北师大版九年级数学下册 第3章 《圆》压轴题型提升训练（四）（Word版 含解析）

九年级数学下册
第3章
《圆》
压轴题型提升训练（四）
1．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：
【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD．
小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程．
【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长．
【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明．
2．如图，AB是⊙O的直径，PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C．连接PO交⊙O于点D，交BC于点E，连接AC．
（1）求证：OE＝AC；
（2）若点E是OD的中点，⊙O的半径为6，求PB的长．
3．（1）如图①，AB是⊙O的直径，C、D在⊙O上，且BC＝BD，AD＝CD．求证：∠ADC＝2∠BDC．
（2）如图②，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上．若平面内的点D满足AD＝CD，且∠ADC＝2∠BDC．
①利用直尺和圆规在图②中作出所有满足条件的点D（保留作图痕迹，不写作法）；
②若AB＝4，BC长度为m（0＜m＜4），则平面内满足条件的点D的个数随着m的值变化而变化．请直接写出满足条件点D的个数及对应m的取值范围．
4．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以原点O为圆心，半径为3的⊙O上，连接OC，过点O作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C，O，D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为　
　；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD，点C位于第二象限时，
①求出点C的坐标；
②直线BC是否为⊙O的切线？并说明理由．
5．如图，AB是以O为圆心的半圆的直径，半径CO⊥AO，点M是上的动点，且不与点A、C、B重合，直线AM交直线OC于点D，连接OM、CM．
（1）如图①，若半圆的半径为6，的长为2π时，求DM的长；
（2）如图②，点N是AD的中点，AO＝5，当点C为OD中点时，求AM的长；
（3）在点M的运动过程中，∠DMC的大小是否为定值？若是，直接写出∠DMC的值，若不是，说明理由．
6．如图①，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是BC边上一动点，连接AE、DE，作△ABE的外接⊙O，交AD于点F，交DE于点G，连接FG．
（1）若∠DFG＝60°，则∠AED＝　
　°；
（2）当CE的长为　
　时，△DFG为等腰三角形；
（3）如图②，当⊙O与CD相切时，求CE的长．
7．AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，F为弧BC上一点，且∠FBC＝∠ABC，连接DF，分别交BC、AB于E、G．
（1）如图1，求证：DF⊥BC；
（2）如图2，连接EH，过点E作EM⊥EH，EM交⊙O于点M，交AB于点N．
①求证：NH＝AB；
②若DG＝6，ON＝6，则MN的长为　
　．
8．如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．
（1）如图2，在⊙O上取一点C（不与点A、B重合），连PC、OC．求证：PA＜PC．
（2）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC为直径的半圆交AB于D，P是上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是　
　．
（3）如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，请求出A′B长度的最小值．
（4）①如图5，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是　
　．
②如图6，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、2为半径作⊙A、⊙B，M、N分别是⊙A、⊙B上的动点，P为x轴上的动点，则PM+PN的最小值等于　
　．
9．如图1，BC是⊙O的直径，点A是⊙O上的动点，AD⊥BC，垂足为D，弧AB＝弧AE，射线BE分别交射线AD、AC于点F、G．
（1）当点A、E在直径BC两侧时，
①判断△AFG的形状，并说明理由；
②连接CE，求证：BD＝CD+CE；
（2）若⊙O的直径BC＝5，CE＝，求CD的长．
10．【问题情境】如图1，C，D是∠AOB的边OA上两点，在边OB上找一点P，使得∠CPD最大．
【问题解决】小明在解决这个问题时认为：如图2，同时过C、D两点的圆与OB边相切于点P，当且仅当取此切点时，∠CPD才最大．
（1）小明证明自己结论的思路是：在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），证明∠CDD＞∠CP1D即可请完成小明的证明；
【结论应用】请和小明一起，利用“问题情境”的结论解决下列问题：
（2）如图3，一幢楼BC上有一高为2m的信号塔AB，当观测点E在水平地面CD上，且满足CE＝6时，看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，求楼高BC；
（3）如图4，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD．点E是BC上一点，请问当BE的长满足什么条件时，在线段AD上恰好只存在一点P，使得∠BPE＝60°？（直接写出结果，不必写出解答过程）
参考答案
1．解：【问题探究】如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF，
∵点C为的中点，
∴＝，
∴AC＝BC，
由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC，
在△DAC和△FBC中，
，
∴△DAC≌△FBC（SAS）
∴CD＝CF，又CE⊥BD，
∴DE＝EF，
∴BE＝EF+BF＝DE+AD；
【结论运用】连接AD，在CE上截取CF＝AD，连接AF，
由【问题探究】可知，△DAB≌△FAC，
∴BD＝CF，AD＝AF，
∵AE⊥CD，
∴DE＝EF，
∴EC＝EF+CF＝DE+BD，
∴DB+DC＝2EC，
在Rt△AEC中，∠ACE＝45°，
∴EC＝AC＝6，
∴△BCD的周长＝DB+DC+BC＝12+6；
【变式探究】BE+AD＝DE，
理由如下：在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA，
∵点C为优弧ACB的中点，
∴＝，
∴AC＝CB，∠ADC＝∠BDC，
在△ADC和△FDC中，
，
∴△ADC≌△FDC（SAS），
∴CA＝CF，
∵CA＝CB，
∴CF＝CB，又CE⊥BD，
∴BE＝EF，
∴DE＝DF+EF＝BE+AD．
2．证明：（1）∵PB，PC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，
∴PB＝PC，∠BPO＝∠CPO．
∴PO⊥BC，BE＝CE．
∵OB＝OA，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝AC；
（2）∵PB是⊙O的切线，
∴∠OBP＝90°．
由（1）可得∠BEO＝90°，
∵点E是OD的中点，⊙O的半径为6，
∴OE＝OD＝3，
∵∠OBP＝∠BEO＝90°．
∴tan∠BOE＝＝，
在Rt△BEO中，OE＝3，OB＝6，
∴BE＝3．
∴PB＝6．
3．解：（1）连接AC，
∵BD＝BC，
∴，
又∵AB是直径，
∴AB垂直平分CD，
∴AC＝AD，
∵CD＝AD，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ADC＝60°＝∠DAC，
∵AB垂直平分CD，
∴∠BAC＝∠BAD＝30°＝∠BDC，
∴∠ADC＝2∠BDC；
（2）①如图②，以B为圆心，BC长为半径作⊙B，⊙B与AC的垂直平分线的交点为D，D'；
②当⊙B与AC的垂直平分线只有一个交点时，即点D的个数为1，
∴AC＝2BC，
∵AB2＝AC2+BC2，
∴16＝5m2，
∴m＝，
∵0＜m＜4，
∴当0＜m＜时，点D的个数为0；
当m＝时，点D的个数为1；
当＜m＜4时，点D的个数为2．
4．解：（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA＝45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC＝∠OBA＝45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC＝90°+∠OBA＝135°；
综上所述，∠BOC的度数为45°或135°，
故答案为：45°或135°；
（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB＝OA＝6，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图：
此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∴OE＝AB＝3，
∴CE＝OC+OE＝3+3，
∴△ABC的面积＝CE?AB＝×（3+3）×6＝9+18；
即当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，△ABC的面积最大，最大值为9+18；
（3）①过C点作CF⊥x轴于F，如图：
∵OC∥AD，
∴∠COF＝∠DAO，
又∵∠ADO＝∠CFO＝90°，
∴△OCF∽Rt△AOD，
∴＝，即＝，
解得：CF＝，
在Rt△OCF中，OF＝＝＝，
∴C点坐标为（﹣，）；
②直线BC是⊙O的切线．理由如下：
由①得：（﹣，），
在Rt△OCF中，OC＝3，CF＝，
∴CF＝OC，
∴∠COF＝30°，
∴∠OAD＝30°，
∴∠BOC＝60°，∠AOD＝60°，
∵在△BOC和△AOD中，
，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线．
5．解：（1）设∠AOM＝n°，
∵的长为2π，AO＝6，
∴＝2π，
解得：n＝60，
∵OM＝OA，
∴△AOM是等边三角形，
∴∠OAM＝60°，AM＝AO＝6，
∵DO⊥AO，
∴∠D＝30°，
∴AD＝2AO＝12，
∴DM＝AD﹣AM＝6；
（2）如图②，过点O作OP⊥AM于P，则AP＝PM，
∵点C为OD中点，
∴CD＝CO＝AO＝5，
∴OD＝10，
∵CO⊥AO，
∴∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，AD＝＝＝5，
∵∠PAO＝∠OAD，∠APO＝∠AOD＝90°，
∴△APO∽△AOD，
∴＝，
即＝，
解得：AP＝，
∴AM＝2；
（3）∠DMC是定值，为45°，理由如下：
∵CO⊥OB，OC＝OB，
∴∠ABC＝45°，
当点M在上时，如图①，连接BC，
∵四边形ABCM为圆内接四边形，
∴∠DMC＝∠ABC＝45°，
当点M在上时，如图③，连接BC，
由圆周角定理得，∠DMC＝∠ABC＝45°，
综上所述，∠DMC是定值，为45°．
6．解：（1）∵四边形AEGF是⊙O的内接四边形，
∴∠AED＝∠DFG＝60°，
故答案为：60；
（2）连接EF，如图①所示：
∵四边形FGEA是⊙O的内接四边形，
∴∠DGF＝∠DAE，
又∠GDF＝∠ADE，
∴△DFG∽△DEA，
∴当△DEA为等腰三角形时，△DFG为等腰三角形，
∵四边形ABCD是矩形，AB＝4，BC＝6，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝6，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵⊙O是△ABE的外接圆，∠ABE＝90°，
∴AE是⊙O的直径，
∴∠AFE＝90°，
∴∠DFE＝180°﹣∠AFE＝180°﹣90°＝90°，
∴∠CDF＝∠DCE＝∠DFE＝90°，
∴四边形DCEF是矩形，
∴DF＝CE，EF＝CD＝4，
若△AED为等腰三角形，分三种情况：
①当AE＝DE时，
∵∠AFE＝90°，
∴EF⊥AD，
∴AF＝DF＝AD＝3，
∴CE＝DF＝3；
②当AE＝AD＝6时，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE＝＝＝2，
∴CE＝BC﹣CE＝6﹣2；
③当DE＝DA＝6时，
在Rt△DCE中，由勾股定理得：CE＝＝＝2；
综上所述，当BE的长为3或6﹣2或2时，△DFG为等腰三角形，
故答案为：3或6﹣2或2；
（3）过O作OH⊥AB于点H，如图②所示：
则OH∥AD∥CE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AE为⊙O的直径，
∴OA＝OE，
∴OH是梯形ADCE的中位线，
∴OH＝（AD+CE），
∴2OH＝AD+CE，
∵⊙O与CD相切，
∴H为切点，
∴OH＝OA，
∴AE＝2OH＝AD+CE＝6+CE，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2，
即42+（6﹣CE）2＝（6+CE）2，
解得：CE＝．
7．（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠BHC＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∵∠FBC＝∠ABC，∠F＝∠C，
∴∠F+∠FBC＝90°，
∴∠BEF＝90°，
∴DF⊥BC．
（2）①证明：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠D，
∵CD⊥AB，
∴∠CHO＝90°，CH＝DH，
∵∠CED＝∠BEF＝90°，
∴HE＝CD＝CH＝DH，
∴∠D＝∠HED，
∴∠OCB＝∠HED，
∵EM⊥EH，
∴∠HEN＝∠HED+∠DEN＝90°，
∵∠DEN+∠BEN＝∠BED＝90°，
∴∠HED＝∠BEN，
∴∠OCB＝∠BEN，
∴OC∥EM，
∴∠COH＝∠HNE，
在△COH与△HNE中，
，
∴△COH≌△HNE（AAS），
∴CO＝NH，
∴NH＝AB．
（3）解：连接OM，过点M作MP⊥AB于点P．
∵∠HEN＝∠HEG+∠GEN＝90°，
∠D+∠DGH＝90°，
∠D＝∠HEG，
∴∠GEN＝∠DGH，
∵∠DGH＝∠EGN，
∴∠GEN＝∠EGN，
∴EN＝GN，
∵△COH≌△HNE，
∴OH＝NE＝GN，
∴HG＝OH+OG＝GN+OG＝ON＝6，
∵DG＝6，∠DHG＝90°，
∴HE＝CH＝DH＝＝＝6，
∵△DHG∽△BHC，
∴＝，
∴BH＝＝＝12，
设OB＝OC＝r，则OH＝BH﹣OB＝12﹣r，
∵OH2+CH2＝OC2，
∴（12﹣r）2+（6）2＝r2，
解得：r＝9，
∴OM＝9，NH＝AB＝9，NG＝EN＝BN＝3，
∵∠MNP＝∠HNE，∠MPN＝∠HEP＝90°，
∴△MNP∽△HNE，
∴＝＝，
设MN＝a，则NP＝＝，MP＝＝a，
∴OP＝ON+NP＝6+，
∵OP2+MP2＝OM2，
∴（6+）2+（a）2＝92，
解得：a1＝﹣9（舍去），a2＝5，
∴MN＝5．
故答案为5．
8．（1）证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不为点A、B），连接PC、OC．
∵PO＜PC+OC，PO＝PA+OA，OA＝OC，
∴PA＜PC，
∴PA是点P到⊙O上的点的最短距离；
（2）解：连接AO与⊙O相交于点P，如图3，由已知定理可知，此时AP最短，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，BC为直径，
∴PO＝CO＝1，
∴AO＝＝，
∴AP＝﹣1，
故答案为：﹣1；
（3）解：如图4，由折叠知A′M＝AM，又M是AD的中点，可得MA＝MA′＝MD，
故点A′在以AD为直径的圆上，
由模型可知，当点A′在BM上时，A′B长度取得最小值，
∵边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，
∴BM＝＝，
故A′B的最小值为：﹣1；
（4）①解：在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1+∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝＝，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
DH最小值＝OD﹣OH＝﹣1．
故答案为：﹣1；
②解：作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B于M、N，交x轴于P，如图6，
则此时PM+PN最小，
∵点A坐标（﹣2，3），
∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A′B＝＝，
∴MN＝A′B﹣BN﹣A′M＝﹣2﹣1＝﹣3，
∴PM+PN的最小值为﹣3．
故答案为：﹣3．
9．（1）①解：等腰三角形，理由如下；
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠ABE+∠AGB＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠DAC＝90°，
∵弧AE＝弧AB，
∴∠ABE＝∠ACD，
∴∠DAC＝∠AGB，
∴FA＝FG，
∴△FAG是等腰三角形；
②证明：在CB上截取DH＝CD，连接AH、AE，如图1所示：
∵AD⊥BC，
∴AH＝AC，
∴∠AHC＝∠ACH，
∵弧AB＝弧AE，
∴∠AEB＝∠ABE，AE＝AB，
∵∠AHC+∠ACH+∠HAC＝180°，∠ABE+∠AEB+∠BAE＝180°，∠ACB＝∠AEB，
∴∠HAC＝∠BAE，
∴∠CAE＝∠HAB，
∴△ACE≌△AHB（SAS），
∴CE＝HB，
∵BD＝DH+HB，
∴BD＝CD+CE；
（2）解：分两种情况：
①当点A、E在直径BC两侧时，如图1所示：
由（1）得：BD＝CD+CE＝CD+，
∵BD+CD＝BC＝5，
∴CD++CD＝5，
解得：CD＝；
②当点A、E在直径BC同侧时，
在CB上截取DH＝BD，连接AH、AE，如图2所示：
∵弧AB＝弧AE，
∴∠ACE＝∠ACH＝∠AEB，AB＝AE，
∵AD⊥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠BAD＝∠HAD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BEC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，
∴∠BAD＝∠ACB，
∵∠AHC＝∠ADH+∠HAD＝90°+∠HAD，∠AEC＝∠BEC+∠AEB，
∴∠AHC＝∠AEC，
在△AHC和△AEC中，
，
∴△AHC≌△AEC（AAS），
∴CH＝CE＝，
∴DH＝BD＝（BC﹣CH）＝（5﹣）＝，
∴CD＝CH+DH＝；
综上所述，CD的长为或．
10．解：（1）在射线OB上任取另一点P1（不同于切点P），连接P1D，交圆于点E，连接P1C，CD．
∵∠CPD＝∠CED，∠CED＞∠CP1D，
∴∠CPD＞∠CP1D；
（2）作AB垂直平分线OF，过点E作OE⊥CD，连接OB．
则有∠CFO＝∠CEO＝∠C＝90°，
∴四边形OECF为矩形．
∴OF＝CE＝6，
∵看信号塔AB的视角（即∠AEB）最大，
∴以O为圆心OB为半径的圆O，必与CD切于点E，
即OB＝OE．
∵AB＝2，
∴BF＝1．
设BC＝x米，则OB＝OE＝CF＝（1+x）米．
在直角三角形OBF中，有OB2＝BF2+OF2，即（1+x）2＝（6）2+1，
解得x＝18或﹣20（舍去），
所以楼高BC为18米；
（3）如图3，∵∠BCD＝60°，BC＝9，对角线AC平分∠BCD，
则∠ACB＝30°，则AB＝BCtan30°＝9?＝3，则AC＝2AB＝6，
∵AD∥BC，则∠ACB＝∠DAC＝∠ACD＝30°，
故△ADC为底角为30°、底边为6的等腰三角形，
则AD＝CD＝AC÷cos30°＝×6÷＝6；
①当以BE为弦的圆与AD相切时，符合题设要求，
则点P在AD上，∠BPE＝60°，连接OP并延长PO交BC于点F，则PF⊥BC，连接OB、OE，
则∠BOF＝2∠BPO＝60°，
则Rt△BOF中，∠OBF＝30°，设圆的半径为r（以下圆的半径均用r表示），则OF＝r，
则AB＝PF＝r+r＝3，解得r＝2，
在Rt△BOF中，BF＝BO?cos30°＝2?＝3＝BE，
故BE＝6；
②如图4，当以BE为弦的圆过点D时，符合题设要求，即点P、D重合，
连接BO并延长交CD于点G，
同理可得△BOE为底角为30°的等腰三角形，
则∠GBC＝30°，
而∠DCB＝60°，故∠BGC＝90°，即BG⊥CD，
在Rt△BCG中，CG＝BC＝，BG＝BCcos30°＝，
则GD＝CD﹣CG＝6﹣＝，OG＝BG﹣r＝﹣r，
连接OD、OE，
在Rt△ODG中，OD2＝DG2+OG2，即r2＝（﹣r）2+（）2，
解得r＝，
由①知，BE＝2rcos30°＝2××＝7；
③当以BE为弦的圆过点A时，此时点A为临界点，
连接AE，
∴∠ABC＝90°，
故AE过点O，
同理可得：∠AEB＝30°，
则AE＝2AB＝6＝2r，
则BE＝2rcos30°＝6?＝9．
综上，BE＝6或7＜BE≤9时，符合要求．