第一章
空间向量与立体几何
重难点知识集锦
1.1空间向量及其运算
一、重难点解析
1.教学重点：数量积的计算及其应用..
2.教学难点：将立体几何问题转化为向量的计算问题.
二、重点知识
1.
已知两个非零向量a，b，则叫做a，b的数量积，记作.即.
2.
零向量与任意向量的数量积为0.
3.
0；
.
4.
空间向量的数量积的运算律：
，；
交换律：；
分配律：.
1.2空间向量基本定理
一、重难点解析
1.教学重点：空间向量基本定理.
2.教学难点：对空间向量基本定理的理解与应用，空间向量基本定理的空间作图.
二、重点知识
1.空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p存在唯一的有序实数组（x，y，z）.使得.
2.基底：如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是.这个集合可看作由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
3.正交分解：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示.由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
1.3空间向量及其运算的坐标表示
一、重难点解析
1.教学重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件.
2.教学难点：向量的平行、垂直、夹角、距离问题.
二、重点知识
1.
设，，与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：
，
，
，
.
2.
类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：
当时，，，；
；
；
.
3.
空间两点间的距离公式：.
1.4
空间向量的应用
一、重难点解析
1.教学重点：理解并掌握用向量方法解决距离、夹角问题的方法和步骤.
2.教学难点：辨析各种距离、夹角问题并能正确求出各种距离及夹角.
二、重点知识
1.
设直线的方向向量分别为，则.
2.
设直线l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则，使得.
3.
设平面的法向量分别为，则.
4.
若异面直线所成的角为，其方向向量分别是u，v，则
=.
5.
直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则=.
6.
若平面α，β的法向量分别是和，则平面α与平面β的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面α与平面β的夹角为，则=.
7.
解决立体几何中的问题，可用三种方法：综合法、向量法和坐标法.2020-2021学年高二数学人教A版（2019）期末复习单元知识检测
第一章
空间向量与立体几何
1.在空间坐标系，若，，则实数m为(
)
A．1
B．3
C．1或5
D．3或5
2.已知空间直角坐标系中有一点,点是平面内的直线上的动点,则两点间的最短距离是(
)
A.
B.
C.3
D.
3.已知平面的法向量是,平面的法向量是.若,则的值是(
)
A.
B.6
C.
D.
4.已知为原点,则与的夹角是(
)
A.0
B.
C.
D.
5.若三点共线,则的值为(
)
A.0
B.
C.1
D.
6.已知,且不共面,若则的值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.如果存在三个不全为0的实数，使得向量，则关于叙述正确的是(
)
A．两两相互垂直
B．中只有两个向量互相垂直
C．
共面
D．中有两个向量互相平行
8.已知,那么向量(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知,平面的一个法向量为,点不在平面内,则直线与平面的位置关系为(
)
A.
B.
C.与相交但不垂直
D.
10.如图所示,已知点为菱形外一点,且平面,点为的中点,则二面角的正切值为(
)
A.
B.
C.
D.
11.在直三棱柱中,所有的棱长都相等,为的中点,为的中点,则与所成角的余弦值为_________________.
12.点在平面内的射影为则____.
13.化简_____________.
14.若的三个顶点分别为,则角的大小为__________________.
15.如图，在三棱台中，分别为上的点，
平面平面
（1）求证：平面
（2）若求二面角的余弦值.
16.如图,两两垂直,为的中点,点在线段上,.
(1)求的长；
(2)若点在线段上,设,当时,求实数的值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：
或综上所述，答案选择C
2.答案：B
解析：点在平面内的直线上,故设点,且满足.又直线与轴的交点为,与轴的交点为,故直线的一个方向向量为.当时,两点间的距离最短,此时,,,故选B.
3.答案：B
解析：的法向量与的法向量也互相平行,..
4.答案：B
解析：,且.
.
5.答案：A
解析：因为,由题意得,,所以,所以,所以.
6.答案：A
解析：且,所以存在实数使得成立,即,又不共面,,
7.答案：C
解析:存在三个不完全为0的实数，使得向量
有空间向量基本定理知共面，故选：C
8.答案：B
解析：向量,故选B.
9.答案：D
解析：因为,所以.又点不在平面内,为平面的一个法向量,所以,故选D.
10.答案：D
解析：如图,连接交于点,连接四边形为菱形,为的中点,.为的中点,.平面平面.以为原点,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,设,则,结合图形可知,,且为平面的一个法向量.由,可求得平面的一个法向量.,.
11.答案：
解析：以为原点,在平面中,过点作的垂线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设直三棱柱中,所有的棱长都为2,则,所以.设与所成的角的大小为,则.
12.答案：
解析：
点在平面内的射影为,.
13.答案：
解析：根据空间向量的数乘运算法则可知,原式.
14.答案：30°
解析：,则,故角的大小为30°.
15.答案：（1）证明：因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以.
因为，所以四边形为平行四边形，所以，
因为所以，为的中点．
同理为的中点，所以，因为，所以，
又且，所以四边形是平行四边形，所以，
又，所以.???
又平面
所以平面
（2）因为所以.
分别以所在的直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,
则
设平面的一个法向量为，
因为
则，取得．
设平面的一个法向量为，
因为
则，取得
,
又二角面为锐二面角，所以二面角的余弦值为
16.答案：(1)以为坐标原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,
则,
由为的中点,,得,,
,即的长为.
(2)设,且点在线段上,
,
,
,
.
