北师大版七年级数学下册 4.3 《探索三角形全等的条件（第3课时）》教学课件(共28张PPT)

第四章三角形
4.3探索三角形全等的条件
第3课时
学习目标
1.掌握三角形 全等的“边角边”条件；
2.通过对三角形全等条件的探索，能够有条理地进行思考，并能进行简单的推理．
小伟作业本上画的三角形被墨迹污染了，他想画一个与原来完全一样的三角形，他该怎么办？请你帮助小伟想一个办法，并说明你的理由．
问题情境
让我们一起继续探索
三角形全等的条件吧！
想一想：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能情况呢？每种情况下得到的三角形都全等吗？
活动1．学生分组活动：画一个三角形，使它的两条边长分别是 2.5 cm ， 3.5 cm ，其中一个角是40°
讨论：两个三角形的两条边和其中一边的对角对应相等时，这两个三角形全等么？
探究新知
探究一：两条边长分别是 2.5 cm ， 3.5 cm ，这两条边的夹角为 40°，这样做出的两个三角形全等．
2.5cm
3.5cm
40°
全等
探究新知
画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A：
①画∠DA′E＝∠A；
②在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；
③连接B′C′．
C
B
A
C ′
B ′
A ′
D
E
探究新知
C
B
A
C ′
B ′
A ′
D
E
将△A′B′C′剪下，发现△ABC与△A′B′C′全等．
由此得出判定方法：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简称“边角边”和“SAS”）．
探究新知
几何语言表示：
C
B
A
F
E
D
在△ABC和△DEF中，
AB=DE，
∠B＝∠E，
BC=EF ，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
探究新知
探究二：
活动1.（1）两条边长分别是 2.5 cm ， 3.5 cm ，并且长为2.5cm的这条边所对应的角是 40°，这种做法得出的结论是：不全等
2.5cm
3.5cm
40°
不全等
探究新知
（2）两条边长分别是 2.5 cm ， 3.5 cm ，并且长为3.5cm的这 条边所对应的角是 40°，这种做法得出的结论是：不全等
2.5cm
3.5cm
40°
不全等
探究新知
活动2.（1）把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合．适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来．
A
B
C
D
图中的△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
探究新知
（2） ①画∠DB′E＝∠B；
②在射线B′D上截取B′A′＝BA；
③以A′为圆心，以AC长为半径画弧，此时只要∠C≠90°，弧线一定和射线B′E交于两点C′，F，也就是说可以得到两个三角形满足条件，而两个三角形是不可能同时和△ABC全等的．
C
B
A
C′
B′
A′
E
F
D
探究新知
也就是说：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．所以它不能作为判定两三角形全等的条件．
归纳总结：
“两边及一内角”中的两种情况只有一种情况能判定三角形全等．即：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等．（简记为“边角边”或“SAS”）．
探究新知
例1．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达A和B．连接AC并延长到D，使CD＝CA．连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．为什么？
C
B
A
D
E
典型例题
证明：在△ABC和△DEC中，
AC=DC，
∠1＝∠2，
BC=EC，
　　　∴△ABC≌△DEC（SAS），　　　　　
　　　∴AB＝DE．
C
B
A
D
E
1
2
典型例题
例2．如下图，AB=DC，∠ABC=∠DCB，那么△ABC≌△DCB吗？
B
D
A
C
解：在△ABC和△DCB中
AB=DC（已知），
∠ABC＝∠DCB（已知），
BC=CB （公共边），
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
典型例题
例3．如图，AC是∠DAB的角平分线，且AD=AB，
试说明CD=CB．
B
D
A
C
解：在△ADC和△ABC中
因为AB＝AD，AC＝AC,
且AC平分∠DAB,即∠DAC＝∠BAC
所以△ADC≌△ABC，根据是SAS，
所以CD=CB.
典型例题
例4．如图，OA=OB，OC=OD，∠AOC=∠BOD，那么AD=BC吗？
分析：如果△AOD≌△BOC，那么AD＝BC．通过在图形中表示已知条件可知，在△AOD和△BOC中有两对边对应相等，虽然还已知∠AOC＝∠BOD，但是∠AOC和∠BOD不是这两个三角形的内角，不能直接利用“SAS”来证明全等，如果能证明∠AOD＝∠BOC，就可以用“SAS”证明△AOD≌△BOC了．利用等式的性质，易证∠AOD＝∠BOC．
D
A
B
C
O
典型例题
　　即∠AOD=∠BOC
解： ∵∠AOC=∠BOC（已知）
　　∴∠AOC-∠AOB=∠BOD-∠AOB（等式的性质）
　　在△AOD和△BOC中，
OA=OB（已知），
∠AOD＝∠BOC（已证），
OD=OC（已知），
△AOD≌△BOC（SAS）　
∴ AD=BC （全等三角形的对应边相等）．
∵
D
A
B
C
O
典型例题
例5．如图，AB=AC，AD=AE，那么，CD=BE吗？
A
B
C
A
B
A
C
D
E
D
E
解：在△ABE和△ACD中，
AB=AC（已知），
∠A＝∠A（公共角），
AE=AD（已知），
　　∴△ABE≌△ACD（SAS）．
　　∴CD=BE（全等三角形的对应边相等）．
分解
典型例题
随堂练习
1．（1）如图，AC与BD交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC，还需（ ）．
A．AB＝DC
B．OB＝OC
C．∠A＝∠D
D．∠AOB＝∠DOC
B
随堂练习
（2）如图，AB平分∠CAD，E为AB上一点，若AC＝AD，则下列结论错误的是（ ）．
A．BC＝BD
B．CE＝DE
C．BA平分∠CBD
D．图中有两对全等三角形
D
随堂练习
2．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD，
请说明AC＝BD的理由．
证明：∵∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．
在△OAC和△OBD中，
∴△OAC≌△OBD（SAS）．
∴AC＝BD．
随堂练习
3．如图，A，D，F，B在同一直线上，AD＝BF，AE＝BC，且AE∥BC．
求证：（1）△AEF≌△BCD；（2）EF∥CD．
证明：（1）∵AE∥BC，∴∠A＝∠B．
又∵AD＝BF，
∴AD＋DF＝BF＋FD．即AF＝BD．
在△AEF和△BCD中，
∴△AEF≌△BCD．
随堂练习
（2）∵△AEF≌△BCD，
∴∠EFA＝∠CDB．
∴EF∥CD．
随堂练习
4．如图，已知AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，
证明：∠B＝∠E．
证明：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC．
即∠BAC＝∠EAD．
在△ABC与△AED中，
∴△ABC≌△AED．
∴∠B＝∠E．
1．根据“边角边”判定两个三角形全等，要找出两边及夹角对应相等的三个条件．
2．找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件（包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等），并要善于运用学过的定义、公理、定理．
课堂小结
再见