华东师大版 八年级下册课件：18.1_平行四边形的性质(共28张PPT)
文档属性
| 名称 | 华东师大版 八年级下册课件：18.1_平行四边形的性质(共28张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 1.9MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-01-08 09:47:39 | ||
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文档简介
平行四边形的性质
数学华师大版 八年级下
新知导入
生活中的平行四边形
新知讲解
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的定义
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要特征．
2
3
1
4
5
新知讲解
平行四边形相对的边称为对边，相对的角称为对角．
如图：线段AC、BD就是□ ABCD的对角线．
A
D
C
B
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．
如图：四边形ABCD是平行四边形．
记作：□ABCD ．
读作： 平行四边形ABCD ．
几何语言：∵ AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的表示法及相关概念
新知讲解
如图，作一个平行四边形．
步骤：
1、任意画一条直线m；
2、在直线m上任取点A，在直线m外任取点B，连结AB；
3、过点B作直线m的平行线n，在直线n上任取点C；
4、过点C作直线AB的平行线，交直线m于点D，就得到□ABCD ．
这样画出来的四边形为什么是平行四边形？
新知讲解
在□ABCD 中，连结AC、BD，它们的交点记为点O．将□ABCD绕点O旋转180° ．观察旋转后的□ABCD与原图形是否重合？由此你能得到什么结论？
你还能从中得出□ABCD的一些边角关系吗？
旋转后的□ABCD与原图形重合，所以平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．
AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，∠B=∠D．
新知讲解
平行四边形的对边相等，对角相等．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求证：AD=BC，AB=CD，∠A= ∠D，∠ ABC= ∠CDA．
提示：可连接BD，试证______≌______．
转化思想：
四边形
问题
三角形
问题
转化
△ABD
△CDB
新知讲解
已知 ：□ABCD（如图）．
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠ABC=∠CDA．
即∠ABC＝∠CDA．
证明：连结BD．
∵AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的对边平行），
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C．
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3．
∴△ABD≌△CDB．
在△ABD和△DCE中，
∵ ，
新知讲解
平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质定理2 平行四边形的对角相等．
2、平行四边形的对边相等．平行四边形的对边平行．
1、平行四边形是中心对称图形．
平行四边形的性质
3、平行四边形的对角相等．平行四边形的邻角互补．
新知讲解
例1 在□ABCD中，∠A=40 °，求其他各内角的大小．
解：在□ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D（平行四边形的对角相等）．
∵ ∠A=40°（已知)，
∴ ∠C=40°．
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行），
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B= 180 －∠A= 180?－ 40°=140 °，
∠D= ∠B= 140 °．
新知讲解
例2 如图，在□ABCD中，AB=8，周长等于24．求其余三条边的长．
解： 在□ ABCD中，
AB=DC，AD=BC（平行四边形的对边相等）．
∵AB=8，
∴DC=8，
又∵AB+BC+DC+AD=24，
∴ AD=BC= ．
新知讲解
在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度．你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明．
两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
平行线之间的距离处处相等．
新知讲解
例3 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长．
解：设AB的长为x，则BC的长为x＋4．
根据已知，可得，
2（AB ＋ BC）＝24，即2（x ＋x ＋4）＝24
4 x ＋8 ＝24，
解得x＝4 ．
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8 ．
新知讲解
例4 已知：如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E．求证：BE+BC=CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的对边平行），
∴∠CDE=∠AED．
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE， ∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
又∵AD=BC （平行四边形的对边相等），
∴ AE=BC．
BE+BC= BE+AE= CD．
新知讲解
A
D
B
C
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O．
（1）图中有哪些三角形是全等的？
有哪些线段是相等的？
（2）能设法验证你的结论吗？
你可以用测量的方法，也可以用复制纸片并借助旋转的方法．
A
D
B
C
o
新知讲解
由上题你又能得出平行四边形怎样的性质？
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O．
几何语言：
定理3 平行四边形的对角线互相平分．
新知讲解
已知：如图，□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
分析：要证明相等的OA与OC、OB与OD分别属于△AOB与△COD，因此只需证明这两个三角形全等即可.
新知讲解
例5 如图，□ ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在□ ABCD中
∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9．
又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形对角线互相平分），
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．
新知讲解
例6 如图，□ ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD相交于点E和点F．求证：OE=OF．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分）．
又∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FDO．
又∵ ∠EBO=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO．
∴OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
新知讲解
例7 如图，□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2．求边AB和BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC(平行四边形对角线互相平分）．
∵ △AOB的周+2= △BOC的周长，
∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，
即 AB+2=BC．
又∵ □ ABCD的周长=16，
∴2（AB+BC)=16，
即4AB+4=16．
∴AB=3，BC=5．
新知讲解
例8 如图，在□ ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为E ，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x cm ，
则□ ABCD的面积等于AD·x．
∴AD·x=AC·BE，
即7x=21×5，
x=15(cm)，
即AD和BC之间的距离为15cm．
课堂练习
1．在□ABCD中，∠A=65°，则∠B= °，∠C= °，∠D= °．
2．在□ABCD中，AB+CD=28cm．□ABCD的周长等于96cm， 则AB= ，BC= ， CD= ， AD= ．
115
65
115
14cm
34cm
14cm
34cm
3．已知: □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC =16cm，BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是_______，□ ABCD的面积是__________ ．
40cm
96cm2
5．平行四边形的一边长为5cm，则它的对角线可能是（ ）
A、4cm和6cm B、4cm和14cm C、4cm和8cm D、12cm和2 cm
4 ．在□ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
D
C
课堂练习
6．在□ABCD中，∠A=3∠B，求∠C和∠D的度数 ．
解: ∵在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B= 180°．
又已知 ∠A=3∠B，
则 3∠B +∠B= 180°．
解得：∠B= 45°，∠A=3×45°=135 °，
所以 ∠C=∠A=135 °，∠D=∠B= 45°．
拓展提高
7．如图?ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE=DF，BE∥DF．
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE=DF，∠OEB=∠OFD，
∴BE∥DF．
中考链接
1、【2018?贵州】如图，在□ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm
2、【2018?江苏】如图，在□ABCD中，∠A ＝70°，DC ＝ DB ，则∠CDB ＝_________ ．
3、【2018?湖北】如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，
BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为_________ ．
D
40°
14
课堂总结
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2、平行四边形的表示方法：平行四边形ABCD， 记为“□ABCD”, 读作“平行四边形ABCD” ．
3、平行四边形的性质：
（1）平行四边形是中心对称图形．
（2）平行四边形的对边相等．平行四边形的对边平行．
（3）平行四边形的对角相等．平行四边形的邻角互补．
（4）平行四边形的对角线互相平分．
板书设计
平行四边形的定义：
平行四边形的表示方法：
平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行，两组对边分别相等．
角：对角相等，邻角互补．
对角线：互相平分．
对称性：中心对称图形．
平行线之间的距离处处相等．
例题
作业布置
教材第80页，第1、2、4、6题．
数学华师大版 八年级下
新知导入
生活中的平行四边形
新知讲解
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
平行四边形的定义
你能从以下图形中找出平行四边形吗？
两组对边分别平行，是平行四边形的一个主要特征．
2
3
1
4
5
新知讲解
平行四边形相对的边称为对边，相对的角称为对角．
如图：线段AC、BD就是□ ABCD的对角线．
A
D
C
B
平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫平行四边形的对角线．
如图：四边形ABCD是平行四边形．
记作：□ABCD ．
读作： 平行四边形ABCD ．
几何语言：∵ AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
平行四边形的表示法及相关概念
新知讲解
如图，作一个平行四边形．
步骤：
1、任意画一条直线m；
2、在直线m上任取点A，在直线m外任取点B，连结AB；
3、过点B作直线m的平行线n，在直线n上任取点C；
4、过点C作直线AB的平行线，交直线m于点D，就得到□ABCD ．
这样画出来的四边形为什么是平行四边形？
新知讲解
在□ABCD 中，连结AC、BD，它们的交点记为点O．将□ABCD绕点O旋转180° ．观察旋转后的□ABCD与原图形是否重合？由此你能得到什么结论？
你还能从中得出□ABCD的一些边角关系吗？
旋转后的□ABCD与原图形重合，所以平行四边形是中心对称图形，对角线的交点O就是对称中心．
AB=CD，BC=AD，∠A=∠C，∠B=∠D．
新知讲解
平行四边形的对边相等，对角相等．
已知：四边形ABCD是平行四边形．
求证：AD=BC，AB=CD，∠A= ∠D，∠ ABC= ∠CDA．
提示：可连接BD，试证______≌______．
转化思想：
四边形
问题
三角形
问题
转化
△ABD
△CDB
新知讲解
已知 ：□ABCD（如图）．
求证：AB=CD，BC=DA；∠B=∠D，∠ABC=∠CDA．
即∠ABC＝∠CDA．
证明：连结BD．
∵AB∥CD，AD∥BC（平行四边形的对边平行），
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C．
又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3．
∴△ABD≌△CDB．
在△ABD和△DCE中，
∵ ，
新知讲解
平行四边形的性质定理1 平行四边形的对边相等．
平行四边形的性质定理2 平行四边形的对角相等．
2、平行四边形的对边相等．平行四边形的对边平行．
1、平行四边形是中心对称图形．
平行四边形的性质
3、平行四边形的对角相等．平行四边形的邻角互补．
新知讲解
例1 在□ABCD中，∠A=40 °，求其他各内角的大小．
解：在□ABCD中， ∠A=∠C，∠B=∠D（平行四边形的对角相等）．
∵ ∠A=40°（已知)，
∴ ∠C=40°．
又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行），
∴∠A+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∴∠B= 180 －∠A= 180?－ 40°=140 °，
∠D= ∠B= 140 °．
新知讲解
例2 如图，在□ABCD中，AB=8，周长等于24．求其余三条边的长．
解： 在□ ABCD中，
AB=DC，AD=BC（平行四边形的对边相等）．
∵AB=8，
∴DC=8，
又∵AB+BC+DC+AD=24，
∴ AD=BC= ．
新知讲解
在方格纸上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出平行线之间这些垂线段的长度．你能发现什么结论？试用平行四边形的性质定理加以说明．
两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．
平行线之间的距离处处相等．
新知讲解
例3 已知平行四边形的周长是24，相邻两边的长度相差4，求该平行四边形相邻两边的长．
解：设AB的长为x，则BC的长为x＋4．
根据已知，可得，
2（AB ＋ BC）＝24，即2（x ＋x ＋4）＝24
4 x ＋8 ＝24，
解得x＝4 ．
所以，该平行四边形相邻两边的长分别为4和8 ．
新知讲解
例4 已知：如图，在□ABCD中，∠ADC的平分线与AB相交于点E．求证：BE+BC=CD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的对边平行），
∴∠CDE=∠AED．
又∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠ADE=∠CDE， ∠ADE=∠AED，
∴AD=AE．
又∵AD=BC （平行四边形的对边相等），
∴ AE=BC．
BE+BC= BE+AE= CD．
新知讲解
A
D
B
C
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O．
（1）图中有哪些三角形是全等的？
有哪些线段是相等的？
（2）能设法验证你的结论吗？
你可以用测量的方法，也可以用复制纸片并借助旋转的方法．
A
D
B
C
o
新知讲解
由上题你又能得出平行四边形怎样的性质？
如图□ ABCD 的两条对角线AC、BD相交于点O．
几何语言：
定理3 平行四边形的对角线互相平分．
新知讲解
已知：如图，□ ABCD的对角线AC、BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD=BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴ △AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA=OC，OB=OD.
分析：要证明相等的OA与OC、OB与OD分别属于△AOB与△COD，因此只需证明这两个三角形全等即可.
新知讲解
例5 如图，□ ABCD的对角线AC和 BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB=6，那么对角线AC与BD的和是多少？
解：在□ ABCD中
∵∴AB=6，AO+BO+AB=15，
∴AO+BO=15-6=9．
又∵AO=OC，BO=OD(平行四边形对角线互相平分），
∴AC+BD=2AO+2BO=2(AO+BO)=9×2=18．
新知讲解
例6 如图，□ ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD相交于点E和点F．求证：OE=OF．
解：∵ABCD是平行四边形，
∴OB=OD(平行四边形对角线互相平分）．
又∵AB∥CD，
∴∠EBO=∠FDO．
又∵ ∠EBO=∠DOF，
∴△BEO≌△DFO．
∴OE=OF．
分析：要证明OE=OF，只要证明它们所在的两个三角形全等即可．
新知讲解
例7 如图，□ ABCD的对角线AC与BD相交于点O，其周长为16，且△AOB的周长比△BOC的周长小2．求边AB和BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC(平行四边形对角线互相平分）．
∵ △AOB的周+2= △BOC的周长，
∴AO+BO+AB+2=BO+CO+BC，
即 AB+2=BC．
又∵ □ ABCD的周长=16，
∴2（AB+BC)=16，
即4AB+4=16．
∴AB=3，BC=5．
新知讲解
例8 如图，在□ ABCD中，对角线AC=21cm，BE⊥AC，垂足为E ，且BE=5cm，AD=7cm．求AD和BC之间的距离．
解：设AD和BC之间的距离为x cm ，
则□ ABCD的面积等于AD·x．
∴AD·x=AC·BE，
即7x=21×5，
x=15(cm)，
即AD和BC之间的距离为15cm．
课堂练习
1．在□ABCD中，∠A=65°，则∠B= °，∠C= °，∠D= °．
2．在□ABCD中，AB+CD=28cm．□ABCD的周长等于96cm， 则AB= ，BC= ， CD= ， AD= ．
115
65
115
14cm
34cm
14cm
34cm
3．已知: □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC =16cm，BD =12cm，BC =10cm，则□ABCD 的周长是_______，□ ABCD的面积是__________ ．
40cm
96cm2
5．平行四边形的一边长为5cm，则它的对角线可能是（ ）
A、4cm和6cm B、4cm和14cm C、4cm和8cm D、12cm和2 cm
4 ．在□ ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的值可能是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：2：2：1 C．1：1：2：2 D．2：1：2：1
D
C
课堂练习
6．在□ABCD中，∠A=3∠B，求∠C和∠D的度数 ．
解: ∵在□ABCD中，AD∥BC，
∴∠A+∠B= 180°．
又已知 ∠A=3∠B，
则 3∠B +∠B= 180°．
解得：∠B= 45°，∠A=3×45°=135 °，
所以 ∠C=∠A=135 °，∠D=∠B= 45°．
拓展提高
7．如图?ABCD中，AC、BD交于O点，点E、F分别是AO、CO的中点，试判断线段BE、DF的关系并证明你的结论．
解：BE=DF，BE∥DF．
证明：∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E，F分别是OA，OC的中点，
∴OE=OF，
又∵∠BOE=∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，
∴BE=DF，∠OEB=∠OFD，
∴BE∥DF．
中考链接
1、【2018?贵州】如图，在□ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则□ABCD的周长为（ ）
A．26 cm B．24 cm C．20 cm D．18 cm
2、【2018?江苏】如图，在□ABCD中，∠A ＝70°，DC ＝ DB ，则∠CDB ＝_________ ．
3、【2018?湖北】如图，已知□ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC＝8，
BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为_________ ．
D
40°
14
课堂总结
1、平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2、平行四边形的表示方法：平行四边形ABCD， 记为“□ABCD”, 读作“平行四边形ABCD” ．
3、平行四边形的性质：
（1）平行四边形是中心对称图形．
（2）平行四边形的对边相等．平行四边形的对边平行．
（3）平行四边形的对角相等．平行四边形的邻角互补．
（4）平行四边形的对角线互相平分．
板书设计
平行四边形的定义：
平行四边形的表示方法：
平行四边形的性质：
边：两组对边分别平行，两组对边分别相等．
角：对角相等，邻角互补．
对角线：互相平分．
对称性：中心对称图形．
平行线之间的距离处处相等．
例题
作业布置
教材第80页，第1、2、4、6题．