(共21张PPT)
易错易混集训:勾股定理
◆易错点一考虑不全面,造成漏解
已知Rt△ABC的三边长为a,4,5,则a的值是(C
A.3
B
C3或√41
D9或41
2.(2020·六安霍邱县期末)如图,Rt
△ABC中,∠ACB=90°,AC=12,
BC=5,延长BC至点D,连接AD.
若△ABD是以AD为其中一腰的
B
C
119
等腰三角形,则线段DC的长等于5或
10
3已知在△ABC中,AB=17,AC=10,BC边上的高
AD=8,求边BC的长
解:分两种情况:①当高AD在三角形的内部时,如图①
在Rt^ABD中,根据勾股定理得BD
AB
-AD
172-82=15
在Rt△ACD中,根据勾股定理得CD=√AC-AD2
102-82=6
此时BC=15+6=21
B
D
C
图①
在Rt△ACD中,根据勾股定理得OD=√AC-AD2
102-82=6
此时BC=15+6=21
②当高AD在三角形的外部时,如图②
在R△ABD中,根据勾股定理得BD=√AB2-AD2
172-82=15
在Rt△ACD中,根据勾股定理得CD=√AC-AD2
102-82=6
此时BC=15-6=9
综上所述,BC的长是21或9
A
B
D
图
C
4.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=16,BC
12,点D为AC边上的动点,点D从点C出发,沿边
CA往A运动,当运动到点A时停止.已知点D运动
的速度为每秒2个单位长度.设点D运动的时间为
t秒,当t为多少时,△CBD是直角三角形?
B
A
C
t秒,当t为多少时,△CBD是直角三角形?
解:∵∴∠ABC=90°,AB=16
B
BC=12
AC
AB2+
BC
400,即AC=20
A
C
若△CBD是直角三角形,
根据题意可分两种情况
①∠CDB=90°时,S△AMC=2AC·BD1
AB·BC
2
即×20·BD
16×12
解得BD=9.6.∴CD2=BC2-BD2=51.84
CD=72。∴t=72÷2=3.6
②∠CBD=90时,点D和点A重合,此时t=20÷2=10
综上所述,t=3.6或10时,△CBD是直角三角形
易错总结
①已知一直角三角形的两条边的长,求第三边
长,没有明确斜边时,应分类讨论:一是两边均为直
角边;二是两边有一边为直角边,一边为斜边
②无图时,应全面考虑,分高在三角形外部或
内部求解,做到既全面又不重复(共29张PPT)
本章小结与复习
如果直角三角形的两条直角边长分别
为a,b,斜边长为c,那么①a2+b2=c
勾股定理的变式:
①c=a+b2;②a=c2-b2;③b2=c2-a
④a=e-b;⑤b=/c-a
勾股定理
安徽中考考点结构
形)
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a,b,c满足②2a2+b2=c2,
那么这个三角形是直角三角形
勾股定理
勾股定理主要反映了直角三角形中
三边的数量关系,是直角三角形的
重要性质之一已知直角三角形中
互逆定理
的任意两边,均可求出第三边长;
已知直角三角形的一边,可确定另
两边的关系;证明含平方关系的问
题等
勾股定理的逆定理可作为直角三角
勾股定理的逆定理
形的判定定理,由三边关系通过计
算可以判定该三角形是否为直角三
角形应用定理时,要注意是较短
两边的平方和等于最长边的平方
hc满品③
实际问题
(直角三角形边长的计算)
勾股定理
命题
定理
互逆定理
实际问题
(判定直角三角形)
勾股定理的逆定理
安徽考点整合训练
◆考点一勾股定理及其应用
1.(2020·合肥蜀山区期末)已知R△ABC中,∠C
90°,BC=2,AB=3,则AC的长为
C
A.
5
B.√13
D,1
C
D
0
B
2.(2020·铜陵期末)如图,点B,D在数轴上,OB
3,OD=BC=1,∠OBC=90°,以D为圆心,DC长
为半径画弧,与数轴正半轴交于点A,则点A表示
的实数是
A.10
B.17+1
C17-1
D.不能确定
A√10
C.17-1
B.17+1
D.不能确定
3如图是由四个边长为1的正方形构成的“田”字格,只
用没有刻度的直尺,在“田”字格中最多可以作长为5
的线段(线段的端点在小正方形的顶点上)
A.4条
B.6条
C.7条
D8条
4将一副直角三角板如图放置,使GM与AB在同
直线上,其中点M在AB的中点处,MN与AC交
于点E,∠BAC=30°若AC=9cm,则EM的长为
B)
A..5
cm
B
3
cm
C4
cm
D,4.5
cm
E
B
M
A
g
C
4
cm
D.4.5
cm
5.(2020·河北中考)如图是用三块正方形纸片以顶
点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案现有五种
正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块
(可重复选取)按图的方式组成图案,使所围成的三
角形是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片
的面积分别是
B
A.1,4,5
B.2,3,5
C.3,4,5
D2,2,4(共29张PPT)
17.2勾股定理的逆定理
第1课时勾股定理的逆定理
A分点训练·打好基础
知识点一勾股定理的逆定理
1.(2020·芜湖期末)下列长度的三条线段首尾相接
能组成直角三角形的
B
A.45,6
B.1,1,2
C.6,8,11
D,5,12,23
2.△ABC满足下列条件中的一个,其中不能说明
△ABC是直角三角形的是
(D
A.b2=(a+c)(a-c)
B
b
2
C.∠C=∠A
B
D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
3.已知M、N是线段AB上的两点,AM=MN=2,
NB=1,以点A为圆心,AN长为半径画弧;再以点
B为圆心,BM长为半径画弧,两弧交于点C,连接
AC,BC,则△ABC一定是
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D等腰三角形
4.已知a,b,c是△ABC三边的长,且满足关系式
√c2+a2-b2+|c-a|=0,则△ABC的形状
等腰直角三角形
5如图,在四边形ABCD中,AB=1,AD=3,BD
2,∠ABC+∠ADC=180°,CD=√2
(1)判断△ABD的形状,并说明理由
解:(1)△ABD是直角三角形理由如下:D
C
在△ABD中,∵AB2+AD2=12+
(3)2=4,BD2=22=4,
AB+ADZ=BD
A
△ABD是直角三角形
(2)求BC的长
(2)在四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°
∴∠A+∠C=180°
由(1)得∠A=90°
∴∠C=90°
在Rt△BCD中,∠C=90°,BC2=BD2-CD2=2
(√2)2=2
∴BC=2
在Rt△BCD中,∠C=90°
C
B
知识点二勾股数
6.(2020·六安金寨县期末)下列四组数中,是勾股数
的是
(C
A.0.3,0.4,0.5
B,.32,42,52
C.3,4,5
y·3
4·5
7观察以下几组勾股数,并寻找规律:①3,4,5;②5
12,13;③7,24,25;④9,40,41;…请你写出具有以
上规律的第⑥组勾股数:13,84,85
知识点三互逆命题与互逆定理
8已知下列命题:①若a>b,则a2>b2;②若a>1,
则(a-1)=1;③两个全等三角形的面积相等.其
中原命题与逆命题均为真命题的个数是
A.0
B.3(共31张PPT)
第十七章勾股定理
17.1勾股定理
第1课时勾股定理
A分点训练·打好基础
知识点一勾股定理的认识与证明
已知a,b,c是△ABC的三边长,下列说法错误的是
A.若∠C=90°,则a2+b2=c2
B若∠B=90°,则a2+c2=b2
C若∠A=90°,则c2-b2=a2
D若∠A=90°,则a2-b2=c2
2如图是由边长均为1的正方形组成的网格,下面
勾股定理的探索与验证过程,请补充完整
A
A
13
S1+S2=S3
即AC2+BC2
AB
知识点二利用勾股定理进行计算
3.在Rt△ABC中,∠C=90°,a=9,b=12,则c的长为
B
A.10
B.15
C,18
D,20
【变式题】斜边确定→斜边不确定
(2020·芜湖期末)已知直角三角形两边的长为3
和4,则此三角形的周长为
A.12
B7+7
C.12或7+7
D以上都不对
4如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=45,BC=2,则
AB等于
(
B
A
B,2
C23
B
D,4
5如图,点E在正方形ABCD的边AB上若EB=1,
EC=2,则正方形ABCD的面积为
(
B
A,/3
B.3
C.2
D,5
B
6求图中直角三角形中未知边的长度:b
15
C
30
18
8
24
7在Rt△ABC中,斜边BC=2,则AB2+AC2+BC2
的值为8
8如图①,这个图案是我国汉代的赵爽在注解《周髀算
经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”此图案的示意
图如图②,其中四边形ABCD和四边形EFGH都是
正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等
FIG2D
图①
图
②
正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE是四个全等
的直角三角形.若EF=2,DE=8,则AB的长为
10
9如图,已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,
BC=15,BD=9求CD和AB的长
解:∵CD⊥AB,
CDB=∠CDA=90
在Rt△CDB中,CD2+BD2
A
B
BC2,BC=15,BD=9,
CD2+92=152
∴CD=12
在Rt△CDA中,CD2+AD2=AC2,AC=20,CD=12,
∴122+AD2=20
AD=16
AB=AD+BD=16+9=25(共31张PPT)
第2课时
勾股定理在实际生活中的应用
A分点训练·打好基础
知识点勾股定理的实际应用
如图是一个高为2m,宽为15m的长方形门框,光头强
有一些薄木板(木板厚度忽略不计)要通过门框搬进屋
内,在不能破坏门框,也不能锯断木板的情况下,能通过
框的木板的最大宽度为
A,15m
B
2
m
C2.5m
1.5
D3
m
2某市在拆除违章建筑后出现一块三角形空地(记为
△ABC)已知∠C=90,AC=30米,AB=50米,则这块空
地的面积为
A
A.600平方米
B750平方米
C.1200平方米
D1500平方米
3如图,一轮船以16海里/时的速度从港囗A出发向东北
方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口
A出发向东南方向航行,离开港口2小时后,则两船
相距
A.25海里
B.30海里
C.40海里
D.50海里
北
西
东
A
南
4.如图,一支铅笔斜插在圆柱形的笔筒中,此时露出的
部分恰好达到最短若笔筒内部的底面直径是9cm,
内壁高12cm,则这支铅笔的长度可能是(D
A9
c
B12
cm
C14
cm
Di8
cm
5.(2020·合肥包河区期末)如图,有一棵9米高的大
树,如果大树距离地面4米处折断(未完全折断),
则小孩至少离开大树3米之外才是安全的
6如图,有两棵树,一棵高12米,另一棵高6米,两树
相距8米,一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的
树梢,则小鸟至少飞行10米
7如图,某校科技创新兴趣小组用他们设计的机器
人,在平坦的操场上做行走展示输入指令后,机器
人从出发点A先向东走10米,又向南走40米,再
向西走20米,又向南走40米,再向东走70米到达
向西走20米,又向南走40米,
再向东走70米到达
终止点B求终止点B与
原出发点A的距离AB
出发点
10
A40
20
40
D
B
70终止点
解:如图,过点A作AC⊥BD于点C.出发点
则在Rt△ABC中
A40
AC=40+40=80(米),
BC=70-20+10=60(米),
40
故终止点与原出发点的距离AB=DL
B
C+BC=√807+60=10米)
70终止点
答:终止点B与原出发点A的距离AB为100米
8.如图①,一架云梯斜靠在竖直的墙上,云梯的顶端
距地面15米,梯子的长度比梯子底端离墙的距离
大5米
1)这个云梯的底端离墙多远?(共30张PPT)
第3课时利用勾股定理作图或计算
A分点训练·打好基础
A分点训练打好基础
知识点一勾股定理与数轴、坐标系
如图,已知点A的坐标为(1,2),则线段O的长为
B
B
D,3
2
X
2如图,数轴上的点A所表示的数为x,则x的值为
B
A2
B
C.2
D,-2
2A-10
【变式题】从原点起→不从原点起
(2020·合肥瑶海区期末)如图,在数轴上点A所表
示的数为a,则a的值为
A
B.1-√5
C
5
D,-1+/5
A
101
B
2-10123C4
解:如图,在数轴上找出原点O和表示3的点A,则
OA=3
过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB
1,连接OB
以点O为圆心,OB的长为半径画弧,交数轴正半轴
于点C,则点C即为表示10的点
3如图,在数轴上画出表示√10的点
2-10
2345
过点A作直线l垂直于OA,在l上取点B,使AB
1,连接OB
以点O为圆心,OB的长为半径画弧,交数轴正半轴
于点C,则点C即为表示√10的点
B
2-10123C45
知识点二勾股定理与网格
4如图,网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B
为网格线的交点,则AB的长为
(B)
A.3
B.5
C.7
D,12
B
【变式题】(2020·合肥肥东县期末)如图,在行距、
列距都是1的4×4的方格网中,将任意连接两个
格点的线段称作“格点线”,则“格点线”的长度不可
能等于
C
5如图,在4×4的正方形网格中,每个小正方形的边
长均为1,每个小正方形的顶点叫做格点,△ABC
的顶点均在格点上,则△ABC的三边长a,b,c的
大小关系是
A
b
c
Bc<
b
Ca
b
cas
Aac
Cab
BcD
cC
b
a
A
C
B
知识点三勾股定理与图形的计算
6如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AC上一点,
且DA=DB=5.如果△DAB的面积为10,那么DC
的长是
A)
B,4
C.5
D.6
A
B
7如图,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,
∠A=30°,CD=23cm,则AB的长为
A
4
cm
B6
cm
c8
cm
D10
cm
B
A
8如图,在Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将
△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为
MN,求线段BN的长
解:设BN=x,由折叠的性质可得
DNEANEAB-BN=9-x
D
D是BC的中点,
BD
BC=3.
N
B(共16张PPT)
第2课时勾股定理的逆定理的应用
A分点训练·打好基础
B综合运用提升能力
A分点训练打好基础
知识点一勾股定理逆定理的应用
木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具,
那么下列哪一组数据符合他要选择的三根木条的
长度
a.8.17
cm
B7cm.
12
cm.15
cm
C.cm.8
cm
10
cm
D.12
cm.
15
cm
9
cm
2.有五根小木棒,其长度(单位:cm)分别为7,15,20,
24,25,现将它们摆成两个直角三角形,如图,其中
正确的是
C
2425
20
24
24
20
20
20
715
25
A
B
C
3.一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O
出发,如图轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行
30海里到达点M处,同一时刻渔船已航行到与港
口O相距40海里的点N处.若M,N两点相距50
海里,则∠NOF的度数为
(C
东
4如图,学校B前面有一条笔直的公路,学生放学后
走BA,BC两条路可到达公路,经测量BC=60m,
BA=80m,AC=100m现需修建一条新路从学校
B到公路,则此路最短为48m
7<毋
知识点二勾股定理与其逆定理的综合应用
5如图,正方形网格中每个小方格边长都为1,△ABC
的三个顶点都在格点上,则△ABC的形状为(A
A.直角三角形
B锐角三角形
C.钝角三角形
D以上答案都不对
A.直角三角形
B锐角三角形
C.钝角三角形
D以上答案都不对
A
B
C
6如图,在△ABC中,D为BC上一点,且BD=3,
DC=AB=5,AD=4,则AC
√41
B
D
B综合运用提升能力
C
Q
A
P
B
7如图,在△ABC中,AB:BC:CA=3:4:5,且周
长为36cm,点P从点A开始沿AB边向点B以
Icm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点
C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点同时出发,则
第3s时,△BPQ的面积为18cm2
C以2cm/s的速度移动若
若P,Q两点同时出发,则
第3s时,△BPQ的面积为18cm
8如图是由16个边长为1的正方形拼成的图案,连
接这些小格点中的三个顶点可得到一些三角形,
与点A、B构成直角三角形ABC的顶点C的位置
的个数是5
A
B
9台风是一种自然灾害,它以台风中心为圆心在周围
上千米的范围内形成极端气候,有极强的破坏力.
如图,有一台风中心沿东西方向由点A向点B移
动,已知点C为一海港,且点C与A,B两点的距离
分别为300km和400km,且AB=500km,以台风
中心为圆心周围250km以内为受影响区域(共15张PPT)
解题技巧专题
利用勾股定理解决
最短路径问题
基本模型:立体图形的展开
圆柱
B
C
B
展开
图①
长方体
F
F
E
F
D
E
F
A
B
A
B
C
B
A
D
E
图(1
图③3
阶梯
A
B
如图,一只蚂蚁沿棱长为1m的正方体表面从顶点
A爬到顶点B,则它走过的最短路程为
B.(1+3)
C3
m
D5
m
B
A
2如图,长、宽、高分别为3,2,1的长方体木块上有
只小虫从顶点A出发沿着长方体的外表面爬到点
B,则它爬行的最短路程是
C
A,26
B,2√5
C3√2
D.5
B
D
E
A
3.(教材P39T12变式)如图,一个圆桶的底面直径为
16cm,高为18cm.若一只小虫沿圆桶侧面从下底
面点A处爬到上底面点B处,则小虫所爬的最短
路程是(π取3
A.
50
cm
B
40
cm
c
30
cm
D20
cm
B
1
8
cm
16c
C
30
cm
D20
cm
A.
50
cm
B
40
cm
4.如图,四边形ABCD是长方形地面,长AB=10m,
宽AD=5m,中间竖有一堵砖墙高MN=1m.一只
蚂蚱从点A爬到点C,它必须翻过中间那堵墙,则
它至少要爬行13m
D
C
M
B
5.如图,教室的墙面
ADEF与地面ABCD
垂直,点P在墙面上
若PA=AB=5,点P
到AD的距离是3,有
只蚂蚁要从点P爬到点B,它爬行的最短行程
是45
6如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别
等于55cm、10cm、6cm,A和B是这段台阶的两个
相对的端点,则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到
点B的最短路线有多长?
解:设C是台阶底端左侧的端点
如图,
展开后由题意得∠C=90°,AC
3×10+3×6=48(cm),BC
B
55cm,
B
解:设C是台阶底端左侧的端点,
如图,
展开后由题意得∠C=90°,AC
3×10+3×6=48(cm),BC=
55cm,
C
B
由勾股定理得AB
ACz+BC
482+552
73(cm)
答:一只蚂蚁从点A出发经过
台阶爬到点B的最短路线长为C
B
73
cm
7.如图,A,B两个村庄在河CD的同侧,且AB
3km,A,B两村到河的距离分别为AC=1km
BD=3km现要在河边CD上建一水厂分别向A,B
两村输送自来水,铺设水管的工程费为每千米3000
元请你在河岸CD上选择水厂O的位置,使铺设
水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用W(元)