人教版七年级数学下册导学案：4.2 第2课时 线段长短的比较与运算

4.2
直线、射线、线段
第2课时
线段的长短比较与运算
学习目标：1.
会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短.
2.
理解线段等分点的意义.
3.
能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度.
4.
体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化.
5.
了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学
会运用.
重点：作一条线段等于已知线段，理解线段的和、差，掌握线段中点的概念，理解“两
点之间，线段最短”的线段性质.
难点：利用尺规作图作一条线段等于两条线段的和、差，利用线段的和、差、倍、分求
线段的长度，“两点之间，线段最短”的实际运用.
要点探究
探究点1：线段长短的比较
合作探究：
问题1
做手工时，在没有刻度尺的条件下，如何从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长？
问题2
画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，如何再画一条与它相等的线段？
要点归纳：
尺规作图：作一条线段（AB）等于已知线段（a）的作法：
画射线AC；2.在射线AC上截取AB=a.
问题3
若要比较两个同学的身高，有哪些办法？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
试一试：比较线段AB，CD的长短.
度量法：分别测量线段AB、CD的长度，再进行比较：
AB=_________;CD=_______,________>_______,所以_______>_______;
叠合法：将点A与点C重合，再进行比较：
若点
A
与点
C
重合，点
B
落在C，D之间，那么
AB_____CD.
若点
A
与点
C
重合，点
B
与点
D________，那么
AB
=
CD.
若点
A
与点
C
重合，点
B
落在
CD
的延长线上，那么
AB_________CD.
探究点2：线段的和、差、倍、分
画一画：在直线上画出线段AB=a，再在AB的延长线上画线段BC=b，线段AC就是
与
_________的和，记作AC=
.
如果在AB上画线段BD=b，那么线段AD就是
与
的差，记作AD=
.
观察与思考：
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
要点归纳：
如图，点
M
把线段
AB
分成相等的两条线段AM
与
BM，点
M
叫做线段
AB
的中点.
几何语言：∵
M
是线段
AB
的中点，
∴
AM
=
MB
=
AB，
　或
AB
=
AM
=
MB.
例1
若AB
=
12cm，点C是线段AB的中点，点D是线段CB的中点，求：线段AD的长是多少?
例2　如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．
变式训练
如图，已知线段AB和CD的公共部分BD=AB=
CD，线段AB、CD的中点E、F之间的距离是10cm，求AB，CD的长.
方法总结：求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
例3　A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）
A．1cm
B．9cm　　　　　C．1cm或9cm
D．以上答案都不对
变式训练
已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）
A．21cm或4cm
B．20.5cm　　　　C．4.5cm
　D．20.5cm或4.5cm
方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线上.
针对训练
1.如图，点B，C在线段AD上则AB+BC=____；AD－CD=___；BC＝
___
－___=
___
－
___.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　第1题图　　　　　　　　　　　第2题图　　　　　　　　第3题图
2.如图，点C是线段AB的中点，若AB=8cm，则AC
=
cm.
3.如图，下列说法，不能判断点C是线段AB的中点的是
(
)
A.
AC=CB
B.
AB=2AC　　　C.
AC+CB=AB
D.
CB
=AB
4.
如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使AB=2a+b.
5.如图，线段AB=4cm，BC=6cm，若点D为线段AB的中点，点E为线段BC的中点，
求线段DE的长.
探究点3：有关线段的基本事实
议一议：
如图，从A地到B地有四条道路，除它们外能否再修一条从A地到B地的最短路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.
想一想：
如图，这是A，B两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使A，B两地行程最
短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.
2.
把原来弯曲的河道改直，A，B两地间的河道长度有什么变化？
　　　　　
　　　第1题图　　　　　　　　　　第2题图
要点归纳：1.两点的所有连线中，_____最短.简称：两点之间，_____最短.
2.连接两点间的线段的_______，叫做这两点的距离.
针对训练
如图，AB+BC
AC，AC+BC
AB，AB+AC
BC
(填“>”“<”或“=”).
其
中蕴含的数学道理是
.
在一条笔直的公路两侧，分别有A，B两个村庄，如图，现在要在公路l上建一个汽
车站C，使汽车站到A，B两村庄的距离之和最小，请在图中画出汽车站的位置.
二、课堂小结
1.
基本作图：作一条线段等于已知线段.
2.
比较两条线段大小
(长短)
的方法：度量法；叠合法.
3.
线段的中点.
因为点M是线段AB的中点，
所以AM=BM=AB.
(反过来说也是成立的).
4.
两点之间的所有连线中，线段最短；两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离．
1.
下列说法正确的是
(
)
A.
两点间距离的定义是指两点之间的线段
B.
两点之间的距离是指两点之间的直线
C.
两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度
D.
两点之间的距离是两点之间的直线的长度
2.
如图，AC=DB，则图中另外两条相等的线段为_____________.
　　
　　　　第2题图　　　　　　　　　　　　第3题图
3.已知线段AB
=
6
cm，延长AB到C，使BC=2AB，若D为AB的中点，则线段DC的长为_____________.
4.点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是-3，1，若BC=5，则AC=_________．
5.
如图：AB=4cm，BC=3cm，如果点O是线段AC的中点．求线段OB的长度．
6.如图，已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．
参考答案
课堂探究
一、要点探究
探究点1：
问题1
将两根木棒叠放在一起，一端对齐，从较短的那根对应的地方截取.
问题2
画一条射线，用圆规量得之前所画线段长，在射线上以端点为圆心，量得长度为半径作圆，交射线于一点，此点与射线端点所构成的线段长等于之前所画线段长.
问题3
①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的数值进行比较.
②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看两人的头顶，直接比出高矮.
试一试
（1）1.9cm
2.6cm
2.6cm
1.9cm
CD
AB
（2）①＜
②重合
③＞
探究点2：
画一画
a
b
a+b
a
b
a-b
观察与思考
位于线段的中点
【要点归纳】
2
2
例1
解：因为AB=12cm，点C是AB的中点，所以AC=CB=AB=×12=6（cm），因为点D是线段CB的中点，所以CD=BC=×6=3（cm），所以AD=AC+CD=6+3=9（cm）．
答：线段AD的长为9cm．
例2
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，则BE=x，CF=x，则x+2x+x＝24，解得x＝4，∴AB=12，∴BC=8，CD=20．
变式训练
解：设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，AC=6xcm．∵点E、点F分别为AB、CD的中点，∴AE=AB=1.5x（cm），CF=CD=2xcm．∴EF=AC-AE-CF=6x-1.5x-2x=2.5xcm．∵EF=10cm，
∴2.5x=10，解得x=4．∴AB=12cm，CD=16cm．
例3
C
变式训练
D
【针对训练】
1.AC
AC
BD
CD
AC
AB
2.4
3.C
4.
解：如图，AB为所作:
5.解：∵AB=4cm，BC=6cm，点D是线段AB的中点，点E是线段BC的中点，
∴BD=AB=×4=2cm，BE=BC=×6=3cm，∴DE=BD+BE=2+3=5(cm)．
探究点3：
议一议
想一想
1.
如图，理由：两点之间，线段最短.
2.
A，B
两地间的河道长度变短.
【要点归纳】线段
线段
长度
【针对训练】
1.
＞
＞
＞
两点之间，线段最短
2.
如图所示.
当堂检测
1.C
2.AD=BC
3.
15
cm
4.
9或1
5.解：∵
AC
=
AB
+
BC
=
4+3=7
(cm)，点O
为线段
AC
的中点，∴
OC
=
AC=×7
=
3.5
(cm)，∴
OB
=
OC－BC
=
3.5－3
=
0.5
(cm)．
6.解:设AB=2x，BC=5x，CD=3x.所以AD=AB+BC+CD=10x.因为M是AD的中点,所以AM=MD=AD=5x.所以BM=AM-AB=5x-2x=3x.因为BM=6，所以3x=6，所以x=2，故CM=MD-CD=5x-3x=2x=2×2=4，AD=10x=10×2=20．