北师大版数学七年级下册5.3 《简单的轴对称图形第3课时》教学课件(共30张PPT)

第五章 生活中的轴对称
5.3 简单的轴对称图形
第3课时
学习目标
1.掌握角的平分线有关性质；
2.利用角平分线的性质解决问题；
3.尺规作图作一个角等于已知角.
问题情境
在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．
问题1：怎样修建道路最短？
问题2：往哪条路走更近呢？
探究新知
A
O
B
C
再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？
活动1.不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角.你有什么办法？
C
结论：
角是轴对称图形，对称轴是角平分线所在的直线.
A
B
O
探究新知
探究新知
活动2.将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？
可以看一看,第一条折痕是∠AOB的平分线OC,第二次折叠形成的两条折痕PD,PE是角的平分线上一点到∠AOB两边的距离,这两个距离相等.
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等，改变点C的位置，线段CD和CE仍相等.
探究新知
角平分线性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等
几何语言：
A
O
B
P
E
D
1
2
∵ ∠1= ∠2
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。
探究新知
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）
∴∠PDO=∠PEO=90（垂直的定义）
在△PDO和△PEO中
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）
∠ PDO= ∠ PEO
∠ AOC= ∠ BOC
OP=OP
∴ △ PDO≌ △ PEO（AAS）
D
P
E
A
O
B
C
探究新知
利用尺规，作∠AOB的平分线．
已知：∠AOB．
求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC．
A
O
B
探究新知
作法：（1）在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE．
（2）分别以D，E为圆心．大于　DE的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于点C．
（3）作射线OC．
则射线OC即为所求（如图示）．
1
2
-
A
O
B
D
E
C
探究新知
O
A
B
C
E
D
P
典型例题
例1.判断正误（1）∵ 如图，OC平分∠AOB（已知）
∴ = ，( )
PD PE
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
（×）
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，( )
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
BD CD
（×）
典型例题
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴ = ，（ ）
DB
DC
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
√
典型例题
典型例题
例2.如图，CD⊥OA，CE⊥OB，D、E为垂足．
（1）若∠1=∠2，则有___________;
（2）若CD=CE，则有___________．
CD=CE
∠1=∠2
例3.有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB=AD,BC=DC,将A点放角的顶点，AB和AD沿AC画一条射线AE,AE就是∠BAD的平分线，为什么？
典型例题
典型例题
证明：
在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
CA=CA（公共边）
∴ △ACD≌ △ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的 对应边相等）
∴AC平分∠DAB（角平分线的定义）
A
D
B
C
E
例4.在Rt△ABC中，BD是角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE与DC相等吗？还有其他相等的线段吗？
A
B
C
D
E
典型例题
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵∠ADE=180°-∠EAD-∠AED，
∠ADC=180°-∠C-∠CAD，
∴∠ADE=∠ADC，
∴△ADE≌△ADC，
∴AE=AC．
∴图中相等的线段：DE=DC，AE=AC．
典型例题
解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，
∴DE=DC，
∵∠ADE=180°-∠EAD-∠AED，∠ADC=180°-∠C-∠CAD，
∴∠ADE=∠ADC，
∴△ADE≌△ADC，
∴AE=AC．
∴图中相等的线段：DE=DC，AE=AC．

例5.如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，
过点O作OD⊥BC于点D，且OD=4．若△ABC的
周长是17，求△ABC的面积.
解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连结OA，
∵点O是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，
∴OE=OD，OF=OD，即OE=OF=OD=4，
∴S△ABC=S△ABO+S△BCO+S△ACO= AB?OE+ BC?OD+
= ×4×（AB+BC+AC）=34
AC?OF
典型例题
1.（1）如图：OC是∠AOB的平分线，
点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB,垂足分别是D、E，PD=4cm，
则PE=__________cm.
4
随堂练习
（2）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=2，BC=8，则△BDC的面积是 ．
8
2.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 BC=8,BD=5,求点D到AB的距离是多少？
随堂练习
解：过点D作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，
∴DE=CD，
∵BC=8，BD=5，
∴CD=BC-BD=3，
∴DE=CD=3，
即点D到线段AB的距离是3．
3．如图，求作一点P，使PC=PD，并且使点P到∠AOB的两边的距离相等，并说明你的理由．
解：作线段CD的垂直平分线和∠AOB的角平分线，两线交点即为所求点．
A
O
B
D
C
随堂练习
4．如图，在△ABC中， ∠ABC=90°，AB的垂直平分线交AC与D，垂足为E，若∠A=30°，DE=2，求∠DBC的度数和CD的长．
C
A
B
D
E
随堂练习
解：∵D是线段AB垂直平分线上的点．
　　∴AD=BD，
　　∴ ∠DBE= ∠A=30°，
　　∴ ∠DBC= ∠DBE=30°
　　又∵DE⊥AB，DC⊥BC，
　　∴CD=DE=2．
　　故 ∠DBC=30°，CD=2．
C
A
B
D
E
随堂练习
随堂练习
5．如图，∠ABC与∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC交AB于D，交AC于E，求证：BD+EC=DE．
证明：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．
∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC．
∴∠DBF=∠DFB．
∴DF=DB，
同理FE=EC，∴DE=DF+FE=BD+EC．
随堂练习
6.如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于D，BD，CE交点O，且AO平分∠BAC.
求证：OB=OC．
证明：∵AO平分∠BAC，CE⊥AB于点E，
BD⊥AC于点D，
∴OE=OD，
又∵在Rt△OBE和Rt△OCD中
∴△OBE≌△OCD（ASA），
∴OB=OC．
结论：
（1）角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴；
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
课堂小结
再见