青岛版数学九年级上4.1圆的对称性导学案

4.1圆的对称性 导学案
一、学习目标：
1、了解圆的轴对称性。
2、探索并证明垂径定理，能用垂径定理解决有关问题。
学习重点:垂径定理及应用
难点：垂径定理的证明
二、知识链接：
1、圆是到 的距离等于 的点的集合。
2、连接圆上任意两点的线段叫做 ，圆中最长的弦是 。
3、圆上任意两点间的部分叫做 ，简称 ，直径分圆为两部分，每一部分叫做 ，大于半圆的弧叫做 ，小于半圆的弧叫做 ，
如图，弦AB把圆分成的劣弧是 ，优弧是 。
在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫做 。
4、什么是轴对称图形？对称轴是条 （直线、射线、线段），
对称轴的性质是 对称点的连线。
三、新知探究：
(一) 交流发现：圆的轴对称性
1、圆是轴对称图形吗？
2、拿出准备好的半透明纸片，在纸上画一个圆，记作⊙O，任意作出一条直径，将⊙O沿直径折叠，你发现了什么结论？再任意作出一条直径，将⊙O沿这条直径折叠，是否发现有同样的结论？
3、总结概括：圆是 图形，对称轴是 。
对称轴有 条。
4、应用：一个圆形纸片，圆心没有标出，你能找到它的圆心吗？
（二）深入探究：垂径定理（重点、难点）
1、问题：
如图，在⊙O中，AB是直径，作弦CD⊥AB,垂足是E.如果将⊙O沿直径AB折叠，线段CE与DE有什么关系？与有什么关系？
与呢？通过实验验证你的猜想。
2、小组交流讨论，发现命题。
① 动手折叠，观察图形，你发现了什么结论，在组内交流讨论。
② 总结发现命题： 于弦的 ， 这条弦，并且 弦所对的两条弧。
3、运用演绎推理，证明命题。
垂直于弦的直径，平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
分析：命题的条件是 ，结论是 。
根据题意画出图形，写出已知，求证。你是怎么推理的，写出过程。
4、应用
练习1. 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
点拨:1、垂径定理中的“垂径”可以是直径，半径，或过圆心的直线或线段，其本质是
2、垂径定理可以这样理解：
一条直线，具备两个条件：①
②
就能得到三个结论：①
②
③
练习2、已知：在⊙O中，弦AB=8，O到AB的距离等于3，求⊙O的半径。
练习3、在⊙O中，弦AB＝8厘米，OC⊥AB，CD＝2cm，求⊙O的半径。
典例分析：自学课本109页例1，你能根据题意画出图形并给出解答吗？
思考：在圆中解决与弦有关问题时，经常作的辅助线是什么？
四、课堂小结：通过本节课的学习，你学到了什么，有哪些收获？
五、达标测试：
1已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点
(1)若AB为直径， 求证： AC = BD
(2)若AB为不过圆心的弦，猜想AC 与 BD的大小关系，并证明。
2、如右图2所示，已知AB为⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为M，CD＝8，AM＝2，
则OM＝_________.
六、课后提升：
1、⊙O的半径是5，P是圆内一点，且OP＝3，过点P最长的弦长为 最短弦长为_________.
2、在⊙O中，弦AB∥CD,且AB = 8cm，CD = 6cm，⊙O的半径R = 5cm，求弦AB和CD的距离。
3、探究：垂径定理的推论
（1）如果CD是⊙O的弦（不是直径），过CD的中点E作⊙O的直径AB.
你发现AB与CD互相垂直吗？与有什么关系？与呢？通过实
验验证你的猜想。并给出证明。
（2）讨论: 如图,在下列五个条件中:
AB是直径, ② AB⊥CD, ③ CE=DE, ④AC=AD, ⑤BC=BD. 如果具备其中两个
条件,能否推出其余三个结论成立？
O
B
A
E
E
O
C
D
A
B
O
A
B