5.5 三角函数恒等变换 同步学案

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三角函数恒等变换学案
一．学习目标
从近几年的高考考察的方向来看，三角函数恒等变换这部分的高考题以选择、解答题出现的机会较多，有时候也以填空题的形式出现，它们经常与三角函数的性质、后续学习的解三角形及向量联合考察，主要题型有三角函数求值，通过三角式的变换研究三角函数的性质。
本讲内容是高考复习的重点之一，三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题。历年高考中，在考察三角公式的掌握和运用的同时，还注重考察思维的灵活性和发散性，以及观察能力、运算及观察能力、运算推理能力和综合分析能力。
二．基础知识梳理
1.两角和或差的三角函数公式：
①正弦公式：
②余弦公式：
③正切公式：
2.二倍角的三角函数公式：
①二倍角的正弦公式：
②二倍角的余弦公式：
③二倍角的正切公式：
3.三角函数降幂公式：
；.
4.三角函数辅助角公式：
；.
三．典例分析与性质总结
题型1：三角函数式求值
命题视角1：给角求值：
一般所给的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角之间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数问题。
例1：视角1：等于(　　)
A.
B.
C.
D．
方法提炼：
仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解。
命题视角2：给值求值
给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”；把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角范围的讨论。
例1：视角2：已知，，求，，的值．
方法提炼：
常见的“变角”思路：
①已知角表示未知角：
②互余与互补关系：
③非特殊角转化为特殊角
写出已知角与未知角；分析已知角与未知角之间的等量关系（做和、做差、倍数），在分析等量关系时候不能出现新增杂质角，如果是诱导角更好；将未知角用已知角及特殊角（或诱导角）表示出来；整体代入利用三角函数公式进行求解。
命题视角3：给值求角
一般规律是先求出待求角的某一种三角函数值，然后确定所求角的范围，最后求出角；选择三角函数
时尽量选择给定区间上单调的函数名称，以便于角的确定，例如，若所求角的范围是，选择求所求角的正弦或余弦值均可；若所求角的范围是，选择求所求角的余弦值；若所求角的范围为，
选择求所求角的正弦值。
例1：视角3：已知，，且，求的值。
方法提炼：
解答给值求角问题的步骤为：第一步，求角的某一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三步，根据角的范围写出所求的角。
题型2：三角函数的化简
⑴常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③三角公式的逆用等。
⑵化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。
例2：化简
(1)
()；
(2)
方法提炼：
三角函数式的化简要遵循“三看”原则
⑴一看“角”，三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式，在问题解决时，一般化异角为同角，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
⑵二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，一般化异名为同名，尽量统一函数的名称，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
⑶三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”升幂、降幂、配方、开方等。
题型3：三角函数的证明
⑴三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；
⑵三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。
例3：(1)已知，求证：
(2)求证：.
方法提炼：
三角恒等式的证明问题的类型及策略
⑴不附加条件的恒等式证明.,通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡。
⑵条件恒等式的证明：
这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法。
⑶盘点三角恒等式证明的常用方法
①执因索果法：证明的形式一般化繁为简；
②左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；
③拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；
④比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”；
⑤分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立。
题型4：三角恒等变换的综合应用
利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．
例4：已知函数
(1)求函数的最小正周期；
(2)求证：当时，
例5：函数的单调增区间为____________　.
方法提炼：
求函数周期、最值、单调区间的方法步骤：
(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或
的形式；
(2)利用公式求周期；
(3)根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；
(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数或
的单调区间。
四．变式演练与提高
1.(　　)
A．
B．
C.
D.
2.若，则的值为(　　)
A.
B．
C.
D．
3.化简
(1)
(2)
4.已知且，则等于(　　
)
A.
B.
C.
D.
5.求证：
6.设函数
(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；
(2)若，且，求的值。
7.已知函数
(1)求函数的单调递增区间；
(2)求函数的最大值及取最大值时的集合．
五．反思总结
解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两种，一种是变换函数的名称，一种是变换角的形式．变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等。
利用三角恒等变换研究性质问题的策略,先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.
1.求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为或等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.
2.要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题。
3.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如
和二倍角的余弦公式的多种变形等。
六．课后作业
1.的值是(　　)
A.
B．
C．2
D．
2.若均为锐角且，，则(　　)
A．
B.
C．
D.
3.定义运算；若，，，则________.
4.若函数在区间上单调递增，则正数最大值为(
)
A.
B.
C.
D.
5.已知函数，且的图象过点
(1)求的值及函数的最小正周期；
(2)将的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知，求
的值。
6.
(1)求函数的最小正周期和单调区间；
(2)求函数在上的值域．
7.在平面直角坐标系中，锐角的顶点为坐标原点O，始边为轴的正半轴，终边与单位圆的
交点分别为；已知点P的横坐标为，点Q的纵坐标为
(1)求的值；(2)求的值。
七．参考答案
例1：解析：
视角1：解析：
视角2：∵，，
∴，且，
∴，，
视角3：[解]　
而，故
∵，，∴，∴；
而，∴
∴
∵
∴
例2：解析：
(1)原式＝
因为，所以，所以，所以原式
(2)原式＝
例3：解析：
(1)[证明]　由条件得，
两边展开
整理得：
两边同除以得：
(2)证明：左边
＝右边．∴原等式成立．
例4：解析：
(1)因为
∴的最小正周期
(2)证明：由(1)可知，
当时，，
当，即时，取得最小值0；所以当时，。
例5：解析：
由，解得
所以所求区间为．
四．变式演练与提高
1.解析：
2.解析：
选A　∵，∴，
∴；故选A。
3.解析：
(1)原式
∵，∴，
∴，
∴原式
(2)∵
∴原式
4.解析：
[∵，，
∴，可得
∴
，故答案为D。
5.解析：
[证明]　左边＝
＝右边．
原式得证．
6.解析：
(1)∵，
∴的最小正周期
由，得
∴的单调递增区间为
(2)∵，∴
由知，∴
∴
7.解析：
(1)函数，
令，解得，可得函数的单调增区间为
(2)由，可得当，即时，函数取得最大值为，此时，取值的集合为
六．课后作业
1.解析：
选C　
由，即
所以
2.解析：
∵均为锐角，∴
∵，，∴，
∴
∴；故选B.
3.解析：
依题意有；又，∴，
故，而，∴，
于是，故
4.解析：
[因为
由函数在区间上单调递增知，所以，即，结合，可得；所以正数ω的最大值为，故选B.]
5.解析：
(1)函数
∵的图象过点，∴，
∴，即，再结合，可得，
∴，故它的最小正周期为
(2)将的图象向右平移个单位，
得到函数的图象．
已知，所以，即
∴
6.解析：
(1)的最小正周期，
递增区间满足，解得
据此可得，单调递增区间为
递减区间满足，解得
据此可得，单调递减区间为
(2)∵，∴
∴，∴
∴的值域为。
7.解析：
(1)因为点P的横坐标为，P在单位圆上，为锐角，
所以，所以
(2)因为点Q的纵坐标为，所以；又因为为锐角，所以
因为，且为锐角，所以，
因此
所以
因为为锐角，∴；又，所以，
又为锐角，所以，所以
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