x＞y，当t＜0时，x＜y，故xt＞yt/?x＞y；③由x2＞y2，得|x|＞|y|，故x2＞y2/?x＞y；④由0＜＜?x＞y.故选AD.
2．(2020·佛山检测)设a是实数，则a＜5成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．a＜6
B．a＜4
C．a2＜25
D.＞
解析：选A.因为a＜5?a＜6，a＜6/?a＜5，所以a＜6是a＜5成立的一个必要不充分条件．故选A.
探究点3　充分条件、必要条件、充要条件的应用
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
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"../../../../例3LLL.TIF"
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已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)，若
p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
【解】　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的必要不充分条件，
所以q是p的充分不必要条件，
即{x|1－m≤x≤1＋m}?{x|－2≤x≤10}，
故有或，
解得m≤3又m＞0，
所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变条件)若本例中“p是q的必要不充分条件”改为“p是q的充分不必要条件”，其他条件不变，求实数m的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，
设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以A?B.
所以或
解不等式组得m>9或m≥9，
所以m≥9，
即实数m的取值范围是m≥9.
2．(变问法)本例中p，q不变，是否存在实数m使p是q的充要条件？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
解：因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
若p是q的充要条件，则，无解，
所以m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
(1)根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系．
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为________．
解析：化简p：a－4＜x＜a＋4，q：2＜x＜3，
由于q是p的充分条件，
故有
解得－1≤a≤6.
答案：－1≤a≤6
2．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．
解析：p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.
q：ax＋1＝0，当a＝0时，方程无解；
当a≠0时，x＝－.
由题意知pq，q?p，故a＝0舍去；
当a≠0时，应有－＝2或－＝－3，
解得a＝－或a＝.
综上可知，a＝－或a＝.
答案：－或
探究点4　充要条件的证明
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF"
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"../../../../例4LLL.TIF"
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求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【证明】　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
因为ac<0，
所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，
所以方程一定有两个不等实根．
设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，
所以方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0.
综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
充要条件的证明思路
(1)根据充要条件的定义，证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明．一般地，证明“p成立的充要条件为q”；
①充分性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推出p；
②必要性：把p当作已知条件，结合命题的前提条件，推出q.
解题的关键是分清哪个是条件，哪个是结论，然后确定推出方向，至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求．
(2)在证明过程中，若能保证每一步推理都有等价性(?)，也可以直接证明充要性．　
已知a，b是正实数，求证：＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1.
证明：必要性：若＋＋2＝，
则＝，
即a2＋a＋b2＋b＋2ab＝2，
即(a＋b)2＋(a＋b)－2＝0，
即(a＋b－1)(a＋b＋2)＝0，
因为a，b是正实数，
所以a＋b＋2>0，
所以a＋b－1＝0，即a＋b＝1.
充分性：若a＋b＝1，则＋＋2
＝
＝
＝＝＝，
故＋＋2＝的充要条件是a＋b＝1.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的(　　)
A．充分不必要条件　　　　
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由两个三角形全等可得两个三角形面积相等．反之不成立．
所以“两个三角形面积相等”是“两个三角形全等”的必要不充分条件．故选B.
2．设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.当a＝1时，N＝{1}，此时N?M；当N?M时，a2＝1或a2＝2，解得a＝1或－1或或－.故“a＝1”是“N?M”的充分不必要条件．
3．已知p：“x＝2”，q：“x－2＝”，则p是q的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.由q：“x－2＝”，解得x＝1(舍去)或x＝2，
由p可推出q，充分性成立，反之，由q可推出p，即必要性成立．
所以p是q的充分必要条件，
故选C.
4．(2020·烟台高一检测)x2＜4的一个必要不充分条件是(　　)
A．0＜x≤2　　　　　　　
B．－2＜x＜0
C．－2≤x≤2
D．1＜x＜3
解析：选C.x2＜4即－2＜x＜2，因为－2＜x＜2能推出－2≤x≤2，而－2≤x≤2不能推出－2＜x＜2，所以x2＜4的一个必要不充分条件是－2≤x≤2.
5．若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，则a的取值范围是____________．
解析：若“x<－1”是“x≤a”的必要不充分条件，
则{x|x≤a}?{x|x<－1}，
则a<－1，
即实数a的取值范围是a<－1.
答案：a<－1
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．设x∈R，则“1A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.“12．“x≠－1”是“x2－1≠0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由x2－1≠0，得x≠1且x≠－1，因为“x≠－1”是x≠1且“x≠－1”的必要不充分条件，所以“x≠－1”是“x2－1≠0”的必要不充分条件，故选B.
3．“”是“>0”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.“”?“>0”，
“>0”?“或”，
所以“”是“>0”的充分不必要条件．故选A.
4．设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，
反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.
所以“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件．
故选B.
5．已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.“a＋b>4”?“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．所以“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A.
6．“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的________条件．
解析：若一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解，则Δ≥0，即1－4a≥0，即a≤，又“a<”能推出“a≤”，
但“a≤”不能推出“a<”，
即“a<”是“一元二次方程x2－x＋a＝0有实数解”的充分不必要条件．
答案：充分不必要
7．(2020·临沂高一检测)对任意实数a，b，c，给出下列命题：
①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；
②“b－2是无理数”是“b是无理数”的充要条件；
③“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；
④“a＜5”是“a＜3”的必要条件．
其中真命题的序号是________．
解析：①中由“a＝b”可得ac＝bc，但由“ac＝bc”得不到“a＝b”，所以不是充要条件；②是真命题；③中a＞b时，a2＞b2不一定成立，所以③是假命题；④中由“a＜5”得不到“a＜3”，但由“a＜3”可以得出“a＜5”，所以“a＜5”是“a＜3”的必要条件，是真命题．
答案：②④
8．已知p：－1解析：由p：－12.
答案：m>2
9．指出下列各命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件．
(1)p：x2>0，q：x>0.
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2.
(3)p：a能被6整除，q：a能被3整除．
(4)p：两个角不都是直角，q：两个角不相等．
解：(1)p：x2>0，则x>0或x<0，q：x>0，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(2)p：x＋2≠y，q：(x＋2)2≠y2，则x＋2≠y且x＋2≠－y，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
(3)p：a能被6整除，故也能被3和2整除，q：a能被3整除，故p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(4)p：两个角不都是直角，这两个角可以相等，q：两个角不相等，则这两个角一定不都是直角，故p是q的必要条件，q是p的充分条件．
10．若集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，试写出：
(1)A∪B＝R的一个充要条件；
(2)A∪B＝R的一个必要不充分条件；
(3)A∪B＝R的一个充分不必要条件．
解：集合A＝{x|x>－2}，B＝{x|x≤b，b∈R}，　
(1)若A∪B＝R，则b≥－2，
故A∪B＝R的一个充要条件是b≥－2.
(2)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，　
所以A∪B＝R的一个必要非充分条件可以是b≥－3.
(3)由(1)知A∪B＝R的充要条件是b≥－2，
所以A∪B＝R的一个充分非必要条件可以是b≥－1.
[B　能力提升]
11．(多选)设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是(　　)
INCLUDEPICTURE
"../../../../JN8.tif"
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解析：选BD.由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合则灯泡L亮，灯泡L亮则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件．故选BD.
12．设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是(　　)
A．m∈　　　　　　
B．m≠0
C．m∈
D．m∈
解析：选D.A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{2，－3}．若m＝0，则B＝?，B?A；若m＝－，则B＝{2}?A；若m＝，则B＝{－3}?A.设C是集合的非空真子集，则B?A的一个充分不必要条件是m∈C.所以B?A的一个充分不必要条件是m∈.故选D.
13．(一题两空)下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1；⑤x＞－1.其中，可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为________；可以作为x2＜1的一个必要不充分条件的所有序号为________．
解析：由x2＜1，得－1＜x＜1，而{x|0＜x＜1}?{x|－1＜x＜1}，{x|－1＜x＜0}?{x|－1＜x＜1}，所以0＜x＜1和－1＜x＜0都可作为x2＜1的一个充分不必要条件．因为{x|－1＜x＜1}?{x|x＜1}，{x|－1＜x＜1}?{x|x＞－1}，所以x＜1和x＞－1均可作为x2＜1的一个必要不充分条件．
答案：②③　①⑤
14．已知a＋b≠0，证明a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
证明：先证充分性：
若a＋b＝1，
则a2＋b2－a－b＋2ab＝(a＋b)2－(a＋b)＝1－1＝0，即充分性成立．
必要性：
若a2＋b2－a－b＋2ab＝0，则(a＋b)2－(a＋b)＝(a＋b)·(a＋b－1)＝0，
因为a＋b≠0，所以a＋b－1＝0，
即a＋b＝1成立，
综上，a2＋b2－a－b＋2ab＝0成立的充要条件是a＋b＝1.
[C　拓展探究]
15．已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的什么条件？并说明理由．
解：“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的充要条件．理由如下：
当a，b，c∈R，a≠0时，
若a－b＋c＝0，则－1满足一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”，
故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的充分条件，
若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1，则a－b＋c＝0，故“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的必要条件，
综上所述，“a－b＋c＝0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为－1”的充要条件．
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