北师大版七年级数学下册第5章第3节简单的轴对称图形 (1)(共60张PPT)

第五章 生活中的轴对称
认识等腰三角形：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形
腰
腰
顶角
底边
底角
底角
(
)
)
如右图，在△DEF中，DE=DF,请问：
哪些边是腰？
D
E
F
底边是哪条边？
顶角是哪个角？
底角是哪些角？
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。
2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？ 底边上的高所在直线呢？
4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？
按下面的步骤做一做：
（1）将长方形纸片对折
（2）然后沿对角线折叠，在沿折痕剪开.
通过做一做，你有什么发现？
等腰三角形是轴对称图形，请找出它的对称轴.
(
腰
腰
顶角
底边
底角
底角
)
)
在等腰三角形中，画出顶角的平分线、底边上的中线和高线，你又发现了什么？
等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称为“三线合一”）
探究发现
A
B
C
D
在ΔABC中,
因为 AD是角平分线,
所以∠BAD=∠CAD。
在ΔABD和ΔACD中,
因为AB=AC,∠BAD=∠CAD,AD=AD
所以ΔABD≌ΔACD
所以BD=CD, ∠ADB=∠ADC=90?
所以AD是ΔABC的角平分线、底边上的中线、底边上的高。
1.等腰三角形是轴对称图形
2.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴。
3.等腰三角形的两个底角相等。
D
A
B
C
2
1
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等吗？
如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等。
议一议
三边都相等的三角形是等边三角形也叫正三角形
（1）等边三角形是轴对称图形吗？找出对称轴
（2）你能发现它的哪些特征？
折叠一下试试！
认识等边三角形
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形.
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴.
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°.
想一想
1.如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。
3、P124 随堂练习
2、如图，P、Q是△ABC边上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度数。
P
A
B
C
Q
4、如果ΔABC是轴对称图形，则它的对称轴一定是（ ）
A. 某一条边上的高.
B. 某一条边上的中线.
C. 平分一角和这个角的对边的直线.
D. 某一个角的平分线.
C
5、等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为 ( )
A. 120° B. 130° C. 150° D. 160°
A
6、等腰三角形的周长为80厘米，若以它的底边为边的等边三角形周长为30厘米，则该等腰三角形的腰长为 （ ）
A. 25厘米 B. 35厘米 C. 30厘米 D. 40厘米
B
7、已知等腰三角形的腰长比底边长多2cm,并且它的周长为16cm,求这个等腰三角形的各边长.
解：设三角形的底边长为x cm,则其腰长为 (x+2)cm，根据题意得：
2(x+2)+x=16
解得 x=4
所以，等腰三角形三边长为4cm，6cm，6cm.
某开发区新建了两片住宅区:A区、B区（如图）.现在要从煤气主管道的一个地方建立一个接口,同时向这两个小区供气.请问,这个接口应建在哪,才能使得所用管道最短?
A小区
B 小区
煤气主管道
）
）
）
A小区
B小区
煤气主管道
P
解决：
同学们，学了这节课你最想说什么？
认识了等腰三角形和等边三角形
1等腰三角形是轴对称图形，
等腰三角形“三线合一”
等腰三角形的两个底角相等。
2如果一个三角形有两个角相等，
那么它们所对的边也相等。
信心源自于努力
第五章 生活中的轴对称
第2课时 线段的轴对称性
北师大版 七年级数学下册
复习提问：
1、什么样的图形叫做轴对称图形？

答：把一个图形沿着某条直线对折，如果对折的两部分是完全重合的，我们就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。
复习
2、下列图形哪些是轴对称图形？
线段是轴对称图形吗？如果是，你能找出它的一条对称轴吗？这条对称轴与线段存在着什么关系？
A
B
探索1
按照下面的步骤做一做：
（1）在纸片上画一条线段AB，
A
B
对折AB使点A，B重合，
折痕与AB的交点为O；
O
（2）在折痕上任取一点C，
C
沿CA将纸折叠；
（3）把纸展开，
A
O
得到折痕CA和CB。
B
C
做一做
C
A
O
B
C
（1）CO与AB有怎样的位置关系？
（2）AO与BO相等吗？CA与CB呢？能说明你的理由吗？
垂直
AO=BO
CA=CB
想一想
（3）在折痕上另取一点，再试一试。
小结
1、线段是轴对称图形
A
B
A
B
它的一条对称轴就是
对折后能使之完全重合的那条折痕；
2、线段的对称轴过线段AB的 点，
中
O
3、线段的对称轴与线段AB 。（位置关系）
垂直
4、线段的对称轴上的任意一点C到线段AB的两端点A,B的距离______
C

相等
A
B
A
B
O
线段的对称轴经过线段的
中点且垂直于这条线段。
C
线段的对称轴上任意一点到这条线段的两端点的距离相等。
A
B
1 线段的对称轴是这条线段的 垂直平分线
O
2 垂直平分线是垂直且平分线段的一条直线
线段的垂直平分线
3 垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
探索2
如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
做一做
如图，已知线段AB，画出它的垂直平分线.
作法：(1)以点A为圆心，以大于AB一半的长为半径画弧；
(2)以点B为圆心，以同样的长为半径画弧，两弧的交点记为C、D；
(3)经过点C、D作直线CD．
直线CD即为所求．
拓展
1 如图，点C在直线l上，试过点C画出直线l的垂线．
能否利用画线段垂直平分线的方法解决呢？试试看，完成整个作图．
试一试
以C为圆心，任一线段的长为半径画弧，交l于A、B两点，则C是线段AB的中点．因此，过C画直线l的垂线转化为画线段AB的垂直平分线．
2.如图，如果点C不在直线l上，试和同学讨论，应采取怎样的步骤，过点C画出直线l的垂线？
试一试
(3)以点B为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧，交前一条弧于点D．
作法：(1)以点C为圆心，以适当长为半径画弧，交直线l于点A、B；
(2)以点A为圆心，以CB长为半径在直线另一侧画弧．
(4)经过点C、D作直线CD．
则直线CD即为所求．
练习
1.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
解：因为DE是线段BC的垂直平分线
所以EC=EB=6
所以△BCE的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22
2 如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
A
B
E
D
C
（1）
4
6
3 如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
A
B
C
D
E
(2)
26
4 如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果
AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ）cm。
∟
A
D
E
B
C
M
N
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
D
课外探究：
如图：A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说明理由。
A●
B●
c
●
小结
1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条 线段的垂直平分线。
2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .
3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .
第五章 生活中的轴对称
第3课时 角的轴对称性
北师大版 七年级数学
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
（对折）
探究一：轴对称性
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
有一个简易平分角的仪器（如右图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放在角的顶点，AB和AD与角两边重合，沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
探究二：角平分线作法
A
D
B
C
E
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴ ∠CAD=∠CAB
∴ AC平分∠DAB（角平分线的定义）
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
想一想：
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ；
4．作答。
射线ＯＣ即为所求．

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．
大于 ＭＮ的长为半径作弧．
两弧在∠AOB的内部交于Ｃ；
?
３．作射线OC；
将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
探究三：角平分线的性质
已知：如图，，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。试说明：PD=PE
∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠PDO=∠PEO ∠AOC=∠BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
证明：∵ OC是∠AOB的平分线
∴ ∠AOC= ∠BOC （角平分线的定义）
合作交流：
角平分线的性质
性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
几何语言表示为：
∵ OP平分∠AOB(∠1= ∠2)
且PD⊥OA ，PE⊥OB
∴ PD=PE
性质的作用：
证明线段相等。
D
P
E
A
O
B
C
练一练
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE ( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 )))


PD⊥OA，PE⊥OB
B
O
A
C
D
P
E
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
你会吗？
5、已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
回味无穷