1.1.6.2 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 第六节 全章复习 第二课时 综合检测

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综合检测
(时间：120分钟，满分：150分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．命题“?x∈R，x2＋3x－1≥0”的否定是(　　)
A．?x∈R，x2＋3x－1＜0　　
B．?x∈R，x2＋3x－1≥0
C．?x∈R，x2＋3x－1≤0
D．?x∈R，x2＋3x－1＜0
解析：选A.由全称量词命题的否定的定义可知，该全称量词命题的否定为?x∈R，x2＋3x－1＜0.故选A.
2．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则正整数m＝(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选B.根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1且小于等于m的全部整数，知m＝2.
3．设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y等于(　　)
A．0
B．1
C．2
D．－1
解析：选C.由A＝B，得x＝0或y＝0.
当x＝0时，x2＝0，此时B＝{0，0}，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当y＝0时，x＝x2，则x＝0或x＝1.由上知x＝0不合适，故y＝0，x＝1，则2x＋y＝2.
4．已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝(　　)
A．{x|x≥－1}
B．{x|x≤2}
C．{x|0＜x≤2}
D．{x|－1≤x≤2}
解析：选A.借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．
5．已知命题p：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是(　　)
A．命题﹁p是真命题
B．命题p是存在量词命题
C．命题p是全称量词命题
D．命题p既不是全称量词命题也不是存在量词命题
解析：选C.命题p：实数的平方是非负数，是真命题，故﹁p是假命题，命题p是全称量词命题．故选C.
6．已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(?RB)＝(　　)
A．{x|x＞1}
B．{x|x≥1}
C．{x|1＜x≤2}
D．{x|1≤x≤2}
解析：选D.因为B＝{x|x＜1}，所以?RB＝{x|x≥1}．
所以A∩(?RB)＝{x|1≤x≤2}．
7．已知集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则下图中阴影部分表示的集合为(　　)
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"../../../KK2.TIF"
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MERGEFORMAT
A．{2}
B．{3}
C．{－3，2}
D．{－2，3}
解析：选A.注意到集合A中的元素为自然数．因此A＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，而B＝{－3，2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.
8．已知条件甲：(x－m)(y－n)＜0，条件乙：x＞m且y＜n，则甲是乙的(　　)
A．充要条件
B．既不充分也不必要条件
C．充分不必要条件
D．必要不充分条件
解析：选D.因为甲：(x－m)(y－n)＜0?或所以甲是乙的必要不充分条件．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．下列存在量词命题中，是真命题的是(　　)
A．?x∈Z，x2－2x－3＝0
B．至少有一个x∈Z，使x能同时被2和3整除
C．?x∈R，|x|＜0
D．有些自然数是偶数
解析：选ABD.A中，x＝－1或3时，满足x2－2x－3＝0，所以A是真命题；B中，6能同时被2和3整除，所以B是真命题；D中，2既是自然数又是偶数，所以D是真命题；C中，因为所有实数的绝对值非负，所以C是假命题．故选ABD.
10．命题“?1≤x≤3，x2－a≤0”是真命题的一个充分不必要条件是(　　)
A．a≥9
B．a≥11
C．a≥10
D．a≤10
解析：选BC.当该命题是真命题时，只需当1≤x≤3时，a≥(x2)max.因为1≤x≤3时，y＝x2的最大值是9，所以a≥9.因为a≥9/?a≥10，a≥10?a≥9，又a≥9/?a≥11，a≥11?a≥9.选BC.
11．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是(　　)
A．1
B．－1
C．0
D．2
解析：选ABC.因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．①当a＝0时，方程化为2x＝0，此时A＝{0}，符合题意．②当a≠0时，由Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，所以a＝±1.此时A＝{－1}或A＝{1}，符合题意．综上，a＝0或a＝±1.
12．设P是一个数集，且至少含有两个元素．若对任意的a，b∈P，都有a＋b，a－b，ab，∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域，例如有理数集Q是一个数域，则下列说法正确的是(　　)
A．数域必含有0，1两个数
B．整数集是数域
C．若有理数集Q?M，则数集M必为数域
D．数域必为无限集
解析：选AD.数集P有两个元素m，n，则一定有m－m＝0，＝1(设m≠0)，A正确；因为1∈Z，2∈Z，?Z，所以整数集不是数域，B不正确；令数集M＝Q∪{}，则1∈M，∈M，但1＋?M，所以C不正确；数域中有1，一定有1＋1＝2，1＋2＝3，递推下去，可知数域必为无限集，D正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠?，若A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．
解析：由于A∪B＝A，所以B?A，又因为B≠?，
所以有解得2＜m≤4.
答案：214．已知p：“x2－3x－4＝0”，q：“x＝4”，则p是q的________条件．
解析：根据题意，p：“x2－3x－4＝0”，即x＝4或－1，则有若q：x＝4成立，则有p：“x2－3x－4＝0”成立，反之若p：“x2－3x－4＝0”成立，则q：x＝4不一定成立，则p是q的必要不充分条件．
答案：必要不充分
15．(一题两空)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N＝________；
(2)当M∩N＝M时，则实数m的值为________．
解析：(1)由题意得M＝{2}，当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，则M∩N＝{2}．
(2)因为M∩N＝M，所以M?N，因为M＝{2}，所以2∈N.
所以2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，
即4－6＋m＝0，解得m＝2.
答案：(1){2}　(2)2
16．命题p：存在实数x∈M，使得x，3，4能成为三角形的三边长．若命题p为假命题，则x的取值集合M＝________．
解析：当命题p为真命题时，可得4－3＜x＜3＋4，即1＜x＜7.所以当命题p为假命题时，可得{x|x≤1或x≥7}．
答案：{x|x≤1或x≥7}
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定．
(1)每一个奇数都是正数；
(2)?x∈R，x2－x＋1≥0；
(3)有些实数有平方根；
(4)?x∈R，x2＋1＝0.
解：前两个命题都是全称量词命题，即具有形式“?x∈M，p(x)”．
命题(1)的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”；
命题(2)的否定是“并非?x∈R，x2－x＋1≥0”，也就是说“?x∈R，x2－x＋1＜0”；
　
后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“?x∈M，p(x)”．
其中命题(3)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”；
命题(4)的否定是“不存在x∈R，x2＋1＝0”，也就是说“?x∈R，x2＋1≠0”．
18．(本小题满分12分)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}．
(1)若a＝1时，求A∩B，A∪B；
(2)设C＝A∪B，若集合C的子集有8个，求实数a的取值集合．
解：(1)由集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，
B＝{x|(x－4)(x－1)＝0}，
所以当a＝1时，A＝{1，3}，B＝{1，4}，
所以A∩B＝{1}，A∪B＝{1，3，4}．
(2)因为C＝A∪B，集合C的子集有8个，所以集合C中有3个元素，而1，3，4∈C，故实数a的取值集合为{1，3，4}．
19．(本小题满分12分)下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件；并说明理由．
(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；
(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；
(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．
解：(1)因为|x|＝|y|/?x＝y，
但x＝y?|x|＝|y|，
所以p是q的必要不充分条件．
(2)因为△ABC是直角三角形/?△ABC是等腰三角形，
△ABC是等腰三角形/?△ABC是直角三角形，
所以p是q的既不充分也不必要条件．
(3)因为四边形的对角线互相平分/?四边形是矩形，
四边形是矩形?四边形的对角线互相平分，
所以p是q的必要不充分条件．
20．(本小题满分12分)选择合适的量词(?、?)，加在p(x)的前面，使其成为一个真命题：
(1)x＞2；
(2)x2≥0；
(3)x是偶数；
(4)若x是无理数，则x2是无理数；
(5)a2＋b2＝c2.(这是含有三个变量的语句，用p(a，b，c)表示)
解：(1)?x∈R，x＞2.
(2)?x∈R，x2≥0；?x∈R，x2≥0都是真命题．
(3)?x∈Z，x是偶数．
(4)?x∈R，若x是无理数，则x2是无理数(如)．
(5)?a，b，c∈R，有a2＋b2＝c2.
21．(本小题满分12分)已知集合P＝{x|－2≤x≤10}，Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}．
(1)求集合?RP；
(2)若P?Q，求实数m的取值范围；
(3)若P∩Q＝Q，求实数m的取值范围．
解：(1)?RP＝{x|x＜－2或x＞10}．
(2)由P?Q，需得m≥9，即实数m的取值范围为{m|m≥9}．
(3)由P∩Q＝Q得，Q?P，
①当1－m＞1＋m，
即m＜0时，Q＝?，符合题意；
②当1－m≤1＋m，即m≥0时，
需得0≤m≤3；
综上得m≤3，
即实数m的取值范围为{m|m≤3}．
22．(本小题满分12分)已知非空集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}．
(1)若a＝3，求(?RP)∩Q；
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：因为P是非空集合，
所以2a＋1≥a＋1，即a≥0.
(1)当a＝3时，P＝{x|4≤x≤7}，
(?RP)＝{x|x＜4或x＞7}，
Q＝{x|－2≤x≤5}，
所以(?RP)∩Q＝{x|－2≤x＜4}．
(2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即P?Q，
即且a＋1≥－2和2a＋1≤5的等号不能同时取得，解得0≤a≤2，
即实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}．
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