1.2.1.1 【教案+测评】2019人教A版 必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 第一节 等式性质与不等式性质 第一课时 等式性质与不等式性质

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教材考点
学习目标
核心素养
不等关系的表示
会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系
数学建模
数(式)大小比较
会运用作差法比较两个数或式的大小
逻辑推理
不等式的性质
掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题
逻辑推理
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问题导学
预习教材P37－P42，并思考以下问题：
1．如何比较两个实数的大小？
2．等式的基本性质有哪些？
3．不等式的基本性质有哪些？
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1．比较实数a，b大小的依据
(1)文字叙述
如果a－b是正数，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是负数，那么a(2)符号表示
a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a■微思考1
(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？
提示：a，b是任意实数．
(2)若“b－a＞0”，则a，b的大小关系是怎样的？
提示：若b－a＞0，则b＞a.
2．重要不等式
一般地，?a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
3．常用的不等式的基本性质
性质1　a>b?b性质2　a>b，b>c?a>c；
性质3　如果a>b，那么a＋c>b＋c；
性质4　如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac性质5　如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d；
性质6　如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd；
性质7　如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)．
■微思考2
(1)若a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d成立吗？a－c＞b－d也成立吗？
提示：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d成立，但是a－c＞b－d不一定成立．
如当a＝3，b＝2，c＝－2，d＝－4时，有a＞b，c＞d，但a－c＞b－d不成立．
(2)若a＞b，c＞d，那么ac＞bd成立吗？
提示：不能．相乘需要看是否
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"../../../../自我检测LLL.TIF"
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1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2.(　　)
(2)不等式x≥2的含义是指x不小于2.(　　)
(3)若a(4)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2．某工厂在招标会上，购得甲材料x吨，乙材料y吨，若维持工厂正常生产，甲、乙两种材料总量至少需要120吨，则x，y应满足的不等关系是(　　)
A．x＋y>120　　　　　　　
B．x＋y<120
C．x＋y≥120
D．x＋y≤120
答案：C
3．已知a>b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是(　　)
A．ad＞bc
B．ac＞bd
C．a－c＞b－d
D．a＋c＞b＋d
解析：选D.令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A，B，C.由不等式的性质5知，D一定成立．
4．若x<1，M＝x2＋x，N＝4x－2，则M与N的大小关系为________．
解析：M－N＝x2＋x－4x＋2＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)，
又因为x<1，所以x－1<0，x－2<0，所以(x－1)(x－2)>0，所以M>N.
答案：M>N
INCLUDEPICTURE"探究案讲练互动LLL.TIF"
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"../../../../探究案讲练互动LLL.TIF"
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探究点1　用不等式(组)表示不等关系
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"../../../../例1LLL.TIF"
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(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？设以后平均每天至少需要加工x个，求解此问题需要构建的不等关系式为________．
(2)用一段长为30
m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18
m，要求菜园的面积不小于110
m2，靠墙的一边长为x
m．试用不等式表示其中的不等关系．
【解】　(1)因为该车工3天后平均每天需加工x个零件，加工(15－3)天共加工12x个零件，15天里共加工(3×24＋12x)个零件，则3×24＋12x>408.
故填72＋12x＞408.
(2)由于矩形菜园靠墙的一边长为x
m，而墙长为18
m，所以0这时菜园的另一条边长为＝(m)．
因此菜园面积S＝x，
依题意有S≥110，即x≥110，
故该题中的不等关系可用不等式组表示为
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变条件)本例(2)中，若矩形的长、宽都不能超过11
m，对面积没有要求，则x应满足的不等关系是什么？
解：因为矩形的另一边15－≤11，所以x≥8，又02．(变问法)本例(2)中，若要求x∈N，则x可以取哪些值？
解：函数S＝x的对称轴方程为x＝15，令S≥110，x∈N，经检验当x＝13，14，15，16，17时S≥110.
利用不等式表示不等关系时的注意点
(1)必须是具有相同性质，可以比较大小的两个量才可以用不等式来表示，没有可比性的两个量之间不能用不等式来表示．
(2)在用不等式表示实际问题时，一定要注意单位统一．　
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．某厂技术科组织工人参加某项技能测试，某职工参加完测试后对自己的成绩进行了如下估计：理论考试成绩x超过85分，技能操作成绩y不低于90分，答辩面试成绩z高于95分，用不等式组表示为(　　)
A.　　　　　　　　　
B.
C.
D.
解析：选C.x超过85分表示为x>85，y不低于90分表示为y≥90，z高于95分，表示为z>95，故选C.
2．雷电的温度大约是28
000
℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t
℃，那么t应满足的关系式是________．
解析：由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t<28
000.
答案：4.5t<28
000
探究点2　数(式)大小的比较
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"../../../../例2LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
(1)比较3x3与3x2－x＋1的大小；
(2)已知a≥1，试比较M＝－和N＝－的大小．
【解】　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)
＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．
当x≤1时，有x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.
当x>1时，(3x2＋1)(x－1)>0，
所以3x3>3x2－x＋1.
(2)因为a≥1，
所以M＝－>0，N＝－>0.
所以＝＝.
因为＋>＋>0，
所以<1，所以M利用作差法比较大小的四个步骤
(1)作差：对要比较大小的两个式子作差．
(2)变形：对差式通过通分、因式分解、配方等手段进行变形．
(3)判断符号：对变形后的结果结合题设条件判断出差的符号．
(4)得出结论．
[注意]　上述步骤可概括为“三步一结论”，这里的“判断符号”是目的，“变形”是关键．其中变形的技巧较多，常见的有因式分解法、配方法、有理化法等．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．若x∈R，y∈R，则(　　)
A．x2＋y2>2xy－1
B．x2＋y2＝2xy－1
C．x2＋y2<2xy－1
D．x2＋y2≤2xy－1
解析：选A.因为x2＋y2－(2xy－1)＝x2－2xy＋y2＋1＝(x－y)2＋1>0，
所以x2＋y2>2xy－1，故选A.
2．已知x>y>0，试比较x3－2y3与xy2－2x2y的大小．
解：由题意，知(x3－2y3)－(xy2－2x2y)＝x3－xy2＋2x2y－2y3＝x(x2－y2)＋2y(x2－y2)＝(x2－y2)(x＋2y)＝(x－y)(x＋y)(x＋2y)，
因为x>y>0，
所以x－y>0，x＋y>0，x＋2y>0，
所以(x3－2y3)－(xy2－2x2y)>0，
即x3－2y3>xy2－2x2y.
3．比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．
解：因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．
探究点3　不等式的基本性质
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"../../../../例3LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
(1)对于实数a，b，c，有下列说法：
①若a>b，则ac②若ac2>bc2，则a>b；
③若aab>b2；
其中正确的是________(填序号)．
(2)若c>a>b>0，求证：>.
【解】　(1)①中，c的正、负或是否为0未知，因而判断ac与bc的大小缺乏依据，故①不正确．
②中，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b成立，故②正确．
③中，?a2>ab，?ab>b2，所以a2>ab>b2，故③正确．故填②③.
(2)证明：因为a>b>0?－a<－b?c－a因为c>a，所以c－a>0，所以0上式两边同乘，得>>0.
又因为a>b>0，所以>.
利用不等式的性质证明不等式的方法
(1)简单不等式的证明可直接由已知条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证．
(2)对于不等号两边式子都比较复杂的情况，直接利用不等式的性质不易得证，可考虑将不等式的两边作差，然后进行变形，根据条件确定每一个因式(式子)的符号，利用符号法则判断最终的符号，完成证明．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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1．(多选)下列命题错误的是(　　)
A．a＞b?a2＞b2
B．a2＞b2?a＞b
C．a＞b?＜1
D．a＞b?＜
解析：选ABCD.由性质7可知，只有当a>b>0时，a2>b2才成立，故A，B都错误；
对于C，只有当a>0且a>b时，<1才成立，故C错误；
当a>0，b<0时，＞，故D错误．
2．已知a>b>0，求证：>.
证明：因为a>b>0，所以>>0.①又因为a>b>0，两边同乘正数，得>>0.②
①②两式相乘，得>.
探究点4　利用不等式性质求代数式的取值范围
INCLUDEPICTURE"例4LLL.TIF"
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"../../../../例4LLL.TIF"
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已知－1(1)求x－y的取值范围；
(2)求3x＋2y的取值范围．
【解】　(1)因为－1(2)由－1INCLUDEPICTURE"互动探究LLL.TIF"
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"../../../../互动探究LLL.TIF"
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1．(变条件)若将本例条件改为－1解：因为－1所以－3＜－y<1，所以－4又因为x2．(变条件)若将本例条件改为－1解：设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则所以
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y)，
又因为－1所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<.
利用不等式的性质求取值范围的策略
(1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围．
(2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围．
[注意]　求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围．　
INCLUDEPICTURE"跟踪训练LLL.TIF"
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"../../../../跟踪训练LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
若－1<α<β<1，则下列各式中恒成立的是(　　)
A．－2<α－β＜0　　　　　　
B．－2<α－β<－1
C．－1<α－β<0
D．－1<α－β<1
解析：选A.由－1<α<1，－1<β<1，
得－1<－β<1，
所以－2<α－β<2.
又因为α<β，故－2<α－β<0.
INCLUDEPICTURE"自测案当堂达标LLL.TIF"
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"../../../../自测案当堂达标LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
1．完成一项装修工程，请木工共需付工资每人400元，请瓦工共需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20
000元．设木工x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是(　　)
A．4x＋5y≤200　　　　　　
B．4x＋5y＜200
C．5x＋4y≤200
D．5x＋4y＜200
解析：选A.由题意，可得400x＋500y≤20
000，化简得4x＋5y≤200.故选A.
2．已知b<2a，3dA．2a－c>b－3d
B．2ac>3bd
C．2a＋c>b＋3d
D．2a＋3d>b＋c
解析：选C.由于b<2a，3d3．已知0A．MB．M>N
C．M＝N
D．M≥N
解析：选B.因为00，所以M>N，故选B.
4．已知a，b为实数，且a≠b，a＜0，则a________2b－.(填“＞”“＜”或“＝”)
解析：因为a≠b，a＜0，所以a－＝＜0，所以a＜2b－.
答案：＜
5．已知a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，试比较x与y的大小．
解：因为x－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)，
所以当a>b时，x－y>0，所以x>y；
当a＝b时，x－y＝0，所以x＝y；
当aINCLUDEPICTURE"应用案巩固提升LLL.TIF"
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"../../../../应用案巩固提升LLL.TIF"
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MERGEFORMAT
[A　基础达标]
1．高速公路对行驶的各种车辆的最大限速为120
km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10
m，用不等式表示为(　　)
A．v≤120
km/h或d≥10
m
B.
C．v≤120
km/h
D．d≥10
m
解析：选B.依据题意直接将条件中的不等关系转化为不等式，即为v≤120
km/h，d≥10
m.
2．下列说法正确的是(　　)
A．若a>b，c>d，则ac>bd
B．若>，则aC．若b>c，则|a|b≥|a|c
D．若a>b，c>d，则a－c>b－d
解析：选C.A项：a，b，c，d的符号不确定，故无法判断；B项：不知道ab的符号，无法确定a，b的大小；C项：|a|≥0，所以|a|b≥|a|c成立；D项：同向不等式不能相减．
3．若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是(　　)
A．y1B．y1＝y2
C．y1>y2
D．随x值变化而变化
解析：选C.y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)
＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0，
所以y1>y2.故选C.
4．已知a>b>0，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．a＋>b＋
B．a＋≥b＋
C.>
D．b－>a－
解析：选A.因为a>b>0，所以>>0，所以a＋>b＋，故选A.
5．设a>b>c，且a＋b＋c＝0，则下列不等式恒成立的是(　　)
A．ab>bc　　　　　　　　　
B．ac>bc
C．ab>ac
D．a|b|>c|b|
解析：选C.因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，
所以a>0，c<0，b可正、可负、可为零．
由b>c，a>0知，ab>ac.
故选C.
6．给出四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推得<成立的是________．
解析：答案：①②④
7．(一题两空)一辆汽车原来每天行驶x
km，如果这辆汽车每天行驶的路程比原来多19
km，那么在8天内它的行程就超过2
200
km，写成不等式为________；如果它每天行驶的路程比原来少12
km，那么它原来行驶8天的路程就得花9天多的时间，用不等式表示为________．
解析：①原来每天行驶x
km，现在每天行驶(x＋19)km.则不等关系“在8天内的行程超过2
200
km”，
写成不等式为8(x＋19)>2
200.
②若每天行驶(x－12)km，
则不等关系“原来行驶8天的路程现在花9天多时间”，
写成不等式为8x>9(x－12)．
答案：8(x＋19)>2
200　8x>9(x－12)
8．已知三个不等式①ab>0；②>；③bc>ad.若以其中的两个作为条件，余下的一个作为结论，则可以组成________个正确命题．
解析：①②?③，③①?②.(证明略)
由②得>0，又由③得bc－ad>0.所以ab>0?①.所以可以组成3个正确命题．
答案：3
9．已知a，b∈R，a＋b>0，试比较a3＋b3与ab2＋a2b的大小．
解：因为a＋b>0，(a－b)2≥0，
所以a3＋b3－ab2－a2b＝a3－a2b＋b3－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)(a－b)(a＋b)＝(a－b)2(a＋b)≥0，
所以a3＋b3≥ab2＋a2b.
10．已知－2(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b.
解：(1)|a|∈[0，3]．
(2)－1(3)依题意得－2相加得－4(4)由－2由1≤b<2得－6<－3b≤－3，②
由①＋②得，－10<2a－3b≤3.
[B　能力提升]
11．(多选)若<<0，则下列结论中正确的是(　　)
A．a2B．abC．a＋b<0
D．|a|＋|b|>|a＋b|
解析：选ABC.因为<<0，所以ba2，ab12．(多选)设a＞b＞1，c＜0，则下列结论正确的是(　　)
A.＞
B．ac＜bc
C．a(b－c)＞b(a－c)
D.＞
解析：选ABC.对于A：因为a＞b＞1，c＜0，
所以－＝＞0，
所以＞，故A正确；
对于B：因为－c＞0，
所以a·(－c)＞b·(－c)，
所以－ac＞－bc，
所以ac＜bc，故B正确；
对于C：因为a＞b＞1，
所以a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)＞0，
所以a(b－c)＞b(a－c)，故C正确；
对于D：因为＜0，a＞b＞0，
所以＜，故D错误．
13．(一题两空)已知12＜a＜60，15＜b＜36，则a－b的取值范围为________，的取值范围为________．
解析：由15＜b＜36得－36＜－b＜－15.
又因为12＜a＜60，所以－24＜a－b＜45.
由15＜b＜36得＜＜.
又因为12＜a＜60，
所以＜＜4.
答案：－24＜a－b＜45　＜＜4
14．若bc－ad≥0，bd＞0，求证：≤.
证明：?≥?＋1≥＋1?≥?≤.
[C　拓展探究]
15．某种商品计划提价，现有四种方案：方案(Ⅰ)先提价m%，再提价n%；方案(Ⅱ)先提价n%，再提价m%；方案(Ⅲ)分两次提价，每次提价%；方案(Ⅳ)一次性提价(m＋n)%.已知m>n>0，那么四种提价方案中，提价最多的是哪种方案？
解：依题意，设单价为1，那么方案(Ⅰ)提价后的价格是1×(1＋m%)(1＋n%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅱ)提价后的价格是1×(1＋n%)(1＋m%)＝1＋(m＋n)%＋m%·n%；
方案(Ⅲ)提价后的价格是＝1＋(m＋n)%＋；
方案(Ⅳ)提价后的价格是1＋(m＋n)%.
所以只要比较m%·n%与的大小即可．
因为－m%·n%＝≥0，
所以≥m%·n%.
又因为m>n>0，所以>m%·n%.
即>(1＋m%)·(1＋n%)，　
因此，方案(Ⅲ)提价最多．
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