华东师大版八年级下册课件：19.2.2 菱形的判定(共26张PPT)

菱形的判定
数学华师大版 八年级下
新知导入
取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于 90° ，请猜想这时图形的形状是什么图形？
新知讲解
1.定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的定义作为我们判定菱形的基本方法，接下来我们从边上来研究菱形的判定方法．
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD．
∴四边形ABCD是菱形．
数学语言
新知讲解
四条边相等的四边形是菱形．
菱形的四条边相等．
逆命题
这个逆命题成立吗？
新知讲解
作一个四条边都相等的四边形．
步骤：
1．画两条相等的线段AB、CD；
2．分别以点B和点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧相交于点C；
3．连结BC、CD，即得一个四条边都相等的四边形ABCD．
这个四边形是菱形吗？
新知讲解
命题：四条边相等的四边形是菱形．
已知：在四边形ABCD中， AB=BC=CD=DA．
求证：四边形ABCD是菱形．
证明：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
定理：四条边相等的四边形是菱形．
菱形判定定理1
新知讲解
有三条边相等的四边形是菱形吗？请同学动手画一画，你发现什么结论？
结论：有三条边相等的四边形不是菱形．
新知讲解
数学语言：
在四边形ABCD中，
∵ AB=BC=CD=DA，
∴四边形ABCD是菱形．
菱形的判定1：
四条边都相等的四边形是菱形．
新知讲解
例4 如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是四条边的中点，试问四边形EFGH是什么图形？并说明理由．
解：∵H点为AD的中点，∴AH=HD，
∵E点为AB的中点，AE= AB，
G点为DC的中点，DG= CD ，
又∵AB=DC，∴AE=DG．
∵∠HAE=∠HDG，∴△EAH≌△GDH ， ∴HE=HG ，
同理EF=FG=HG=HE ，
∴四边形EFGH是菱形．
新知讲解
若四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是不是菱形？
结论：对角线互相垂直的四边形不能判定为菱形．
对角线互相垂直的平形四边形是菱形吗？
新知讲解
作一个两条对角线互相垂直的平行四边形．
步骤：
1．作两条互相垂直的直线m，n，记交点为点O；
2．以点O为圆心，适当长为半径画弧，在直线m上截取相等的两条线段OA、OC；
3．以点O为圆心，另一适当长为半径画弧，在直线n上截取相等的两条线段OB、OD；
4．顺次连结所行的四点，即得一个对角线互相垂直且平分的四边形ABCD，显然，它是一个对角线互相垂直的平行四边形．
这个平行四边形是菱形吗？
新知讲解
命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
已知：在平行四边形ABCD中，AC⊥BD ．
求证：平行四边形ABCD是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC．
又∵AC⊥BD，
∴BA=BC，
∴ 平行四边形ABCD是菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
新知讲解
数学语言：∵在□ABCD中，AC⊥BD，
∴ □ABCD是菱形．
菱形的判定2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
平行四边形ABCD
AC⊥BD
菱形ABCD
新知讲解
取两根长度不等的细纸条，将两根纸条的中点重合并固定在一起，用笔和直尺画出纸条四个端点的连线，则这四条线段组成一个什么图形，若转动其中一根纸条，使两根纸条之间的夹角等于 90° ，请猜想这时图形的形状是什么图形？
这四条线段组成平行四边形，
理由：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
当两根纸条之间的夹角等于 90° 时，这时图形是菱形，
理由：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
新知讲解
例5 如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD 、BC分别交于E、F．
求证：四边形AFCE是菱形．
分析：要证四边形AFCE是菱形，由已知条件可知EF⊥AC，所以只需证明四边形AFCE是平行四边形，又知EF垂直平分AC，所以只需证明OE=OF．
新知讲解
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，
∴ ∠1=∠2，
∵EF平分AC，
∴OA=OC．
又∵ ∠AOE=∠COF=90°，
∴ △AOE≌△COF．
∴ 四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
1. 判断题
（1）对角线互相垂直的四边形是菱形（ ）
（2）一条对角线垂直另一条对角线的四边形是菱形（ ）
（3）对角线互相垂直且平分的四边形是菱形（ ）
（4）对角线相等的四边形是菱形（ ）
（5）对角线互相平分且邻边相等的四边形是菱形（ ）
（6）两组对边分别平行且一组邻边相等的四边形是菱形（ ）
课堂练习
×
√
×
×
√
√
课堂练习
2. □ABCD的对角线AC与BD相交于点O，
（1）若AB=AD，则□ABCD是 形；
（2）若AC=BD，则□ABCD是 形；
（3）若∠ABC是直角，则□ABCD是 形；
（4）若∠BAO=∠DAO，则□ABCD是 形．
菱
矩
矩
菱
课堂练习
3. 下列命题中正确的是（ ）
A．一组邻边相等的四边形是菱形
B．三条边相等的四边形是菱形
C．四条边相等的四边形是菱形
D．四个角相等的四边形是菱形
4. 对角线互相垂直且平分的四边形是（ ）
A．矩形 B．一般的平行四边形 C．菱形 D．以上都不对
5. 下列条件中，不能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AC⊥BD，AC与BD互相平分 B．AB=BC，AD=CD，且AC⊥BD
C．AB=BC=CD=DA D．AB=CD，AD=BC，AC⊥BD
C
C
B
课堂练习
6、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．
证明：四边形ADCE是菱形．
证明：∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴AD=CD=BD．
∵AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形ADCE是平行四边形且AD=CD，
∴四边形ADCE是菱形．
拓展提高
7、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BA=BC，BD平分∠ABC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点D作DE⊥BD，交BC的延长线于点E，若BC=5，BD=8，求四边形ABED的周长．
拓展提高
（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AD=AB，
∵BA=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，
∴∠DBC+∠E=∠BDC+∠CDE=90°，
∵CB=CD，∴∠DBC=∠BDC，
∴∠CDE=∠E，
∴CD=CE=BC，
∴BE=2BC=10，
∵BD=8，
∴DE= =6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB=BC=5，
∴四边形ABED的周长=AD+AB+BE+DE=26．
中考链接
【2018?四川】如图，在?ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵DE=BF，
∴AE=CF，∵AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
课堂总结
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
有四条边相等的四边形是菱形．
+ 邻边相等 =
+对角线线互相垂直 =
四条边相等 + =
菱形的判定方法
板书设计
菱形的判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
有四条边相等的四边形是菱形．
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例4
例5
作业布置
教材118页，第2题、第3题、第4题．