北师大版八年级数学 下册课件：第四章《因式分解》复习与回顾(共43张PPT)

因式分解的基本方法:
因式分解的相关概念:
因式分解的简单应用:
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式.
括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都变号.
提取公因式法
公式法
1、运用因式分解进行多项式除法.
2、运用因式分解解简单的方程。
知识点1 因式分解的定义及与整式乘法的关系

把一个多项式化成几个整式积的形式这种变形叫做把这个多项式因式分解（或分解因式）.
X2-1 (X+1)(X-1)
因式分解
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程
1、下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是：
D
练一练：
否
否
是
2、下列代数式的变形当中哪些是因式分解，哪些不是？
(1)3a2+6a=3a(a+2)
(2)(2y+1)(2y-1)=4y2-1
(3) 18a3bc=3a2b·6ac
⑴ X(X-1)=X?-X； ( )
⑵ 3a(a+b)=3a?+3ab ( )
⑶ X?+2X=X(X+2)； ( )
⑷ y?-4=(y+2)(y-2)； ( )
3.下列从左边到右边的变形 哪些是属于因式分解？
√
√
X
X
X
X
⑸ X?+2X+1=X(X+2)+1 ( )
⑹ a?+1=a(a+ ). ( )
知识点2 公因式的概念和找公因式的方法
多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式.
一看系数，找最大公约数
二看字母，找相同字母
三看指数，找最低次幂
4.辨一辨：下列因式分解正确吗?问题出在那里呢?
(1)6a?－2a?=2a(3a?－a)
(2) －3x?+6xy=－3x(x+2y)
(3)3a?－6ab+3a=3a(a－2b)
(4)3x?－3x=3x(x?－1)
(5)x?y+9y?=y(x?+9y?)=y(x－3y)(x+3y)
(6)2a?b?－a?b－ab?=－ab(－2ab+a?+b?)
X
X
X
X
X
X
（1）若 x2+mx-n能分解成(x-2)(x-5),则m=???? ,n=??? ??。
（2）x2-8x+m=(x-4)(???? ),且m=?? ??。
-7
-10
x-4
16
5、填空
例1. 8a3b2－12ab3c
=4ab2
=4ab2(2a2 -3bc )
找出公因式
提取公因式得到 另一个因式
写成积的形式
? 3bc
?2a2
- 4ab2
例题讲解
知识点3 提公因式法分解因式
1. 6ab2+18a2b2-12a3b2c
强化练习3
例2. -24x3 –12x2 +28x
当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号。
解：原式=
=
(6x2+3x-7)
(24x3 +12x2-28x)
原式=28x—12x2—24x3
=4x(7-3x-6x2)
方法二
4. -2a3b +12a2 -6ab
例题讲解
强化练习3
例3.
m（a-3)+2 （3-a)
解：原式=m（a-3)-2（a-3)
=（a-3) （ m- 2 )
例题讲解
强化练习3
2. a（x-y+z) –b （x-y+z) – c（y-x-z)
3.4p(1-q)3+2(q-1)2
(2)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2其中，a2±2ab+b2叫做完全平方式.
知识点4 公式法分解因式
(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).
1.下列多项式能用平方差公式因式分解吗？
①x2+y2 ②x2-y2 ③-x2+y2 ④-x2-y2
1.下列多项式是不是完全平方式？为什么？
a2-4a+4; (2)1+4a2;
(3) 4b2+4b-1 ; (4)a2+ab+b2.
用平方差公式分解因式的关键：多项式是否能看成两个数的平方的差；
用完全平方公式分解因式的关键：在于判断一个多项式是否为一个完全平方式；
平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
公式法
综合运用
例3 分解因式.
(1)x3-2x2+x；(2)x2(x-y)+y2(y-x)
解:(1)x3-2x2+x
=x(x2-2x+1)
=x(x-1)2
(2)x2(x-y)+y2(y-x)
x
=x2(x-y)-y2(x-y)
=(x-y)(x+y)(x-y)
=(x+y)(x-y)2
=(x-y)(x2-y2)
小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，
如果有，先提公因式；如果没有公因式是两项，则考虑
能否用平方差公式分解因式. 是三项式考虑用完全平方式，
最后，直到每一个因式都不能再分解为止.
各项有“公”先提“公”，
首项有负常提负，
某项提出莫漏“1”,
括号里面分到“底”。
练习五
【例1】 因式分解：
(1)-4x2y+2xy2-12xy
(2)3x2(a-b)-x(b-a) (3)9(x+y)2-4(x-y)2
解：
(1)原式=-2xy(2x-y+6)
(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b)
=x(a-b)(3x+1)
(3)原式=［3(x+y)+2(x-y)］［3(x+y)-2(x-y)］
=(5x+y)(x+5y)
解：(4)原式=(9a2)2-1２
=(9a2+1)(9a2-1)
=(3a+1)(3a-1)(9a2+1)
【例2】 因式分解：
(4)81a4-1；
(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；
(6)(a2+b2)2-4a2b2.
(5)原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4
(6)原式=(a２+b2+2ab)(a2+b2-2ab)
=(a+b)2(a-b)2
【例3】 因式分解：
(1)-4x2y+2xy2-12xy；
(2)3x2(a-b)-x(b-a)；
(3)9(x+y)2-4(x-y)2；
解：
(1)原式=-2xy(2x-y+6)
(2)原式=3x2(a-b)+x(a-b)
=x(a-b)(3x+1)
(3)原式=［3(x+y)+2(x-y)］［3(x+y)-2(x-y)］
=(5x+y)(x+5y)
因式分解的一般步骤：
一提：先看多项式各项有无公因式，如有公因式则要先提取公因式；
二套：再看有几项， 如两项，则考虑用平方差公式；如三项，则考虑用完全平方公 式；
四查：最后用整式乘法检验一遍，并看各因式能否再分解，如能分解，应分解到不能再分解为止。
一般步骤
三变：若以上两步都不行，则将考虑将多项式变形，使之能“提”或能“套”。
[如(x+y)?-x-y=(x+y)(x+y-1）
第二步第二环节
一、首项有负常提负
二、各项有公先提公
三、某项提出莫漏1
四、括号里面分到“底”。
因式分解的“四个注意”
探索与创新题
例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2
∴±kxy=2·3x·6y=36xy
∴k=±36
做一做
1.若x2+(k+3)x+9是完全平方式，则k=___
k=3或k=-9
2.已知a2+2a+1=0,求a2005的值.
◆不论a、b为何数，代数式a2+b2-2a+4b+5的值总是 （ ）
A.0 B.负数 C.正数 D.非负数
D
已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 –2bc 的正负性。
比
思维再现
◆多项式9x2+1加上一个单项式后,使它能成为一个整式的平方,则加上的单项式可以是_____________________(填上你认为正确的一个即可,不必考虑所有的可能情况).
±6x、
-9x2 、
-1、
应用：1).计算： 20052-20042 =
2). 若a+b=3 , ab=2则a2b+ab2=
3). 若x2-8x+m是完全平方式,则m=
4). 若9x2+axy+4y2是完全平方式,则a=( )
A. 6 B. 12 C. ±6 D. ±12
D
(5).计算 + +…+ = ___________
自我评价 知识巩固
1.若x2+Kx+16是完全平方式，则K=( )
2.若(2x)n-81=(4x2+9)(2x+3)(2x-3),则n=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
3.分解因式：4x2-9y2=______.
4.已知x-y=1,xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
5.把多项式1-x2+2xy-y2分解因式

2、判断下列多项式是不是完全平方式
1、 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
辩一辩
1、将下列各式分解因式：
⑴ -a?-ab；
⑵ m?-n?；
⑶ x?+2xy+y?
(4) 3am?-3an?；
(5) 3x?+6x?y+3xy?
原式=-a(a+b)
原式= (m+n)(m-n)
原式=(x+y)?
原式=3a (m+n)(m-n)
原式=3x(x+y)?
做一做：
2、将下列各式分解因式：
（1）18a2c-8b2c
（2）m4 - 81n4
（3）x?y?-4xy+4
（1）原式=2c(3a+2b) (3a-2b)
（2）原式= (m2 +9n2)(m+3n) (m-3n)
（3）原式=（x y –2）?
3、将下列各式分解因式：
⑴ (2a+b)?–(a–b)? ；
(2) (x+y)?-10(x+y)+25
(3) 4a?–3b(4a–3b)
（3）原式= 4a2-12ab+9b2=(2a- 3 b) ?
（2）原式= (x+y-5)?
（1）原式=[（2a+b）+（a-b）][（2a+b）-（a-b）]
=3a (a+2b)
课堂小结
用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.
各项有“公”先提“公”，
首项有负常提负，
某项提出莫漏“1”,
括号里面分到“底”。
1、下列各式从左到右的变形中是因式分解的是（ ）
C
B、
C、
D、
A、
1. 下列多项式能分解因式的是( )
B.
C. D.
2. 下列多项式中,能用提取公因式分解因式的是( )
A. B.
C. D.
3. 下列各式由左边到右边的变形中,是分解因式的是( )
A.a(x+y)=ax+ay B.
C. D.
D
B
C
选一选：
分解因式的结果是（ ）
C
3、把多项式
B、
C、
D、
A、
4. 把多项式 分解因式,结果正确的是( )
A. B.
C. x(y+3)(y-3) D.x(y+9)(y-9)
5. (3a-y)(3a+y)是下列哪一个多项式因式分解的结果为( )
A. B. C. D.
6. 下列多项式中,能用公式法分解因式的是( )

A. B.

C. D.
C
C
C
7、已知多项式 分解因式为
，则 的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
C
(3) 9x?=(x-7)?
⑴ x?-9x=0
(4) (2x-1)?=(x+3)?
(2) 2x2-x=0
(5) x2-6x=-9
做一做：
1、(2mp-3mq+4mr) ÷(2p-3q+4r)
例3、计算下列各式：
3、(4x2-9) ÷(3-2x)
2、[（3x-7)2-(x+5)2] ÷(4x-24)
4、
(1) a-b+ax-bx　　 (2)a2(a-3)-a+3
(3)-a2-b2+2ab+4 (4) 3x3-12x2y+12xy2
例4、把下列多项式因式分解:
做一做
（1)(x+z)?－(y+z)?
(2)(3x+2y)?－6(3x+2y)+9
(3)(a－b)?－a+b
(4)(y?+x?)?－4x?y?
提高练习：
1、已知x2+y2+2x-4y+5=0.求xy的值；
2、
10或-6
3、把 a2 - 4ab +4 b2 -1因式分解。
4、已知：| x + y + 1| +| xy - 3 | = 0
求代数式xy3 + x3y 的值。
5、求证：913 - 324 能被8整除。
6、已知a、b、c是一个三角形的三边，判断代数式a2-b2 -c2 –2bc 的正负性。
7、