北师大版九年级数学下册 第3章 《圆》压轴题型提升训练（二）（Word版 含解析）

九年级数学下册
第3章
《圆》
压轴题型提升训练（二）
1．如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，CD⊥AB于D，E是BA延长线上一点，连接CE，∠ACE＝∠ACD，K是线段AO上一点，连接CK并延长交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若AD＝DK，求证：AK?AO＝KB?AE；
（3）如图2，若AE＝AK，＝，点G是BC的中点，AG与CF交于点P，连接BP．请猜想PA，PB，PF的数量关系，并证明．
2．在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB为半径的?P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P（0，4），Q（a，0）．
（1）如图1，a＝4，在点A（1，0）、B（2，2）、C（，）、D（5，5）中，△POQ关于边PQ的“Math点”为　
　．
（2）如图2，，
①已知D（0，8），点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；
②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．
3．已知矩形ABCD中，点E是AD中点，连接CE，经过点A，B，E三点作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于H．
（1）求证：直线FH是⊙O的切线；
（2）若AD＝4，且点H恰好为CE中点时，判断此时CE与⊙O的位置关系？说明理由，并求出弧EF，线段EH，FH围成的图形的面积？
4．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠ABC的平分线交⊙O于D，连结AD，CD．过B作⊙O的切线交AC的延长线于E．
（1）求证：AD＝CD．
（2）若AC＝8，EC＝2，求BE的长．
（3）若AB，BC（AB＞BC）的长是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两根，若∠ADC＝90°，直接写出AC及BD的长．
5．如图，△EBF中，∠B＝90°，O是BE上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与OF交于点C，与EB交于点A，与EF交于点D，连接AD、DC，四边形AOCD为平行四边形．
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）已知⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
6．如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，OD交⊙O于点D，点E在⊙O上，若∠AOD＝50°．
（1）求∠DEB的度数；
（2）若OC＝3，OA＝5，
①求弦AB的长；
②求劣弧AB的长．
7．我们知道：有一内角为直角的三角形叫做直角三角形．类似地，我们定义：有一内角为45°的三角形叫做半直角三角形．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，A（4，0），B（﹣4，0），D是y轴上的一个动点，∠ADC＝90°（A、D、C按顺时针方向排列），BC与经过A、B、D三点的⊙M交于点E，DE平分∠ADC，连结AE，BD．显然△DCE、△DEF、△DAE是半直角三角形．
（1）求证：△ABC是半直角三角形；
（2）求证：∠DEC＝∠DEA；
（3）若点D的坐标为（0，8），求AE的长．
8．如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，OD⊥AC于点D，延长DO交⊙O于点E，连接EC、EB、BC，若AC＝6，OD＝．
（1）求⊙O的直径；
（2）求△BEC的面积．
9．如图，⊙O中的弦AB⊥CD于H，BE⊥AC于E，交CD于F．
（1）求证：HD＝HF．
（2）若∠ABC＝60°，求证：BD等于⊙O的半径．
10．已知：如图，AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝45°．
（1）求∠EBC的大小；
（2）若⊙O的半径为2．求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．解：（1）证明：连接OC，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠ACO，
又∵∠ACE＝∠ACD，
∴∠ACE+∠ACO＝90°，即∠ECO＝90°，
∴CE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAD+∠B＝90°，
又∵∠CAD+∠ACD＝90°，∠ACD＝∠B，
∴∠ACE＝∠B，
∵AD＝DK，CD⊥AB，
∴CA＝CK，∠CAD＝∠CKD，
∴∠CAE＝∠BKC，
∴△CAE∽△BKC，
∴＝，
∴AC?KC＝AE?KB，
又∵∠CAD＝∠CKD，∠CAD＝∠OCA，
∴△OCA∽△CAK，
∴＝，
∴AC?KC＝AK?AO，
∴AK?AO＝KB?AE；
（3）PA2+PF2＝PB2．理由如下：
如图，连接AF、BF，
∵＝，
∴∠ACF＝∠BCF＝∠ACB＝45°，AF＝BF，
∴∠ECK＝∠ACK+∠ACE＝45°+∠ACE，∠EKC＝∠BCK+∠KBC＝45°+∠ABC，
∴∠ECK＝∠EKC，
∴EC＝EK＝AE+EK＝2AE，
∵∠ACE＝∠CBE，∠E＝∠E，
∴△EAC∽△ECB，
∴＝＝，
∴BC＝2AC，
∵点G是BC的中点，
∴BC＝2CG＝2GB，
∴AC＝CG，∠ACF＝∠BCF，
∴CP⊥AG，AP＝PG，
设AC＝CG＝GB＝x，
则AG＝＝x，
∴＝＝，
又∠PGB＝∠BGA，
∴△PGB∽△BGA，
∴∠GBP＝∠GAB，
∴∠GBP+∠BCF＝∠GAB+∠GAC，
即∠BPF＝∠BAC＝∠BFP，
∴BP＝BF＝AF，
∵在Rt△APF中，PA2+PF2＝AF2，
∴PA2+PF2＝PB2．
2．解：（1）根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．
故答案为：B，C．
（2）如图2中，∵P（0，4），Q（4，0），
∴OP＝4，OQ＝4，
∴tan∠PQO＝，
∴∠PQO＝30°，
①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E（2，2），
∵D（0，8），
∴DE＝＝4，
当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′（4，8），
∴DE′＝4，
观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，
∵E′Q⊥OQ，
∴∠E′QO＝90°，
∴∠E′QK＝60°，
∴∠E′KQ＝90°，
∴∠EE′Q＝30°，
∵DE′∥OQ，
∴∠DE′K＝60°，
∵DE′＝DK，
∴△DE′K是等边三角形，
∵点D到E′K的距离的最小值为4?sin60°＝6，
∴．
②如图3中，分别以O为圆心，2和4为半径画圆，
当线段MN与图中圆环有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，
当直线MN与小圆相切时，b＝±4，
当直线MN与大圆相切时，b＝±8，
观察图象可知，满足条件的b的值为：或．
3．解：（1）连接BE，OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，AB＝CD，
∵∠A＝90°，
∴BE是⊙O的直径，
∵点E是AD的中点，
∴EA＝ED，
∴△EAB≌△EDC
（SAS），
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵OB＝OF，
∴∠EBC＝∠OFB，
∴∠ECB＝∠OFB，
∴OF∥EC，
∴∠OFH＝∠FHC，
∵FH⊥CE，
∴∠FHC＝∠OFH＝90°，
又∵OF是⊙O的半径，
∴直线FH是⊙O的切线；
（2）EC与⊙O相切，
理由：连接EF，
由（1）得，BE是⊙O的直径，
∴∠EFB＝EFC＝90°，
∵点H是EC的中点，
∴FH＝EH＝HC，
∵FH⊥CE，
∴∠FHC＝90°，
∴∠ECF＝∠HFC＝45°，
∵EB＝EC，
∴∠EBF＝∠ECF＝45°，
∴∠BEC＝90°，
又∵OE是⊙O的半径，
∴直线EC是⊙O的切线；
由上述可知，四边形ABFE和四边形OFHE都是正方形，
∴AE＝AB＝AD＝×4＝2，
∴BE＝＝4，
∴OE＝OF＝2，
∴S＝S正方形OFHE﹣S扇形OEF＝22﹣＝4﹣π．
4．解：（1）∵BD为∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴AD＝CD；
（2）连接BO并延长交⊙O于点F，连接CF，则BF为直径，即∠BCF＝90°，
又∵BE为⊙O切线，
∴OB⊥BE，即∠OBE＝90°＝∠BCF，
∴∠EBC+∠FBC＝∠FBC+∠F，
∴∠EBC＝∠F，
又∵∠F＝∠BAC，
∴∠EBC＝∠BAC，
又∵CE＝CE，
∴△EBC∽△EAB，
∴，
∴BE2＝AE?EC＝（EC+AC）?EC，
即BE2＝10×2，
∴（负值已舍去），
（3）∵x2﹣14x+48＝0，（x﹣8）（x﹣6）＝0，
∴x1＝8，x2＝6，
又∵AB＞BC，
∴AB＝8，BC＝6，
又∵∠ABC＝180°﹣∠ADC＝90°，
∴由勾股定理：，
过A作AH⊥BD交BD于H，
∵∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴，
∴，
又∵∠ABD＝∠ACD＝45°，
∴，
在Rt△AHD中，
由勾股定理：，
∴．
5．（1）证明：连接OD，如图所示：
∵四边形AOCD为平行四边形，
∴OA＝DC，OC＝AD，
∵OA＝OC＝OD，
∴OA＝OD＝AD，DC＝OC＝OD，
∴△OAD、△OCD都是等边三角形，
∴∠AOD＝∠COD＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOD﹣∠COD＝60°，
在△OBF和△ODF中，
，
∴△OBF≌△ODF（SAS），
∴∠OBF＝∠ODF，
∵∠OBF＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴EF⊥OD
∵点D在⊙O上，
∴EF为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ODE中，∵∠AOD＝60°，
∴∠FEB＝30°，
∵OD＝1，
∴OE＝2，DE＝OD＝，
∴S△EOD＝OD×DE＝×1×＝，S扇形AOD＝＝π，
∴图中阴影部分的面积＝S△EOD﹣S扇形AOD＝﹣π．
6．解：（1）∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠DEB＝∠AOD＝×50°＝25°．
（2）①∵OC＝3，OA＝5，
∴AC＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝＝，
∴AC＝BC＝AB＝4，
∴AB＝8；
②∵∠AOD＝50°，＝，
∴∠AOB＝100°，
∵OA＝5，
∴的长＝＝＝．
7．（1）证明：∵∠ADC＝90°，DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝45°，
∵∠ABE＝∠ADE＝45°，
∴△ABC是半直角三角形；
（2）证明：∵OM⊥AB，OA＝OB，
∴AD＝BD，
∴∠DAB＝∠DBA，
∵∠DEB＝∠DAB，
∴∠DBA＝∠DEB，
∵D、B、A、E四点共圆，
∴∠DBA+∠DEA＝180°，
∵∠DEB+∠DEC＝180°，
∴∠DEA＝∠DEC；
（3）解：如图1，连接AM，ME，设⊙M的半径为r，
∵点D的坐标为（0，8），
∴OM＝8﹣r，
由OM2+OA2＝MA2得：（8﹣r）2+42＝r2，
解得r＝5，
∴⊙M
的半径为5，
∵∠ABE＝45°，
∴∠EMA＝2∠ABE＝90°，
∴EA2＝MA2+ME2＝52+52＝50，
∴AE＝5．
8．解：（1）∵OD⊥AC，AC＝6，
∴AD＝3，
∵OD＝，
∴OA＝4，
∴⊙O的直径＝8；
（2）过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝∠CDE＝∠CFE＝90°，
∴四边形CDEF为矩形，
∴EF＝CD＝AC＝3，BC＝＝＝2，
∴S△BEC＝×BC×EF＝×3＝3．
9．证明：（1）∵CH⊥AB，
∴∠BFH+∠FBH＝90°，
∵BE⊥AC，
∴∠A+∠ABE＝90°，
∴∠BFH＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠BFH＝∠D，
∴BF＝BD，
∵BH⊥FD，
∴HD＝HF；
（2）连接OD、OB，如图，
∵∠BCD+∠CBH＝90°，
∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝60°，
∵OB＝OD，
∴△OBD为等边三角形，
∴BD＝OB，
∴BD等于⊙O的半径．
10．解；（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
又∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝67.5°．
∴∠EBC＝22.5°；
（2）连接OE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
又∵∠BAC＝45°，
∴∠ABE＝45°．
∴AE＝BE，
∵OA＝OB，
∴OE⊥AB，
∵OA＝OB＝OE＝2，
∴S阴影＝S扇形OBE﹣S△OBE＝﹣＝﹣＝π﹣2．