北师大版八年级下册数学：1.4角平分线 课件(共15张PPT)

第四节 角平分线 (1)
　　还记得角平分线上的点有什么性质吗?你是怎样得到的?
角平分线上的点到角两边的距离相等．
用心想一想
我们来证明这个命题的正确性。

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．

C
B
1
A
2
P
D
E
O
证明：∵∠1=∠2，OP=OP
∠PDO=∠PEO=90°
∴△PDO≌△PEO(AAS)

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等）
　　角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
C
B
1
A
2
P
D
E
O
∵点P在∠AOB的平分线上 PD⊥OA,PE⊥OB (已知),
角平分线的性质定理（应用）
∴PA=PB
　　如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．
你能写出这个定理的逆命题吗?
用心想一想
　　角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
这是一个真命题吗?
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在∠AOB的角平分线上．


C
B
1
A
2
P
D
E
O
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB
　∴∠PDO=∠ PEO=90°
在Rt△ODP和Rt△OEP中
　　　OP=OP，PD=PE
　∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL)．
　∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)
驶向胜利的彼岸
　 在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB
∴点P在∠AOB的平分线上
O
C
B
1
A
2
P
D
E
角平分线的判定定理（应用）
驶向胜利的彼岸
尺规作图
做一做
1
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.

老师提示:
作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.
A
B
O
C
则射线OC就是∠AOB的平分线.
D
E
例题讲析
例1 如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.


（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.
又∵ ∠BAC=60°
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴DE= AD= ×10=5
（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
B
F
E
D
C
A
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC
挑战自我
随堂练习
1
驶向胜利的彼岸
如图,AD,AE分别是△ABC中∠A的内角平分线外角平分线,它们有什么关系?
老师期望:
你能说出结论并能证明它.
E
D
A
B
C
F
2.如图,一目标在A区,到期公路,铁路距离相等,离公路与铁路的交叉处500m.在图上标出它的位置(比例尺 1:20 000).
随堂练习
2
梦想成真
A区
回味无穷
小结 拓展
角平分线的性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
∵点P在∠AOB的平分线上 PD⊥OA,PE⊥OB (已知),
∴ PA=PB
C
B
1
A
2
P
D
E
O
角平分线的判定定理
在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
∵PA=PB, PD⊥OA,PE⊥OB
∴点P在∠AOB的平分线上
用尺规作角的平分线.
如图，在
AOB
内部求作一点p，使pc=Pd,并且p点到
AOB两边的距离相等
0
C
D
B
A
知识的升华
独立
作业
P 31习题1.7 第2题.
祝你成功！
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.
下课了!