河北省石家庄市启明学校2020-2021学年第一学期八年级数学期末模拟测试题（五）（Word版，附答案解析）

河北省石家庄市启明学校2020-2021学年第一学期八年级数学期末模拟测试题（五）
一、精心选择（本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把正确选项的标号用2B铅缩涂黑）
1．（2分）式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
2．（2分）在下列图形中，中心对称图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．（2分）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．3或﹣3
B．﹣3
C．0
D．3
4．（2分）小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为50.47g，用四舍五入法将50.47精确到0.1的近似值为（　　）
A．50
B．50.0
C．50.4
D．50.5
5．（2分）已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
6．（2分）估计的值在（　　）
A．2和3之间
B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，当∠ACE＝35°时，∠BAD的度数是（　　）
A．55°
B．40°
C．35°
D．20°
8．（2分）下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（2分）在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（　　）
A．小于60°
B．等于60°
C．大于60°
D．大于或等于60°
10．（2分）＝（　　）
A．
B．
C．
D．
11．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（　　）
A．130°
B．95°
C．90°
D．85°
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BF平分∠ABC，交CD于点E，交AC于点F．若AB＝10，BC＝6，则CE的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
二、准确填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.请你把答案写在横线上）
13．（3分）8的立方根是　
　．
14．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有　
　条．
15．（3分）计算：＝　
　．
16．（3分）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为　
　．
17．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　
　．
18．（3分）如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝EC，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上，若AD＝，AE＝，则BC＝　
　．
三、挑战技能（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）
19．（6分）计算：
20．（6分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
求证：△OBC是等腰三角形．
21．（6分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在4×4的方格纸中，△ABC是格点三角形．
（1）在图1中，以点C为对称中心，作出一个与△ABC成中心对称的格点三角形DEC，在题后横线上直接写出AB与DE的位置关系：　
　；
（2）在图2中，以AC所在的直线为对称轴，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形AFC，并在后横线上直接写出△BCF是什么形状的特殊三角形：　
　．
22．（6分）当x﹣y＝2时，求的值．
第二部分实践与应用
23．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝1丈，BC＝3尺，求AC的长为多少尺？（说明：1丈＝10尺）
24．（8分）观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为：　
　；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
25．（9分）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝　
　；
（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；
（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：
①请在图3中画出图形；
②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD、CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）①画图：在AC边上找一点H，使得BH+EH最小（要求：写出作图过程并画出图形，不用说明作图依据）；
②当BC＝2时，求出BH+EH的最小值．
参考答案与试题解析
一、精心选择（本大题共12个小题，每小题2分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请在答题卡上把正确选项的标号用2B铅缩涂黑）
1．（2分）式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞1
B．x＜1
C．x≥1
D．x≤1
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式x﹣1≥0，通过解该不等式即可求得x的取值范围．
【解答】解：根据题意，得x﹣1≥0，
解得，x≥1．
故选：C．
2．（2分）在下列图形中，中心对称图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项错误；
B．不是中心对称图形，故此选项错误；
C．不是中心对称图形，故此选项错误；
D．是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
3．（2分）若分式的值为0，则x的值是（　　）
A．3或﹣3
B．﹣3
C．0
D．3
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：依题意得：x2﹣9＝0且x≠0，
解得x＝±3．
故选：A．
4．（2分）小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为50.47g，用四舍五入法将50.47精确到0.1的近似值为（　　）
A．50
B．50.0
C．50.4
D．50.5
【分析】根据四舍五入法可以解答本题．
【解答】解：50.47≈50.5（精确到0.1），
故选：D．
5．（2分）已知a、b、c为三角形的边长，则图2中甲、乙、丙三个三角形和图1中的△ABC全等的是（　　）
A．甲和乙
B．乙和丙
C．甲和丙
D．只有丙
【分析】首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法（AAS与SAS），即可求得答案．
【解答】解：如图：
在△ABC和△MNK中，，
∴△ABC≌△NKM（SAS）；
在△ABC和△HIG中，，
∴△ABC≌△GHI（AAS）．
∴甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是：乙和丙．
故选：B．
6．（2分）估计的值在（　　）
A．2和3之间
B．3和4之间
C．4和5之间
D．5和6之间
【分析】直接得出的取值范围进而得出答案．
【解答】解：∵，
∴，
故选：C．
7．（2分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD、CE分别是△ABC的中线和角平分线，当∠ACE＝35°时，∠BAD的度数是（　　）
A．55°
B．40°
C．35°
D．20°
【分析】根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵CE是∠ACB的平分线，∠ACE＝35°，
∴∠ACB＝2∠ACE＝70°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝70°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝20°，
故选：D．
8．（2分）下列等式正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的性质1和性质2逐一判断即可得．
【解答】解：A．＝2，故本选项不符合题意；
B．（）2＝2，故本选项符合题意；
C．﹣＝﹣2，故本选项不符合题意；
D．（﹣）2＝2，故本选项不符合题意；
故选：B．
9．（2分）在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角（　　）
A．小于60°
B．等于60°
C．大于60°
D．大于或等于60°
【分析】根据反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论．
【解答】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于60°”时，
假设三角形的最大内角不小于60°不成立，则有三角形的最大内角小于60°．
故选：A．
10．（2分）＝（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据二次根式的性质4化简可得．
【解答】解：＝＝＝，
故选：D．
11．（2分）如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，且分别交BC、AC于D、E两点，∠B＝60°，∠BAD＝70°，则∠BAC的度数为（　　）
A．130°
B．95°
C．90°
D．85°
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠C，根据三角形内角和定理求出∠BDA的度数，计算出结果．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠B＝60°，∠BAD＝70°，
∴∠BDA＝50°，
∴∠DAC＝∠BDA＝25°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝70°+25°＝95°
故选：B．
12．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BF平分∠ABC，交CD于点E，交AC于点F．若AB＝10，BC＝6，则CE的长为（　　）
A．3
B．4
C．5
D．6
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠CBF+∠CFB＝90°，∠FBD+∠BED＝90°，根据角平分线和对顶角相等得出∠CEF＝∠CFE，即可得出EC＝FC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
【解答】解：过点F作FG⊥AB于点G，
∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠CBF+∠CFB＝90°，∠FBD+∠BED＝90°，
∵BF平分∠CBA，
∴∠CBF＝∠FBD，
∴∠CFB＝∠BED＝∠CEF，
∴CE＝CF，
∵BF平分∠CBA，∠BCF＝∠BGF＝90°，
∴FC＝FG，
∵∠A＝∠A，∠FGA＝∠ACB＝90°，
∴△AFG∽△ABC，
∴＝，
∵BC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，
∴AC＝8，
∴＝，
∵FC＝FG，
∴＝，
解得：FC＝3，
即CE的长为3．
补充方法：设CF＝FG＝x，在Rt△AFG中，∵AF2＝FG2+AG2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3，
∴CE＝CF＝3．
故选：A．
二、准确填空（本大题共6个小题，每小题3分，共18分.请你把答案写在横线上）
13．（3分）8的立方根是　2　．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
14．（3分）如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有　5　条．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：五角星的对称轴共有5条，
故答案为：5．
15．（3分）计算：＝　4　．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝5﹣1
＝4．
故答案为4．
16．（3分）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC＝5，OM＝4，则点C到射线OA的距离为　3　．
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF＝CM，进而可得答案．
【解答】解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM＝CF，
∵OC＝5，OM＝4，
∴CM＝3，
∴CF＝3，
故答案为：3．
17．（3分）若关于x的分式方程有增根，则m的值为　1　．
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，
得x﹣3m＝2m（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，m＝1
故m的值是1，
故答案为：1
18．（3分）如图，△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，AC＝BC，DC＝EC，△ACB的顶点A在△DCE的斜边DE上，若AD＝，AE＝，则BC＝　2　．
【分析】由等腰三角形的性质可得AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠CED＝45°，可证△ADC≌△BEC，可得AD＝BE＝，∠D＝∠BEC＝45°，由勾股定理可求AB＝2，即可求BC的长．
【解答】证明：如图，连接BE，
∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形
∴AC＝BC，DC＝EC，∠DCE＝∠ACB＝90°，∠D＝∠CED＝45°
∴∠DCA＝∠BCE，且AC＝BC，DC＝EC，
∴△ADC≌△BEC（SAS）
∴AD＝BE＝，∠D＝∠BEC＝45°，
∴∠AEB＝90°
∴AB＝＝2
∵AB＝BC
∴BC＝2
故答案为：2
三、挑战技能（本大题共4个小题，每小题6分，共24分）
19．（6分）计算：
【分析】先进行二次根式的乘法运算，然后取绝对值后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣+﹣1
＝﹣3+﹣1
＝﹣﹣1．
20．（6分）已知：如图，∠A＝∠D＝90°，AC＝DB，AC、DB相交于点O．
求证：△OBC是等腰三角形．
【分析】由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△DBC，可得∠ACB＝∠DBC，可证△OBC是等腰三角形．
【解答】证明：∵AC＝DB，BC＝BC
∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL）
∴∠ACB＝∠DBC
∴OB＝OC
∴△OBC是等腰三角形
21．（6分）顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在4×4的方格纸中，△ABC是格点三角形．
（1）在图1中，以点C为对称中心，作出一个与△ABC成中心对称的格点三角形DEC，在题后横线上直接写出AB与DE的位置关系：　AB∥DE，AB＝DE　；
（2）在图2中，以AC所在的直线为对称轴，作出一个与△ABC成轴对称的格点三角形AFC，并在后横线上直接写出△BCF是什么形状的特殊三角形：　等腰直角三角形　．
【分析】（1）根据中心对称的性质画出图形即可判断．
（2）根据轴对称的性质画出图形即可判断．
【解答】解：（1）△DEC即为所求．AB∥DE，AB＝DE．
故答案为AB∥DE，AB＝DE．
（2）△ACF即为所求．
△BCF是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角三角形．
22．（6分）当x﹣y＝2时，求的值．
【分析】首先对分式进行化简，然后将x﹣y＝2时代入即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
x﹣y＝2时．
．
第二部分实践与应用
23．（8分）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数学问题是：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝1丈，BC＝3尺，求AC的长为多少尺？（说明：1丈＝10尺）
【分析】设AC＝x，可知AB＝10﹣x，再根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：1丈＝10尺，
设AC＝x，
∵AC+AB＝10，
∴AB＝10﹣x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AC2+BC2＝AB2，即x2+32＝（10﹣x）2．
解得：x＝4.55，
即AC＝4.55尺．
24．（8分）观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第4个算式为：　　；
（2）求的值；
（3）诸直接写出的结果．
【分析】根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此
（1）可以猜想到接下来的第4个算式为：，
（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；
（3）第（2）题进一步扩展到n项即可．详见解答过程．
【解答】解：
（1）依题意：接下来的第4个算式为：
故答案为
（2）原式＝
＝
＝
＝
（3）
原式＝
＝
＝
＝
25．（9分）已知：如图1，OM是∠AOB的平分线，点C在OM上，OC＝5，且点C到OA的距离为3．过点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，易得到结论：OD+OE＝　8　；
（1）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；
（2）把图1中的∠DCE绕点C旋转，当CD与OA的反向延长线相交于点D时：
①请在图3中画出图形；
②上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段OD、OE之间的数量关系，不需证明．
【分析】先利用勾股定理求出OD，再利用角平分线定理得出DE＝CD，即可得出结论；
（1）先判断出∠DCQ＝∠ECP，进而判断出△CQD≌△CPE，得出DQ＝PE，即可得出结论；
（2）①依题意即可补全图形；
②同（1）的方法即可得出结论．
【解答】解：∵CD⊥OA，
∴∠ODC＝90°，
在Rt△ODC中，CD＝3，OC＝5，
∴OD＝＝4，
∵点C是∠AOB的平分线上的点，
∴DE＝CD＝3，
同理，OE＝4，
∴OD+OE＝4+4＝8，
故答案为8；
（1）上述结论成立，理由：如图2，过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠POQ＝180°，
由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°，
∴∠POQ＝∠DOE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴DQ＝PE，
∵OD＝OQ﹣DQ，OE＝OP+PE，
∴OD+OE＝OQ﹣DQ+OP+PE＝OQ+OP＝8；
（2）①补全图形如图3，
②上述结论不成立，OE﹣OD＝8，
理由：过点C作CQ⊥OA于Q，CP⊥OB于P，
∴∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴∠AOB+∠POQ＝180°，
由旋转知，∠AOB+∠DOE＝180°，
∴∠POQ＝∠DOE，
∴∠DCQ＝∠ECP，
∵点C是∠AOB的平分线上，且CQ⊥OA，CP⊥OB，
∴CQ＝CP，
∵∠OQC＝∠EPC＝90°，
∴△CQD≌△CPE（ASA），
∴DQ＝PE，
∵OD＝DQ﹣OQ，OE＝OP+PE，
∴OE﹣OD＝OP+PE﹣（DQ﹣OQ）＝OP+PE﹣DQ+OQ＝OP+OQ＝8．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，E为AB边的中点，以BE为边作等边△BDE，连接AD、CD．
（1）求证：AD＝CD；
（2）①画图：在AC边上找一点H，使得BH+EH最小（要求：写出作图过程并画出图形，不用说明作图依据）；
②当BC＝2时，求出BH+EH的最小值．
【分析】（1）证明△ABC≌△ABD（SAS），可得AC＝AD．
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接EB′交AC于H，点H即为所求．
②连接AB′，证明△ABB′是等边三角形即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BC，∠ABC＝60°
∵AE＝EB，
∴BC＝BE，
∵△BED是等边三角形，
∴BE＝BD，∠ABD＝60°，
∵AB＝AB，∠ABC＝∠ABD＝60°，BC＝BD，
∴△ABC≌△ABD（SAS），
∴AC＝AD．
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接EB′交AC于H，点H即为所求．
②连接AB′，
∵AC⊥BB′，CB＝CB′，
∴AB＝AB′，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABB′是等边三角形，
∵AE＝EB，
∴B′E⊥AB，
在Rt△BEB′中，∵BB′＝4，∠EBB′＝60°，
∴EB′＝BB′?sin60°＝2，
∴EH+HB的最小值＝EH+HB′＝EB′＝2