1.1.5.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第五节 全称量词与存在量词 第一课时 全称量词与存在量词

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教材考点
学习目标
核心素养
全称量词命题与存在量词命题的定义
理解全称量词、全称量词命题的定义，理解存在量词、存在量词命题的定义
数学抽象
全称量词命题与存在量词命题的真假判断
掌握判断全称量词命题与存在量词命题真假的方法
逻辑推理
全称量词命题与存在量词命题的否定
理解全称量词命题与存在量词命题的关系，掌握对全称量词命题或存在量词命题进行否定的方法
数学抽象
INCLUDEPICTURE"预习案自主学习LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE"温馨提示ALLL.TIF"问题导学
预习教材P26－P31，并思考以下问题：
1．全称量词、全称量词命题的定义是什么？
2．存在量词、存在量词命题的定义是什么？
3．全称量词命题与存在量词命题的否定分别是什么命题？
4．全称量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是什么？
5．存在量词命题“?x∈M，p(x)”的否定是什么？
INCLUDEPICTURE"新知初探LLL.TIF"
1．全称量词和存在量词
全称量词
存在量词
量词
所有的、任意一个
存在一个、至少有一个
符号
?
?
命题
含有全称量词的命题叫做全称量词命题
含有存在量词的命题叫做存在量词命题
命题形式
“对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
“存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“?x∈M，p(x)”
■微思考1
(1)常见的全称量词还有哪些？
提示：全称量词命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题，常见的全称量词还有“一切”“每一个”“任意”等．
(2)常见的存在量词还有哪些？
提示：存在量词命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题，常见的存在量词还有“有些”“某一个”“有的”等．
2．全称量词命题和存在量词命题的否定
p
﹁p
结论
全称量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，﹁p(x)
全称量词命题的否定是存在量词命题
存在量词命题?x∈M，p(x)
?x∈M，﹁p(x)
存在量词命题的否定是全称量词命题
■微思考2
(1)在全称量词命题和存在量词命题中，量词是否可以省略？
提示：在存在量词命题中，量词不可以省略；在有些全称量词命题中，量词可以省略．
(2)对省略量词的命题怎样否定？
提示：对于含有一个量词的命题，容易知道它是全称量词命题或存在量词命题，一般地，省略了量词的命题是全称量词命题，可加上“所有的”或“对任意的”，它的否定是存在量词命题．反之，亦然．
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词．(　　)
(2)全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．(　　)
(3)全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．(　　)
(4)?x∈M，p(x)与?x∈M，﹁p(x)的真假性相反．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．下列语句是存在量词命题的是(　　)
A．整数n是2和5的倍数
B．存在整数n，使n能被11整除
C．若3x－7＝0，则x＝
D．?x∈M，p(x)
解析：选B.对于A，不能判断真假，不是命题；对于C，是若p则q形式的命题；对于D，是全称量词命题；对于B，命题存在整数n，使n能被11整除，含有存在量词“存在”，故B是存在量词命题．故选B.
3．命题“对于任意的x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋1≤0
B．存在x∈R，x3－x2＋1≥0
C．对任意的x∈R，x3－x2＋1>0
D．存在x∈R，x3－x2＋1>0
解析：选D.全称量词命题的否定是存在量词命题，故排除C；由命题的否定只否定结论，不否定条件，故排除A，B.
4．命题“?x∈R，x2－2x＋1＝0”的否定是________．
答案：“?x∈R，x2－2x＋1≠0”
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　全称量词命题与存在量词命题的辨析
INCLUDEPICTURE"例1lll.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例1lll.TIF"
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　判断下列语句是否为全称量词命题或存在量词命题．
(1)所有不等式的解集A，都满足A?R；
(2)有些实数a，b能使|a－b|＝|a|＋|b|；
(3)对任意a，b∈R，若a>b，则<；
(4)自然数的平方是正数．
【解】　因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(1)(3)(4)都是全称量词命题；(2)含有存在量词“有些”，所以(2)是存在量词命题．
判断一个语句是全称量词命题
还是存在量词命题的思路
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"../../../../ZS2.TIF"
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[注意]　全称量词命题可以省略全称量词，存在量词命题的存在量词一般不能省略．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．(多选)给出下列命题：
①存在实数x＞1，使x2＞1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中是存在量词命题的有(　　)
A．①　　　　　　　　　　
B．②
C．③
D．④
解析：选ACD.①③④为存在量词命题，②为全称量词命题．
2．用量词符号“?”“?”表述下列命题．
(1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；
(2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；
(3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；
(4)所有的有理数x都能使x2＋x＋1是有理数．
解：(1)?x∈R，x2＋x＋1>0.
(2)?a，b∈R，ax＋b＝0恰有一个解．
(3)?x，y∈Z，3x－2y＝10.
(4)?x∈Q，x2＋x＋1是有理数．
探究点2　全称量词命题与存在量词命题的真假判断
INCLUDEPICTURE"例2LLL.TIF"
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"../../../../例2LLL.TIF"
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判断下列命题的真假．
(1)?x∈Z，x3＜1；
(2)存在一个四边形不是平行四边形；
(3)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P；
(4)?x∈N，x2>0.
【解】　(1)因为－1∈Z，且(－1)3＝－1＜1，
所以“?x∈Z，x3＜1”是真命题．
(2)真命题，如梯形．
(3)由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知，它是真命题．
(4)因为0∈N，02＝0，所以命题“?x∈N，x2>0”是假命题．
判断全称量词命题和存在量词命题真假的方法
(1)要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为假．
(2)要判断一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x，使命题p(x)为真；要判断一个存在量词命题为假，必须对在给定集合中的每一个元素x，使命题p(x)为假．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是(　　)
A．?x∈R，2x＋1>0
B．若2x为偶数
，则?x∈N
C．所有菱形的四条边都相等
D．π是无理数
解析：选C.对A.是全称量词命题，但不是真命题；故A不正确；对B，是假命题，也不是全称量词命题，故B不正确；对C，是全称量词命题，也是真命题，故C正确；对D，是真命题，但不是全称量词命题，故D不正确．故选C.
2．下列是存在量词命题且是真命题的是(　　)
A．?x∈R，x2>0
B．?x∈Z，x2>2
C．?x∈N，x2∈N
D．?x，y∈R，x2＋y2<0
解析：选B.对于A，?x∈R，x2>0是全称量词命题，不合题意；对于B，?x∈Z，x2>2是存在量词命题，且是真命题，满足题意；对于C，?x∈N，x2∈N是全称量词命题，不合题意；对于D，?x，y∈R，x2＋y2<0是存在量词命题，是假命题，不合题意．故选B.
探究点3　全称量词命题与存在量词命题的否定
INCLUDEPICTURE"例3LLL.TIF"
INCLUDEPICTURE
"../../../../例3LLL.TIF"
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写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：所有的方程都有实数解；
(2)q：?x∈R，4x2－4x＋1≥0；
(3)r：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(4)s：某些平行四边形是菱形．
【解】　(1)
﹁p：存在一个方程没有实数解，真命题．比如方程x2＋1＝0就没有实数解．
(2)﹁q：?x∈R，4x2－4x＋1<0，假命题．
由于?x∈R，4x2－4x＋1＝(2x－1)2≥0恒成立，是真命题，
所以﹁q是假命题．
(3)﹁r：?x∈R，x2＋2x＋2>0，真命题．
(4)﹁s：每一个平行四边形都不是菱形，假命题．
写全称量词命题与存在量词命题的否定的思路
在书写全称量词命题与存在量词命题的否定时，一定要抓住决定命题性质的量词，从量词入手，书写命题的否定．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是(　　)
A．任意一个有理数，它的平方是有理数
B．任意一个无理数，它的平方不是有理数
C．存在一个有理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方不是有理数
解析：选B.量词“存在”否定后为“任意”，结论“它的平方是有理数”否定后为“它的平方不是有理数”．故选B.
2．命题“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x2－2x＋1≤0
B．?x∈R，x2－2x＋1≥0
C．?x∈R，x2－2x＋1<0
D．?x∈R，x2－2x＋1<0
解析：选C.因为命题“?x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题，所以命题的否定为?x∈R，x2－2x＋1<0.故选C.
探究点4　根据命题的真假求参数
INCLUDEPICTURE"例4lll.TIF"
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"../../../../例4lll.TIF"
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　已知命题“?x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
【解】　因为全称量词命题“?x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“?x∈R，x2＋ax＋1＜0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式的命题是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4＞0，
解得a＜－2或a＞2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
根据含量词命题的真假等价转化为关于参数的不等式(组)求参数范围．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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命题p：存在x＞a，使得2x＋a＜3.若命题p为假命题，求实数a的取值范围．
解：命题p为假命题，则﹁p：任意的x＞a，都有2x＋a≥3为真命题．由此可得2a＋a≥3，解得a≥1.
所以实数a的取值范围是{a|a≥1}．
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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1．以下四个命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使＞2
答案：B
2．下列命题是“?x∈R，x2＞3”的另一种表述方式的是(　　)
A．有一个x∈R，使得x2＞3
B．对有些x∈R，使得x2＞3
C．任选一个x∈R，使得x2＞3
D．至少有一个x∈R，使得x2＞3
答案：C
3．命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”的否定是(　　)
A．不存在x∈R，x3－x2＋2≥0
B．存在x?R，x3－x2＋2≥0
C．存在x∈R，x3－x2＋2≥0
D．存在x∈R，x3－x2＋2<0
解析：选C.命题“对任意的x∈R，x3－x2＋2<0”是全称量词命题，否定时将量词对任意的实数x∈R变为存在x∈R，再将<变为≥即可．即存在x∈R，x3－x2＋2≥0.故选C.
4．命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是(　　)
A．?x∈R，|x|＞0　　　　　　
B．?x∈R，|x|＞0
C．?x∈R，|x|≤0
D．?x∈R，|x|≤0
解析：选C.由词语“有些”知原命题为存在量词命题，故其否定为全称量词命题，可知选C.
5．判断下列命题的真假．
(1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
(2)存在一个实数x，使得等式x2＋x＋8＝0成立．
解：(1)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为
，
就不能用正有理数表示．
(2)假命题，方程x2＋x＋8＝0的判别式Δ＝－31<0，故方程无实数解．
INCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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[A　基础达标]
1．下列命题中全称量词命题的个数为(　　)
①平行四边形的对角线互相平分；
②梯形有两边平行；
③存在一个菱形，它的四条边不相等．
A．0　　　　　　　　　　
B．1
C．2
D．3
解析：选C.①②是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.
2．命题“存在实数x，使x>1”的否定是(　　)
A．对任意实数x，都有x>1
B．不存在实数x，使x≤1
C．对任意实数x，都有x≤1
D．存在实数x，使x≤1
解析：选C.命题“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．
3．命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是(　　)
A．存在一个四边形，它的四个顶点不共圆
B．存在一个四边形，它的四个顶点共圆
C．所有四边形的四个顶点共圆
D．所有四边形的四个顶点都不共圆
解析：选A.根据全称量词命题的否定是存在量词命题，得命题“每一个四边形的四个顶点共圆”的否定是“存在一个四边形的四个顶点不共圆”，故选A.
4．下列结论中正确的是(　　)
A．?n∈N
，2n2＋5n＋2能被2整除是真命题
B．?n∈N
，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
C．?n∈N
，2n2＋5n＋2不能被2整除是真命题
D．?n∈N
，2n2＋5n＋2能被2整除是假命题
解析：选C.当n＝1时，2n2＋5n＋2不能被2整除，当n＝2时，2n2＋5n＋2能被2整除，所以A，B，D错误，C项正确．故选C.
5．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则(　　)
A．?x∈Q，有x∈P
B．?x?Q，有x?P
C．?x?Q，使得x∈P
D．?x∈P，使得x?Q
解析：选B.因为P∩Q＝P，所以P?Q，所以A，C，D错误，B正确．
6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2＞0”用“?”写成存在量词命题为___________________________________________________________．
解析：存在量词命题“存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“?x∈M，p(x)”．　
答案：?x<0，(1＋x)(1－9x)2＞0
7．命题“至少有一个正实数x满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0”的否定是___________________________________________________________．
解析：把量词“至少有一个”改为“所有”，“满足”改为“都不满足”得命题的否定．
答案：所有正实数x都不满足方程x2＋2(a－1)x＋2a＋6＝0
8．下列命题中正确的是________(填序号)．
①?x∈R，x≤0；
②至少有一个整数
，它既不是合数也不是素数；
③?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．
解析：①?x∈R，x≤0，正确；②至少有一个整数
，它既不是合数也不是素数，正确，例如数1满足条件；③?x∈{x|x是无理数}，x2是无理数，正确，例如x＝π.
综上可得，①②③都正确．
答案：①②③
9．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图象都开口向下；
(3)存在一个四边形不是梯形．
解：(1)是全称量词命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形，其内角和不等于180°.
(2)是全称量词命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(3)是存在量词命题且为真命题．
命题的否定：所有的四边形都是梯形．
10．写出下列命题的否定，并判断真假．
(1)正方形都是菱形；
(2)?x∈R，使4x－3>x；
(3)?x∈R，有x＋1＝2x；
(4)集合A是集合A∩B或集合A∪B的子集．
解：(1)命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．
(2)命题的否定：?x∈R，有4x－3≤x.因为当x＝2时，4×2－3＝5>2，所以“?x∈R，有4x－3≤x”是假命题．
(3)命题的否定：?x∈R，使x＋1≠2x，因为当x＝2时，x＋1＝2＋1＝3≠2×2，所以“?x∈R，使x＋1≠2x”是真命题．
(4)命题的否定：集合A既不是集合A∩B的子集也不是集合A∪B的子集，是假命题．
[B　能力提升]
11．(多选)下列命题正确的是(　　)
A．存在x<0，使x2－2x－3＝0
B．对于一切实数x<0，都有|x|>x
C．?x∈R，有＝x
D．已知an＝2n，bm＝3m，对于任意n，m∈N
，an≠bm
解析：选AB.因为x2－2x－3＝0的根为x＝－1或3，
所以存在x0＝－1<0，使x－2x0－3＝0，故A为真命题；
B显然为真命题；
因为＝|x|，故C为假命题；
当n＝3，m＝2时，a3＝b2，故D为假命题．
12．(多选)下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有(　　)
A．?x∈R，x2－x＋＜0
B．所有的正方形都是矩形
C．?x∈R，x2＋2x＋2≤0
D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0
解析：选AC.命题的否定是全称量词命题，即原命题为存在量词命题，故排除B.再根据命题的否定为真命题，即原命题为假命题．又D为真命题，故选AC.
13．银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，求m的范围．王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“?x∈R，x2＋2x＋m>0”是真命题，求m的范围．你认为，两位同学题中m的范围是否一致？________(填“是”“否”中的一个)
解析：因为命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”的否定是“?x∈R，x2＋2x＋m>0”，而命题“?x∈R，x2＋2x＋m≤0”是假命题，则其否定“?x∈R，x2＋2x＋m>0”为真命题，所以两位同学题中的m的范围是一致的．
答案：是
14．已知命题p：?x>0，x＋a－1＝0为假命题，求实数a的取值范围．
解：因为命题p：?x>0，x＋a－1＝0为假命题，
所以﹁p：?x>0，x＋a－1≠0是真命题，
即x≠1－a，
所以1－a≤0，即a≥1.
所以a的取值范围为a≥1.
[C　拓展探究]
15．设命题p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0.若p，q都为真命题，求实数m的取值范围．
解：若命题p：?x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；
若命题q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则命题﹁q：?x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0为假命题，
即方程x2－2(m－5)x＋m2＋19＝0无实数根，
因此，Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m＞.
又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是{m|m≤4}∩＝.
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