北师大版七年级数学下册第5章第3节简单的轴对称图形 (2)(共54张PPT)

第五章 生活中的轴对称
第1课时 等腰三角形的轴对称性
复习导入
1.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做 ＿＿＿＿＿.
轴对称图形
这条直线叫做＿＿＿＿
对称轴
注:对称轴是一条直线
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,
能找出对称轴吗？
学习目标
1.掌握等腰三角形的有关概念及性质.
2.了解特殊的等腰三角形（等边三角形）有关概念及性质。
如图：在△ABC中,AB=AC，则 △ABC就是等腰三角形
它的各部分名称分别是什么？
A
B
C
(1)相等的两条边叫做腰。
腰
腰
底边
(2)另一边叫底边。
顶角
底角
底角
(3)两腰的夹角叫顶角。
(4)腰与底边夹角叫底角。
有两条边相等的三角形叫等腰三角形
自学检测（一）（2分钟）
1.等腰三角形的两边长分别为4㎝，6㎝，则第三边长为（ ）
A.4㎝ B.6 ㎝ C.4㎝或6㎝ D.以上答案都不对

2. 等腰三角形的两边长分别为4㎝，9㎝，则这个等腰三角形的周长为＿＿＿
22㎝
C
4，4，9这种情况要排除
1.等腰三角形是轴对称图形吗？找出对称轴。
2.顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的 对称轴吗？
3.底边上的中线所在的直线是等腰三角形的
对称轴吗？底边上的高所在直线呢？
4.沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪
些特征？说说你的理由。
思考
等腰三角形是轴对称图形，
请找出它的对称轴；
腰
腰
顶角
底边
底角
底角
(
)
)
1.如何证明等腰三角形 “三线合一”
如图：已知在△ABC中，AB=AC，AD
是△ABC的角平分线，试说明AD也是
△ABC的中线及高线.
解：
∴∠1=∠2 （ ）
A
B
C
D
(
(
1
2
角平分线的定义
已知
在△ABD和△ACD中
AB=AC （ ）
∠1=∠2 （ ）
AD=AD （ ）
∴△ABD≌ACD（ ）
∴BD=CD（ ）∠ADB=∠ADC（ ）

∵AD平分∠BAC （ ）
又∵ ∠ADB+∠ADC=180°
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
已证
已知
公共边
SAS
即AD⊥BC
∴BD=CD 且AD⊥BC
全等三角形对应边相等
全等三角形对应角相等
如图，在△ABC中，AB=AC时，
(1) ∵ AD⊥BC
∴ ∠ ____= ∠_____;____=____
(2) ∵ BD=CD
∴ ____⊥____; ∠_____=∠_____
(3) ∵ ∠BAD= ∠CAD
∴ ____ ⊥____;_____=____
BAD
CAD
CD
BD
AD
BC
BAD
CAD
AD
BC
BD
CD
A
B
C
D
思考并完成下列各题：
1.等腰三角形的性质
（1）等腰三角形是＿＿＿图形.
（2）等腰三角形的对称轴是＿＿＿＿.
（3）等腰三角形 “三线合一”是指什么？
（4）等腰三角形的两个底角＿＿.
轴对称
相等
等腰三角形顶角的平分线﹑底边上的中线﹑底边上的高重合
A
B
C
D
等边对等角
直线AD
三边都相等的三角形是等边三角形也叫
正三角形
（1）等边三角形有几条对称轴？
（2）你能发现它的哪些特征？
想一想
等边三角形的性质：
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对 边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
1.判断：
（1）等腰三角形一角的平分线，一边上的中线 ,一 边上 的高都是它的对称轴. （ ）

（2）三角形的高线,角平分线,中线三线合一. （　）
（3）等腰三角形的两底角相等. （ ）
（4）有两个内角相等的三角形一定是等腰三角形. ( )
当堂训练
×
×
√
√
如图，是由大小不等的等边三角形组成的图案，请找出它的对称轴。
随堂练习1
如图，在等腰ΔABC中，AB=AC顶角∠A=120°那么底角∠B=_______∠C =_______ .
30°
30°
2. 在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，那么
∠B=______
3. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为60°，那么另外两个角分别是多少？
B
C
A
45°
随堂练习2
60°
90°
120°
A
B
C
60°
A
B
C
小结
谈谈你的收获吧！
等腰三角形性质：
1.等腰三角形是轴对称图形。
2.等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线是等边三角形的对称轴。
3.等腰三角形的底角相等。（等边对等角）等边三角形的性质
第五章 生活中的轴对称
第2课时 线段的轴对称性
北师大版 七年级数学下册
基础知识回顾：
1、等腰三角形 、 和 互相重合.
2、如图（1）所示AB=AC BD=5cm，则BC= .
3、已知等腰三角形一个角75度，那么其余两个角的度数为 .
4、一个等腰三角形的周长为35cm，腰长是底边的2倍，则腰长为 ，底边长为 .
5、线段的中点是指： .
6、三角形的重心是指： .

复习
图（1）
下列图形哪些是轴对称图形？
问题1：线段的对称轴是什么?请阅读课本P123
7.线段是轴对称图形吗？如果是，请在图（2）中画出它的对称轴. 你是如何找到线段的对称轴的?
.
8.线段的对称轴与线段存在着什么关系？
.
9.归纳结论：线段是 图形， 是线段的一条对称轴.
10、线段的垂直平分线（简称中垂线）是指：
合作探究
问题2：线段的垂直平分线的性质？
11、课本P123 “议一议” （如图（3），沿OC对折后，AC与BC重合吗？）
（1）如图（3），点C是线段AB的垂直平分线上的一点，AC和BC相等吗？
理由是：
（2）改变点C的位置，以上结论还成立吗？
答：
图（3）
12.归纳线段垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点_____________________
几何语言：
如图（4）∵OA=OB，OM⊥AB,点C是OM上的一点
∴ AC = BC .
注意：这个结论是经常用来说明两条线段相等的依据之一
问题3：如何用尺规作线段的垂直平分线？
13、课本P124 例 1：利用尺规，作线段AB的垂直平分线
已知：线段AB.
求作：AB的垂直平分线.
作法：1.分别以 和 为圆心，以 的长为半径作弧， 两弧相交于 和 ；
2.作 .
就是线段AB的垂直平分线.
14、为什么第13题这样就能作出线段的垂直平分呢？其中的道理是什么？
15、课本P124 做一做 利用尺规作 △ABC的三边中线

16、利用尺规作△ABC的重心.
练习
1.在△ABC中，BC=10，边BC的垂直平分线分别交AB，BC于点E，D，BE=6，求△BCE的周长．
解：因为DE是线段BC的垂直平分线
所以EC=EB=6
所以△BCE的周长=EB+EC+BC=6+6+10=22
2 如图,AB是△ABC的一条边，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____.
A
B
E
D
C
（1）
4
6
3、 如图在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于D，如果BC=10cm，那么△BCD的周长是_______cm.
A
B
C
D
E
26
4 如图，已知点D在AB的垂直平分线上，如果
AC=5cm,BC=4cm,那么△BDC的周长是（ ）cm。
∟
A
D
E
B
C
M
N
9
小结
1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条 线段的垂直平分线。
2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一条对称轴 .
3. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 .
课外探究：
如图：A，B，C三点表示三个工厂，现要建一供水站，使它到这三个工厂的距离相等，请在图中标出供水站的位置P，请给予说明理由。
A●
B●
c
●
1. 作业本：习题5.4
2. 伴你学：简单的轴对称图形第二课时
作业
5.3 简单的轴对称图形
第3课时 角的轴对称性
A
D
B
C
E
A
D
C
B
不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
（对折）
C
结论：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线是对称轴
A
B
O
有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
对这种可以折叠的角可以用折叠方法得到角平分线，对不能折叠的角怎样得到其角平分线？
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）
O
A
B
C
E
N
O
M
C
E
N
M
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．
用尺规作角的平分线的方法
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
作法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ就是∠AOB的平分线．

如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试.
P
A
O
B
C
D
E
PD=PE
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E。
求证：PD=PE
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO ∠ AOC= ∠ BOC OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
角平分线的性质：
利用此性质怎样书写推理过程?
一线，一点，
两距离，两相等
角平分线的性质
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ OP 是∠AOB的平分线
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完整，不能少了任何一个。
角平分线的性质
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离。
定理的作用：
证明线段相等。
O
A
B
C
E
D
P
辨一辨
如图，OC平分∠AOB，PD与PE相等吗？
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( )
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
BD CD
（×）
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
√
不必再证全等
练一练
1、如图， ∵ OC是∠AOB的平分线，
又 ________________
∴PD=PE ( 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 )))


PD⊥OA，PE⊥OB
B
O
A
C
D
P
E
2、在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？为什么？
A
B
C
D
E
3、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=4cm,则PE=__________cm.
A
D
O
B
E
P
C
4
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
A
B
C
D
E
你会吗？
5、已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF.
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
回味无穷