北师大版七年级数学下册 4.3 《探索三角形全等的条件（第1课时）》教学课件(共44张PPT)

第四章三角形
4.3探索三角形全等的条件
第1课时
学习目标
1.探索判定三角形全等所需条件的个数；
2.掌握三角形全等的边边边条件，会应用它解决问题；
3.了角三角形的稳定性．

1.（1）什么叫三角形？一个三角形有几条边？几个角？

（2）什么叫全等三角形？全等三角形有何性质？
复习回顾
不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接 而成的图形;
三条边,三个角（即有六个元素）.
能够完全重合的三角形叫全等三角形.
全等三角形的对应边相等，对应角相等.
2.如图:
A
B
C
D
E
F
已知△ABC≌△DEF，找出其中相等的边与角.
图中相等的边是：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．
相等的角是：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F．
这里有一个三角形纸片，你能画一个三角形与它全等吗？怎样画？
复习回顾
想一想：要画一个三角形与已知的三角形全等，需要已知三角形的几个元素呢？
只知道一个条件（一角或一边）行吗？
两个条件呢？三个条件呢？
让我们一起来探索三角形全等的条件
问题情境
活动1．如果只满足一个条件
（1）只给一条边时，如3 cm；
3 cm
3 cm
探究新知
（2）只给一个角时，如45°.
45°
45°
结论：只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
探究新知
活动2．如果满足两个条件
（1）三角形的两条边分别是3 cm，4 cm；
3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
结论：两条边对应相等的两个三角形不一定全等．
探究新知
（2）三角形的—条边为4 cm，一个角为30°；
4 cm
4 cm
30°
30°
结论：一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等．
探究新知
结论：两个角对应相等的两个三角形不一定全等．
（3）三角形的两个角分别是30°，45°．
30°
45°
30°
45°
探究新知
根据三角形的内角和为180°，则第三个角一定对应相等，所以当三个内角对应相等时，两个三角形不一定全等．
通过画一画，剪一剪，比一比的方式，得出结论：
只给出一个或两个条件时，都不能保证所画出的两个三角形一定全等．
探究新知
30°
活动3．如果满足三个条件
（1）三个角；（2）三条边；（3）两边一角；（4）两角一边．
（1）已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°，它们一定全等吗？
90°
60°
30°
90°
60°
这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等．
探究新知
（2）已知两个三角形的三条边都分别为3 cm，4 cm，6 cm，它们一定全等吗？
通过平移、旋转、翻折，得到它们能够完全重合，也就是说它们是全等的．
3 cm
4 cm
6 cm
3 cm
4 cm
6 cm
3 cm
4 cm
6 cm
探究新知
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？
A
B
C
A′
B′
C′
探究新知
判定三角形全等的方法
画法：（1）画射线B′M，在射线B′M截取线段B′C′＝BC；
（2）分别以B′，C′为圆心，AB，AC为半径画弧，两弧相交于点A′．
（3）连接A′B′，A′C′得△A′B′C′．
剪下△A′B′C′放在△ABC上，可以看到△A′B′C′≌△ABC．
A
B
C
B′
C′
M
A′
探究新知
通过观察，我们得到一个规律：
三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）．
这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理．
探究新知
如何用符号语言来表达呢？
在△ABC与△DEF中，
如图：
A
B
C
D
E
F
AB=DE
BC=EF
AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
探究新知
判断或证明的书写步骤：
（1）准备条件：证全等时要用的条件要先证好．
（2）三角形全等书写三步骤：
①写出在哪两个三角形中；
②摆出三个条件用大括号括起来；
③写出全等结论．
探究新知
用长度适当的木条，把它们分别做成三角形和四边形框架，并拉动它们.
你发现什么？
三角形的大小和形状是固定不变的，而四边形的形状会改变.
只要三角形三边的长度确定了，这个三形的形状和大小就确定，三角形的这个性质叫
三角形的稳定性.
探究新知
三角形的稳定性
探究新知
三角形的稳定性.
探究新知
三角形的稳定性.
例1．已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，
求证：△ABC≌△ADC．
证明：在△ABC和△ADC中，
A
C
B
D
AB=AD
BC=DC
AC=AC
　　　∴△ABC≌△ADC（SSS）．
典型例题
例2. 如图所示，△ABC是一个风筝架，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架．试说明：AD⊥BC．
A
B
D
C
1
2
典型例题
A
B
D
C
解：∵D是BC的中点，∴BD＝CD．
　　在△ABD和△ACD中，
　　∴△ABD≌△ACD （ SSS），
　　∴∠1＝∠2 （全等三角形的对应角相等）．
　　∵∠1＋∠2＝180°，
∴∠1＝∠2＝90°，
　　∴AD⊥BC （垂直定义）．
AB=AC
BD=CD
AD=AD
1
2
典型例题
例3. 用圆规和直尺画一个角等于已知角的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．
B
O
A
典型例题
B
O
A
C
D
O ′
A ′
C ′
D ′
B ′
典型例题
作法：（1）以点O为圆心、任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心、OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心、CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．
典型例题
为什么这样作出的∠A′O′B′和∠AOB是相等的？
由作法可知OC＝O′C′，OD＝O′D′，CD＝C′D′，根据“边边边”可知△COD≌△C′O′D′，所以∠A′O′B′＝∠AOB．
典型例题
例4．如图，AD＝CB，E、F是AC上两动点，且有DE＝BF．
(1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE．试说明：△ADE≌△CBF．
(2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
(3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？
说明理由．
图①
A
B
C
D
E
F
典型例题
图①
解：∵AF＝CE，∴AF＋EF＝CE＋EF，
　　∴AE＝CF．
　　在△ADE和△CBF中，
　　∴△ADE≌△CBF（SSS）；
AD=CB
DE=BF
AE=CF
A
B
C
D
E
F
(1)若E、F运动至图①所示的位置，且有AF＝CE．试说明：△ADE≌△CBF．
典型例题
(2)若E、F运动至图②所示的位置，仍有AF＝CE，那么△ADE≌△CBF还成立吗？为什么？
C
解：成立．
∵AF＝CE，∴AF－EF＝CE－EF，
∴AE＝CF．
在△ADE和△CBF中，
∴△ADE≌△CBF（SSS）；
AD=CB
DE=BF
AE=CF
图②
A
B
D
E
F
典型例题
(3)若E、F不重合，AD和CB平行吗？说明理由．
解：平行．
∵△ADE≌△CBF，
∴∠A＝∠C，
∴AD∥BC．
A
B
C
D
E
F
典型例题
例5．已知：如图，AB＝DC，AD＝BC．
求证：∠A＝∠C．
提示：要证明∠A＝∠C，可设法使它们分别在两个三角形中，为此，只要连接BD即可．
A
B
D
C
典型例题
A
B
D
C
证明：连接BD．
　　　在△BAD和△DCB中，
　　　∴△BAD≌△DCB（SSS）．
　　　∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
AB=CD
BD=DB
AD=CB
典型例题
随堂练习
1．（1）如图，已知AB＝AC，BD＝DC，那么下列结论中不正确的是（ ）．
A．△ABD≌△ACD
B．∠ADB＝90°
C．∠BAD是∠B的一半
D．AD平分∠BAC
C
（2）如图，AC＝DF，BC＝EF，AD＝BE，∠BAC＝72°，∠F＝32°，则∠ABC＝ ．
76 °
随堂练习
2．已知：如图，AD＝AC，BD＝BC，∠D＝55°，求∠C的度数．
A
B
D
C
解：在△ABD和△ABC中，
　　∴△ABD≌△ABC（SSS）．
　　∴∠C＝∠D＝55°（全等三角形的对应角相等）．
55°
AD=AC
BD=BC
AB=AB
随堂练习
3．已知：如图，AB＝DC，AC＝DB，求证：∠A＝∠D．
证明：在△ABC和△DCB中，
AB=DC
AC=BD
BC=CB
　　∴△ABC≌△DCB（SSS）．
　　∴∠A＝∠D（全等三角形的对应角相等）．
A
D
C
B
随堂练习
4．已知：如图AB＝CD，AD＝BC，E，F是BD上两点，且AE＝CF， DE＝BF， 那么图中共有几对全等的三角形？把它们分别写出来并加以证明．
解：图中共有三对全等三角形，分别是：
①△ABD≌△CDB；②△AED≌△CFB；③△ABE≌△CDF．
证明：①在△ABD和△CDB中，
AB=DC
AD=BC
BD=DB
∴△ABD≌△CDB（SSS）．
D
C
B
A
E
F
随堂练习
证明：②在△AED和△CFB中，
AE=CF
AD=BC
DE=BF
∴△AED≌△CFB（SSS）．
D
C
B
A
E
F
随堂练习
AE=CF
AB=CD
DF=BE
　　　　∴△ABE≌△CDF（SSS）．
D
C
B
A
E
F
证明：③∵DE＝BF，
　　　　∴DF＋EF＝BE＋EF．
　　　　∴DF＝BE．
　　　　在△ABE和△CDF中，
随堂练习
随堂练习
5.如图，已知线段AB，CD相交于点O，
AD，CB的延长线交于点E，OA＝OC，
EA＝EC，请说明∠A＝∠C．
解：连接OE．
在△EAO和△ECO中，
∴△EAO≌△ECO（SSS）．
∴∠A＝∠C（全等三角形的对应角相等）．
1．探索判定三角形全等所需条件的个数．
2．三边对应相等的两个三角形全等（边边边或SSS）；
3．书写格式：
（1）准备条件；
（2）三角形全等书写的三步骤．
随堂练习
再见