华东师大版七年级数学下册　9.1.2三角形的内角和与外角和　（共24张PPT）

9.1.2三角形的内角和
学习目标：
1、探索并证明三角形的内角和定理，掌握它的推论：直角三角形的两个锐角互余。
2、能利用三角形的内角和定理和推论解决相关问题。
重点：三角形的内角和定理和它的推论
难点：三角形内角和定理的证明
复习回顾
1、三角形的中线
三角形的角平分线
各有3条
都在三角形内部
交于一点
2、三角形的高（3条，交于一点）
锐角三角形3条高的交点在三角形的内部
直角三角形3条高的交点是直角顶点
钝角三角形3条高的交点在三角形的外部
3、三角形的一条中线将三角形分成面积相等的两个三角形
知识链接
平行线的性质
{
两直线平行，同位角相等
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
探究新知1：三角形的内角和定理
三角形的内角和等于180°
你能否能用几何推理的方法加以证明？
知识点1：三角形的内角和
已知：∠A、∠B、∠C分别是ΔABC的三个内角，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°
A
B
C
视频
E
F
1
2
证明：过点A作EF∥BC
∴∠1＝∠B
∠2＝∠C
（两直线平行，内错角相等）
∵∠BAC＋∠1＋∠2＝180°
∴∠BAC＋∠B＋∠C＝180°
（等量代换）
已知：∠A、∠B、∠C分别是ΔABC的三个内角，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°
A
B
C
课本
D
E
1
2
证明：延长BC，过点C作CE∥AB
∴∠A＝∠1

∠B＝∠2
（两直线平行，
内错角相等）
（两直线平行，同位角相等）
∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°
∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°
（等量代换）
已知：∠A、∠B、∠C分别是ΔABC的三个内角，
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°
A
B
C
探究
D
E
F
3
4
1
2
证明：过BC边上一点D，作
DE∥AB,DF∥AC
∴∠B＝∠1 ∠C＝∠2
(两直线平行，同位角相等)
∠A＋∠3＝180° ∠4＋∠3＝180°
（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠A＝∠4（等角的补交相等）
∵∠1＋∠4＋∠2＝180°
∴∠A＋∠B＋∠C＝180°（等量代换）
探究新知2：三角形内角和定理的推论
Γ
A
B
C
已知：ΔABC中，∠C＝90°
求证：∠A＋∠B＝90°
证明：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180°）
∠C＝90°
∴∠A＋∠B＝90°
直角三角形的两个锐角互余
应 用1
已知：ΔABC中，∠C＝20°，∠A－∠B＝40°，求∠A和∠B
解：∵∠A＋∠B＋∠C＝180°
（三角形的内角和等于180°）
∠C＝20°
∴∠A＋∠B＝180°－20°＝160°
∵∠A－∠B＝40°
∴
{
∠A－∠B＝40°
∠A＋∠B＝160°
解得
{
∠A＝100°
∠B＝40°
即∠A是100°，∠B是40°
应 用2
已知：直角三角形ABC中，∠A:∠B＝2:3，求∠A和∠B
Γ
A
B
C
解：∵ΔABC是直角三角形
∴∠A＋∠B＝90°
（直角三角形的两个锐角互余）
∵∠A:∠B＝2:3
∴设∠A＝2x,∠B＝3x
∴2x＋3x＝90°解得x＝18°
∴∠A＝2×18°＝36°
∠B＝3×18°＝54°
小 结
1、三角形的内角和等于180°
2、直角三角形的两个锐角互余
作 业
1、已知，在ΔABC中，∠A＝30°，3∠B＝2∠C,求∠B、∠C，并判断ΔABC的形状
2、解下列方程
3、一同学解方程 ，去分母时方程右边的－2忘了乘以14，因而求出的解是x＝－20，试求 a的值，并求出正确的解。
9.1.2三角形的外角和
学习目标：
1.理解三角形的外角的两条性质以及三角形的内角和与外角和.
2.会利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”进行有关计算.
重点：掌握三角形外角的性质以及其外角的和.
难点：三角形角的有关计算.
复习回顾
1、三角形的内角和定理
2、三角形内角和定理的推论
三角形的内角和等于180?
直角三角形的两个锐角互余
知识点1：三角形外角的两个性质
合作探究：三角形的外角与内角的关系
外角∠CBD与其他两个不相邻的内角有什么关系呢？ ∵∠CBD+∠ABC=180°
∠C+∠A+∠ABC=180°（三角形的内角和等于180?） ∴∠CBD=∠C+∠A
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
知识点2：三角形的外角和
与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角.从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
你能用“三角形的内角和等于180°”来说明图中∠1+∠2+∠3=360°吗？
证明：∵∠1＋∠ACB＝180?
∠2＋∠BAC＝180?
∠3＋∠ABC＝180°
已知：∠1、∠2、∠3分别是?ABC的三个外角
求证：∠1＋∠2＋∠3＝360?
∴∠1＋∠2＋∠3＋∠ACB＋∠ABC＋∠BAC
＝180°×3＝540?
又∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°
∴∠1＋∠2＋∠3＝540?－180°＝360°
结论：三角形的外角和等于360?
应用1
如图，n∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数.
n
m
1
2
3
B
E
F
P
解：过点F作FB∥n
∵n∥m
∴FB∥m
∴∠1＋∠EFB＝180?
∠3＋∠BFP＝180?
(两直线平行，同旁内角互补)
∴∠1＋∠3＋∠EFB＋∠BFP＝360°
∵∠1＝115°
∠2＝∠EFB＋∠BFP＝95°
∴115°＋∠3＋95°＝360°
∴∠3＝150°即∠3是150°
应用1
如图:n∥m，∠1=115°，∠2=95°，求∠3的度数.
n
m
1
2
3
E
F
P
A
4
5
A
4
5
解：延长EF交m与点A
∵n∥m
∴∠1＋∠4＝180°
∵∠1=115°
∴∠4＝65°
∵∠2＋∠5＝180° ∠2=95°
∴∠5＝85°
∵∠3＝∠4＋∠5(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和)
∴∠3＝65°＋85°＝150°
即∠3的度数是150°
小 结
知识点1、三角形外角的两个性质
1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
知识点2、三角形的外角
1、定义：从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
2、三角形的外角和等于360°
1．如图所示x＝________
2．如图∠C＝∠1，则∠C与∠B
的大小关系是______________
3．三角形三个外角度数的比是3∶4∶5，这个三角形是______三角形 4．三角形的三个外角中钝角的个数最多有______个，至少有______个。 5．如图∠A＝31°，∠C＝26°，∠B＝34°，
则∠EOB＝________
课堂检测
作 业
1、解答题：如图1，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC＝70°
求：(1)∠B的度数；(2)∠C的度数．
2、如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于D，AP平分∠BAC交BD于P，求∠BPA的度数。