初中数学北师大版七年级下册第四章三角形复习课2课件(共30张PPT)

初中数学七年级(下)
第四章 三角形复习课二
1.已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a +b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|得（　　）
A．2a﹣2b﹣c B．4a﹣2c C．4b+2c D．2a﹣2b+c
2 .如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交AB、AD、
AC及BC的延长线于点E、H、F、G，若∠B＝45°，∠ACB＝75°，
则∠G的度数为（　　）
3.如图2，△ABC的三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，且
AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
A．15° B．22.5° C．27.5° D．30°
图1
图2
诊断练习一
4.如图3，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形
如图3的图形称之为“8字形”．如图4，在图3的条件下，∠DAB
和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交
于点M、N，试解答下列问题：
（1）在图3中，求出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）在图4中，若∠B＝40°，∠D＝36°，试求∠P的度数；
（3）如果图4中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P
与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．
图3
图4
能力提高一
解：∵△ABC的三边长a、b、c需满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴a+b﹣c＞0，a﹣b﹣c＜0，a+b+c＞0．
∴|a+b﹣c|＝a+b﹣c，|a﹣b﹣c|＝b+c﹣a，|a+b+c|＝a+b+c．
∴|a+b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|＝（a+b﹣c）﹣2（b+c﹣a）+（a+b+c）＝4a﹣2c．
1.已知三角形的三边长分别为a、b、c，化简|a +b﹣c|﹣2|a﹣b﹣c|+|a+b+c|得（　　）
A．2a﹣2b﹣c B．4a﹣2c C．4b+2c D．2a﹣2b+c
B
诊断练习一
图1
∴∠HAF+∠AFE＝90°．
∴∠AFE＝90°-∠HAF=60°．
∵∠AFE与∠GFC是对顶角，
∴∠GFC=∠AFE＝60°．
∵∠ACB＝75°，
∴∠ACG＝180°-∠ACB＝180°-75°＝105°．
∵∠G+∠GFC+∠GCF＝180°，
∴∠G＝180°-∠GFC-∠GCF＝180°-60°-105°＝15°．
2 .如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，EG⊥AD，且分别交
AB、AD、AC及BC的延长线于点E、H、F、G，若∠B＝45°，
∠ACB＝75°，则∠G的度数为（　　）
A．15° B．22.5° C．27.5° D．30°
解：∵∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°-∠B-∠ACB．
∵∠B＝45°，∠ACB＝75°，
∴∠BAC＝60°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝ ＝30°．
∵EG⊥AD，


A
诊断练习一
3.如图2，△ABC的三边的中线AD、BE、CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
图2
C
诊断练习一
图2
4．解：(1)在△AOD中，
∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，
∴∠A+∠D＝180°-∠AOD．
在△BOC中，
∵∠C+∠B+∠BOC＝180°，
∴∠C+∠B＝180°-∠BOC ．
∵∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B．
(2) ∵∠OAD+∠D＝∠OCB+∠B．
∵∠B＝40°，∠D＝36°，
∴∠OAD+36°＝∠OCB+40°．
∴∠OAD﹣∠OCB＝4°．
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝ ∠OAD，∠PCM＝ ∠OCB．

，
又∵∠DAM+∠D＝∠PCM+∠P，
∴∠P＝∠DAM+∠D -∠PCM ＝ （∠OAD -∠OCB）+∠D
＝ ×4°+36°＝38°．
（3）根据“8字形”数量关系，
∠OAD +∠D＝∠OCB +∠B，
∠DAM +∠D＝∠PCM +∠P，
∴∠OCB -∠OAD＝∠D -∠B，
∠PCM-∠DAM＝∠D -∠P，
∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，
∴∠DAM＝ ∠OAD，∠PCM＝ ∠OCB，
∴∠PCM -∠DAM＝ （∠OCB -∠OAD）＝ （∠D -∠B）．
即∠D -∠P＝ （∠D -∠B）．
整理得，∠P＝ (∠B+∠D）．
图3
图4
能力提高一
整体
思想
5.如图5，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．请说明：∠ABC＝∠DEF．
6.如图6，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，请说明：AF＝DE．
7.如图7，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．请说明：BD＝CE．
图5
图6
图7
诊断练习二
5.如图5，点E、C在线段BF上，BE＝CF，AB＝DE，AC＝DF．请说明：∠ABC＝∠DEF．
说明：∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC．
∴BC＝EF．
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
∴∠ABC＝∠DEF．
图5
诊断练习二
模型一　平移型
把△ABC沿着某个方向移动，得到的△DEF与△ ABC是平移型全等三角形．下图是常见的平移型全等三角形．
归纳总结
6.如图6，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C，请说明：AF＝DE．
图6
说明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF．
即BF＝CE．
在△ABF和△DCE中，
∴△ABF≌△DCE（SAS）．
∴AF＝DE．
诊断练习二
模型二　对称型
将一个三角形沿着某一条直线翻折后，能够与另一个三角形完全重合，则这两个全等三角形是对称型全等三角形．此类图形中要注意其隐含条件，如公共边或公共角等．
归纳总结
说明∵AB⊥AC，AD⊥AE，
∴∠BAC＝∠DAE＝90°．
∴∠BAC-∠BAE＝∠DAE-∠BAE．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
7.如图7，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE．请说明：BD＝CE．
∴△ABD≌△ACE（ASA）．
∴BD＝CE．
图7
诊断练习二
模型三　旋转型
旋转一定角度后，两个三角形能够完全重合，则这两个三角形可称为旋转型全等三角形．识别旋转型全等三角形时，如左图，涉及对顶角相等；中间图，涉及等角加(减)公共角；右图，涉及公共边问题．
归纳总结
8.如图8，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A的直线的垂线BD、CE，垂足分别为D、E，若BD＝3，CE＝2，求DE的长．
诊断练习二
图8
解：∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°．
∵BD⊥DE，
∴∠D＝90°．
∴∠BAD+∠ABD＝90°．
∴∠ABD＝∠CAE．
∴△BDA≌△AEC（AAS）．
∴DA＝EC＝2，BD＝AE＝3．
∴DE＝DA+AE＝5．
∵CE⊥DE，
∴∠E＝90°．
∴∠D＝∠E．
在△BDA和△AEC中，
2
2
拓展模型四　 K字型（旋转+平移）
BD⊥DE，AB⊥AC，CE⊥DE，那么一定有∠B＝∠CAE.
若两个三角形中再有一组对应边相等，则两个三角形全等.
归纳总结
能力提高二
9.如图9，点F、A、G、C、H在同一直线上，EF⊥FH，BG⊥FH，DH⊥FH，且AE⊥AB，
AE＝AB，BC⊥CD，BC＝CD，请按图中标注的数据计算实线所围成图形的面积S＝　 　．
△EFA≌△AGB
AF=BG=2
AG=EF=6
△BGC≌△CHD
GC=HD=4
BG=CH=2
S梯形EFHD＝
×（EF+DH）×FH
＝ ×（6+4）×14＝70
S梯形EFHD﹣S△EFA﹣S△ABC﹣S△DHC
＝70﹣ ×6×2﹣ ×（6+4）×2﹣ ×4×2
＝50．
图9
6
2
4
2
50
如图10，B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边长，在线段AC的同一侧作两个等边三角形△ABD与△BCE，连接AE与CD，AE与CD的交点为H，
（1）AE与DC相等吗？说明理由；
（2）求∠AHD的度数．
典型例题
图10
H
F
G
（1）△ABE≌△DBC
H
如图10，B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边长，在线段AC的同一侧作两个等边三角形△ABD与△BCE，连接AE与CD,AE与CD的交点为H，（1）AE与DC相等吗？说明理由；（2）求∠AHD的度数．
△ABE≌△DBC
H
F
G
∠AHD＝60°
AE＝DC
典型例题
∠BAE＝∠BDC
∠DAH+∠ADH＝∠DAB+∠ADB
F
G
(1)解：AE＝DC．
理由如下：
∵△ABD和△BCE是等边三角形，
∴BA＝BD，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°．
∴∠ABD+∠DBE＝∠CBE+∠DBE．
即∠ABE＝∠DBC．
在△ABE和△DBC中，
(2)∵△ABD和△BCE都是等边三角形，
∴∠DAB＝∠ADB＝60°．
∵△ABE≌△DBC，
∴∠BAE＝∠BDC．
∴∠BDH+∠DAH＝∠BAE+∠DAH＝∠DAB＝60°．
∴在△AHD中，
∠AHD＝180°﹣∠ADH﹣∠DAH
＝180°﹣∠ADB﹣∠BDH﹣∠DAH
＝180°﹣∠ADB﹣（∠BDH+∠DAH）
＝180°﹣60°﹣60°
＝60°．
如图10，B是线段AC上一点，分别以AB、BC为边长，在线段AC的同一侧作两个等边三角形△ABD与△BCE，连接AE与CD，AE与CD的交点为H，（1）AE与DC相等吗？说明理由；（2）求∠AHD的度数．
典型例题
图10
∴△ABE≌△DBC（SAS）．
∴AE＝DC．
H
F
G
开放性问题
上面问题中，你还能得出那些结论？
H
△ABF≌△DBG
AF=DG
H
△CBG≌△EBF
BG=BF
H
F
G
△BFG是等边三角形
FG∥BC
拓展模型五　手拉手型（旋转）
下列图形都是由两个等顶角的等腰三角形所组成，并且顶角的顶点为公共顶点.顶点相连的四条边，形象的可以看作两双手，所以通常称为手拉手模型.
归纳总结
H
C
A
B
E
D
F
G
O
能力提高三
10.（1）如图11，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，
∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，
请说明：BE＝DC，且BE⊥DC．
（2）探究：如图12，若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连
接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，则BE与DC还相等吗？请说明
理由；并求出∠BOD的度数．
类比
10.(1)说明：∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AD，AE＝AC．
又∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC．
即∠DAC＝∠BAE．
在△ABE和△ADC中，
∴△ABE≌△ADC（SAS）．
∴BE＝DC．
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，
∴∠DBA＝∠ADB＝45°．
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ADC．
∴∠ABE+∠BDF＝∠ADC+∠BDF＝∠ADB＝45°．
∴在△BOD中，
∠BOD＝180°﹣∠DBO﹣∠BDO
＝180°﹣∠DBA﹣∠ABE﹣∠BDO
＝180°﹣∠DBA﹣（∠ABE+∠BDF）
＝180°﹣45°﹣45°
＝90°．
∴BE⊥DC．
能力提高三
(2)解：BE＝DC．
理由如下：
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°．
∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC．
即∠BAE＝∠DAC．
在△ABE和△ADC中，
∴△ABE≌△ADC（SAS）．
∴BE＝DC．
∵△ABD和△ACE都是等边三角形，
∴∠DBA＝∠ADB＝60°．
∵△ABE≌△ADC，
∴∠ABE＝∠ADC．
∴∠ABE+∠BDO＝∠ADC+∠BDO＝∠ADB＝60°，
∴在△BDO中，
∠BOD＝180°﹣∠DBO﹣∠BDO
＝180°﹣∠DBA﹣∠ABE﹣∠BDO
＝180°﹣∠DBA﹣（∠ABE+∠BDO）
＝180°﹣60°﹣60°
＝60°．
能力提高三

手拉手型
等线段，共端点，关键是旋转
先找到两个全等三角形
探索变化问题中的不变性
归纳总结
课堂小结
一、8字形
K字型
手拉手型
二、平移型
对称型
旋转型
∠A+∠D＝∠C+∠B
当堂检测
1.如图，OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的角平分线，∠BOC＝120°，则∠A＝（　　）
2.如图，点O在AD上，∠A＝∠C，∠AOC＝∠BOD，AB＝CD，AD＝6，OB＝2，则OC的长为（　　）
3.如图，△ACB和△DCE均为等腰三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE，
若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°．（1）说明：AD＝BE． （2）求∠AEB的度数．
A．2 B．3 C．4 D．6
A．40° B．60° C．110° D．120°
第1题图
第2题图
第3题图
3.(1)说明：∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°，
∴CA＝CB，CD＝CE，
∠ACB-∠BCD＝∠DCE-∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE．
在△ACD和△BCE中，
(2)解：∵△ACD≌△BCE，
∴∠CDA＝∠CEB，
∵∠CDE＝∠CED＝50°
∴∠CDA＝180°-∠CDE＝180°-50°＝130°
∴∠CEB＝130°
∴∠AEB＝∠CEB-∠CEA=130°-50°＝80°．
当堂检测答案
1. B 2. C
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE．
作业
1.如图，在△ABC中，高BD、CF相交于点E，若∠A＝52°，则∠BEC＝ °．
2.如图，AD是△ABC的中线，延长AD，过点B作BE⊥AD交AD的延长线于点E，过点C作CF⊥AD交AD
于点F．请说明：DE＝DF．
3.如图①，B、C、E是同一直线上的三个点，四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形．连接BG、DE．
（1）探究BG与DE之间的数量关系；
（2）当正方形CEFG绕点C在平面内顺时针转动到如图②所示位置时，线段BG和ED有何关系？说明理由．
第1题图
第2题图
第3题图