北师大版七年级数学下册 3.2《用关系式表示的变量间的关系》教学课件(共29张PPT)

第三章变量之间的关系
3.2 用关系式表示的变量间关系
学习目标
1.能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系；
2.探索某些图形中变量之间的关系，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感；
3.能根据关系式求值，体会自变量和因变量的数值对应关系．
圆的面积中，只要知道圆的半径就可以了，因为有面积公式 ，在这个公式中，圆的面积随半径的变化而变化．
实际上，在现实生活中经常会见到这样的公式．
今天，我们就来探讨这种公式所蕴含的变化间的关系．
问题情境
三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面积的因素有哪些？
（高一定）变化中的三角形（如图）
A
B
C
C
C
C
探究新知
如果△ABC底边BC上的高是6厘米．当三角形的顶点C沿底边BC所在直线向点B运动时，三角形的面积发生了怎样的变化？在这个变化过程中，△ABC中的哪些因素在改变？
(1) 这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？
△ABC底边BC边上的高AD的长，△ABC的面积．
探究新知
(2)如果三角形的底边长为 x（厘米），那么三角形的面积 y（厘米2）
可以表示为 _____．
3x
(3)当底边长从12厘米变化到3厘米时，三角形的面积从_____平方厘米变化到_____平方厘米.
36
9
y = 3x 表示了图中三角形底边长 x 和面积y之间的关系，它是变量 y 随 x 变化的关系式；
关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法．利用关系式，如 y = 3x，我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值（如图）．
探究新知
根据要求填写下列的表格.
根据三角形的高为6，底边长为 x（厘米）和三角形的面积 y（厘米2）的关系式填表：
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861}x(cm)
…
10
9
8
7
6
5
4
…
y(cm2)
…
?
?
?
?
?
?
?
…
通过填表、探究，说出用关系式表达变量间变化关系的优势在哪些方面吗？
30
27
24
21
18
15
12
探究新知
做一做：
如图所示，圆锥的高是4厘米，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥体积也随之而发生了变化.
4 cm
探究新知
(1)在这个变化过程中，自变量是________________，因变量是______________．
(2)如果圆锥底面半径为r（厘米），那么圆锥的体积V（厘米3）与 r 的关系式是_________．
(3)当底面半径由1 厘米变化到10厘米时，圆锥的体积由______厘米3变化到_______厘米3．
圆锥的底面半径
圆锥的体积
V= πr 3
4
_
3
π
4
_
3
π
4000
_____
3
探究新知
议一议：
你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳、特别是二氧化碳的排放量的一种方式．
探究新知
（1）家居用电的二氧化碳排放量可以用关系式表示为__________，其中的字母表示______________________________________．
（2）在上述关系式中，耗电量每增加1 KW·h，二氧化碳排放量增加_______．当耗电量从1 KW·h增加到100 KW·h时，二氧化碳排放量从_______增加到______．
（3）小明家本月用电大约110 KW·h、天然气20m3、自来水5 t、油耗75L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量．
y=0.785x
x表示耗电量，y表示二氧化碳排放量
0.785
0.785
78.5
0.785×110+20×0.19+5×0.91+75×2.1＝252.2
探究新知
解：C = 2 + 0.5（P-1）= 0.5P + 1.5
例1．托运行李P千克（P为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）费用增加0.5元，如果行李的重量是5千克那么托运费是多少元？
当 P = 5 时，C = 0.5 × 5 + 1.5 = 4元
即：5 千克的托运费是 4 元．
典型例题
例2 ．一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所示：
{69CF1AB2-1976-4502-BF36-3FF5EA218861}行驶时间t(h)
0
1
2
3
4
…
油箱中剩余油量Q(L)
54
46.5
39
31.5
24
…
典型例题
请你根据表格，解答下列问题：
(1) 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？
哪个是因变量？
解：表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余油量Q是因变量；
(2)　随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势
是怎样的？
随着行驶时间的不断增加，油箱中的剩余油量在不断减小；
典型例题
(3) 请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶
6h后，油箱中的剩余油量；
由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，Q＝54－7.5t；把t＝6代入得Q＝54－7.5×6＝9(L)；
(4) 这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间
是多少？
由题意可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱中原有54L汽油，可以供汽车行驶54÷7.5＝7.2(h)．
答：最多能连续行驶7.2h．
典型例题
例3.如图，长方形的长是16，宽为 x ，周长为 y，面积为 S．
（1） 写出 x 和 y 之间的关系式；
解：由长方形的周长公式，得，y = 2( x + 16 )= 2x + 32 ．
（2） 写出 x和 S之间关系式；
由长方形的面积公式，得S = 16 x．
典型练习
（3）当 S = 160 时， x 等于多少， y 等于多少？
当 x = 160 ， x = 10 ， y = 52
（4）当 x 增加 2 时，y 增加多少？S 增加多少？
当 x 增加 2 时，有 S= 16x + 32，所以，当 x 增加 2 时，S 增加 32;
y? = 2 ( x + 2 ) + 32 =( 2x + 32 ) + 4，所以当 x 增加 2 时， y 增加 4.
1．图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函数关系中正确的是(　　)
A．y＝4n－4 B．y＝4n
C．y＝4n＋4 D．y＝n2
解析：由图可知n＝1时，圆点有4个，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n．故选B．
B
随堂练习
随堂练习
（2）如图，△ABC的底边边长BC=a，当顶点A沿BC边上的高AD向D点移动到E点，使DE= AE时，△ABC的面积将变为原来的 ( )．
A． B． C． D．
B
随堂练习
（3）如图，△ABC的面积是2cm2，直线l∥BC，顶点A在l上，当顶点C沿BC 所在直线向点B运动(不超过点B)时，要保持△ABC的面积不变，则顶点A应( )．
A．向直线l的上方运动； B．向直线l的下方运动；
C．在直线l上运动； D．以上三种情形都可能发生．
A
随堂练习
（4）根据图所示的程序计算y值，若输入的x的值为 时，则输出的结果为( )．
A． B．
C． D．
C
随堂练习
（5）如图，△ABC中，过顶点A的直线与边BC相交于点D，当顶点A沿直线AD向点D运动，且越过点D后逐渐远离点D，在这一运动过程中，△ABC的面积的变化情况是( )．
A．由大变小 B．由小变大
C．先由大变小，后又由小变大
D．先由小变大，后又由大变小
C
2．已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米．
(1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式；
解：(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)；
(2)6小时后池中还有多少水？
当t＝6时，Q＝800－50×6＝500(立方米)．
答：6小时后，池中还剩500立方米的水；
随堂练习
(3)几小时后，池中还有200立方米的水？
当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12．
答：12小时后，池中还有200立方米的水．
3.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s)的数据如下表：
{16D9F66E-5EB9-4882-86FB-DCBF35E3C3E4}时间t(s)
1
2
3
4
…
距离s(m)
2
8
18
32
…
写出用t表示s的关系式：____________．
s＝2t2(t≥0)
随堂练习
随堂练习
4．南方A市欲将一批容易变质的水果运往B市销售，若有飞机、火车、汽车三种运输方式，现只选择其中一种，这三种运输方式的主要参考数据如下表所示:
随堂练习
运输工具
途中速度(km/h)
途中费用(元/km)
装卸费用(元)
装卸时间
飞机
200
16
1000
2
火车
100
4
2000
4
汽车
50
8
1000
2
若这批水果在运输(包括装卸)过程中的损耗为200元/h，记A、B两市间的距离为xkm．
(1)如果用W1、W2、W3分别表示使用飞机、火车、汽车运输时的总支出费用（包括损耗），求W1、W2、W3与x间的关系式；
(2)当x=250时，应采用哪种运输方式，才使运输时的总支出费用最小?
随堂练习
解：(1)W1=16x+1000+200( +2)=17x+1400
W2=4x+2000+200( +4)=6x+2800
W3=8x+1000+200( +2)=12x+1400
(2)当x=250时，W1=17×250+1400=5650(元)
W2=6×250+2800=4300(元)
W3=12×250+1400=4400(元)，因为W1>W2>W3，所以应采用火车运输， 才能使运输时的总支出费用最小．
1．用关系式表示变量间关系：
（1）涉及图形的面积或体积时，写关系式的关键是利用面积或体积公式写出等式；
（2）一定要将表示因变量的字母单独写在等号的左边；
（3）已知一个变量的值求另一个变量的值时，一定要分清已知的是自变量还是因变量，千万不要代错了．
课堂小结
2．表格和关系式的区别与联系：
表格能直接得到某些具体的对应值，但不能直接反映变量的整体变化情况；用关系式表示变量之间的关系简单明了，便于计算分析，能方便求出自变量为任意一个值时，相对应的因变量的值，但是需计算．
课堂小结
再 见