华东师大版七年级下册数学课件：9.1.2 三角形的内角和与外角和(共27张PPT)

第9章 多 边 形
9.1 三 角 形
2.三角形的内角和与外角和
教学目标
教学重点与难点
重点：三角形的内角和与外角和，三角形的外角的两条性质及应用.
难点：三角形的外角的两条性质及其应用.
1. 理解和掌握三角形的内角和等于180o并会应用.
2.理解和掌握三角形的外角和等于360o并会应用.
3.理解和掌握三角形的外角的两条性质及其应用.
O
A
B
C
D
E
F
锐角三角形的三条高交于同一点.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
温故夯基
一.三角形的高：
从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.
A
B
C
●
直角三角形的三条高交于直角顶点.
A
B
C
D
E
F
钝角三角形的三条高不相交于一点.
钝角三角形的三条高
所在直线交于一点
三角形的三条高所在直线交于一点
A
B
C
D
●
●
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形这边的中线.
∵ AD是△ABC的中线,
∴BD=CD=
1
2
BC
E
F
O
三角形中线的性质
二.三角形的中线：
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的
内部，这个交点叫三角形的重心。
A
B
C
D
●
●
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.
E
F
O
1
2
∵AD是 △ ABC的角平分线，
∴∠ BAD = ∠ CAD =
1
2
∠BAC,
∴∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.
三角形角平分线的性质
三.三角形的角平分线：
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形
的内部，这个交点叫做三角形的内心。
巩固练习
1.如果一个三角形的三条高的交点恰是这个三角形
的一个顶点，那么这个三角形是(　　).
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
C
2.下列线段一定在三角形内部的是(　　).
①三角形的三条中线；②三角形的三条高；
③三角形的三条角平分线．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
B
3.下列说法：
①三角形的角平分线、中线、高都是线段；
②直角三角形只有一条高；
③若一个三角形的三条高都在三角形的内部，
则这个三角形一定是锐角三角形；
④若一个三角形有两条高在三角形的外部，
则这个三角形一定是钝角三角形．
其中正确的有(　　).
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
√
×
√
√
C
4.如图，AE⊥BC，BF⊥AC，CD⊥AB，
垂足分别为E，F，D，则△ABC中，
AC边上的高是线段(　　).
A．AE B．CD
C．AF D．BF
D
5.如图，AD是△ABC的中线．
(1)若AB＝4，AD＝3，BC＝6，
则△ABD的周长为________；
(2)若AB＝4，且△ABD和△ACD的周长之差为1，
则AC＝________．
10
3或5
在纸片上画任意的三角形△ABC（把表示三角形三个顶点的字母标在三角形的内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得到什么结论？
A
B
C
问题引入
思考：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内角和有什么共同特点？
共同特点：三角形的内角和等于180。.
在纸片上画任意的三角形△ABC（把表示三角形三个顶点的字母标在三角形的内部）动手操作剪下内角拼一拼，你能得到什么结论？
A
B
C
B
C
C
A
B
A
B
三角形三个内角的和等于180°.
同学们观察和总结的非常棒，但这只是实验，而观察与实验得到的结论不一定正确，可靠，这样就需要通过数学证明来验证结论是否正确．
从刚才拼角的过程你能想出证明的办法吗?
探究发现
这是一个文字命题，如何转化为几何命题，
结合图形，你能写出已知和求证吗？
C
B
A
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
A
C
B
C
B
F
1
E
证明：过点A作EF∥BC ,
∴∠B=∠1，∠C=∠2.
(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠3+∠BAC=180°,
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线。
在平面几何里，辅助线通常画成虚线。
三角形三个内角的和等于180°
2
推理论证
三角形三个内角的和等于180°
C
B
A
D
E
1
2
推理论证
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：延长BC至点E,过点C作CD∥BA .
∴∠B=∠1，
∠A=∠2.
(两直线平行,同位角相等)
(两直线平行,内错角相等)
∵∠1+∠2+∠BCA=180°,
∴∠A+∠B+∠BCA=180°.
为了证明三个角的和
为180°,转化为一个
平角这种转化思想
是数学中的常用方法。
C
B
A
E
1
推理论证
三角形三个内角的和等于180°
已知：△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明：过点A作AE∥BC.
∵∠C+∠EAC=180°,
(两直线平行,同旁内角互补)
即∠C+∠1+∠BAC=180°.
∵ AE∥BC,
∴∠B=∠1.
(两直线平行,内错角相等)
∴∠C+∠B+∠BAC=180°.
为了证明三个角的和为180°,转化为同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法。
三角形三个内角的和等于180°.
温馨提示：利用三角形的内角和定理主要是解决角
的度数问题。
三角形内角和的
几何语言表达
C
B
A
∠A+∠B+∠C=180°.
思考
直角三角形的两个锐角的度数有什么关系呢？
归纳总结
直角三角形的两个锐角互余。
温馨提示：这个性质是直角三角形所特有的哟！
三角形内角和推论
的几何表达
∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°.
B
A
C
解：∵ ∠A+∠B+∠C=180。,
∠A=80。，∠B=40。,
∴ 80。+40。+∠C=180。,
∴ ∠C=60。.
例题精析
例1 (1)在△ABC中,∠A=80。,∠B=40。,求∠C.
解：
∵ ∠B：∠C =2:3,
例1(2)在△ABC中,∠A=80。,∠B：∠C =2:3，
求∠B，∠C.
例题精析
∴设 ∠B=2x。,∠C =3x。.
∵ ∠A+∠B+∠C=180。, ∠A=80。，
∴ 80。+2x。+3x。=180。,
∴ x=20.
∴∠B=40。,∠C =60。.
解：∵ ∠A+∠B+∠C=180。,
∠A=80。，∠B=3∠C,
∴ 80。+ 3∠C +∠C=180。,
∴ ∠C=25。，
例1(3)在△ABC中，∠A=80。，∠B=3∠C ，
求∠B，∠C.
例题精析
∴ ∠B=75。.
随堂练习
1.在△ABC中,∠A=50。,∠B=∠C ,则∠B= ，
∠C= .
2.在△ABC中，∠A=60。，∠B:∠C =1:2，
则∠B= ，∠C = .
3.在△ABC中，∠A=∠B=4∠C ，则∠A= ，
∠B= ，∠C = .
4.如果三角形的三个内角的度数之比是2:3:4，
则它是（ ）.
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形
C. 直角三角形 D. 钝角或直角三角形
65。
65。
40。
80。
80。
80。
20。
A
1:2:3
C
A
B
D
C
例2 如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，
BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
例题精析
解：∵ ∠A+∠ABC+∠C=180。,
∠C=∠ABC=2∠A，
∴ ∠A+2∠A+2∠A=180。,
∴ ∠A=36。.
∴ ∠C=72。.
∵ BD是AC边上的高，
∴ ∠DBC+∠C=90。,
∴ ∠DBC=18。.
BD平分∠ABC,
∴ ∠ABC=72。.
∵ BD平分∠ABC,
(1)若∠ABC=50。,∠ACB=80。,则∠BOC=______；
(2)若∠A=60。,则∠BOC=_____；
若∠A=80。,则∠BOC= ；
(3)根据(1)、(2)的计算结果猜想∠BOC与∠A之间存在怎样的数量关系？
A
B
C
D
E
O
随堂练习
1.如图，在△ABC中，∠B，∠C的平分线BD、CE
相交于点O.
2.如图，在△ABC中, ∠B＜∠C, AD、AE分别
是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B=30。，∠C=50。,则∠DAE=______；
（请直接写出答案）
(2)写出∠DAE、∠B、∠C的数量关系，并证明
你的结论。
A
B
C
D
E
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC的高（ ）.
A
B
C
D
B
A
B
C
D
C
A
B
C
D
D
A
D
C
B
A
D
B
随堂练习
2.如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的
一个顶点，那么这个三角形是（ ）.
A. 锐角三角形 B. 直角三角形
C. 钝角三角形 D. 锐角三角形
3.用三角板作△ABC的边BC上的高，下列三角板
的摆放位置正确的是( ).
A B C D
A
4.如图所示，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，
下列说法中不正确的是( )
A．AC是△ABC的高
B．DE是△BCD的高
C．DE是△ABE的高
D．AD是△ACD的高
C
A
B
C
D
●
●
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段叫做三角形这边的中线.
∵ AD是△ABC的中线,
∴BD=CD=
1
2
BC
任意画一个三角形,然后利用刻度尺画出
这个三角形三条边的中线,你发现了什么?
E
F
O
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的
内部，这个交点叫三角形的重心。
三角形中线的性质
探究发现
随堂练习
1.如图,在△ABC中有四条线段DE,BE,EG,FG，
其中有一条线段是△ABC的中线,则该线段是( ).
A．线段DE B．线段BE
C．线段EG D．线段FG
B
2.如图，D、E分别是△ABC的边AC、BC的中点，
那么下列说法中不正确的是( ).
A．DE是△BCD的中线 B．BD是△ABC的中线
C．AD＝DC，BE＝EC D．AD＝EC，DC＝BE
（第1题图）
（第2题图）
D
3.如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是
△ABD的中线，若ED＝2 cm，则BC＝ cm.
8
4.如图，AD，BE，CF是△ABC的三条中线,
则AB=2 =2 ，BD= ， AE= .
F
E
D
C
B
A
AF
BF
CD
AC
A
B
C
D
●
●
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.
E
F
O
1
2
∵AD是 △ ABC的角平分线，
∴∠ BAD = ∠ CAD =
1
2
∠BAC,
任意画一个三角形,然后利用量角器画出
这个三角形三个角的平分线,你发现什么?
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形的内部，这个交点叫做三角形的内心。
∴∠BAC=2∠BAD=2∠CAD.
三角形角平分线的性质
探究发现
三角形的角平分线与角的平分线有什么区别？
思考
三角形的角平分线是一条线段 ,
角的平分线是一条射线.
随堂练习
1.如图，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，
则∠1＝ = ，
∠2＝ = ∠ABC,∠3＝ ＝ ∠ACB.
∠CAD
∠BAC
∠ABE
∠BCF
2.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，下列结论中错误
的是( ).
A．BD是△ABC的角平分线
B．CE是△BCD的角平分线
C．2∠3＝∠ACB
D．CE是△ABC的角平分线
D
3.如图，已知CD、CE、CF分别是△ABC的高、
角平分线、中线，则下列各式中错误的是( ).
A．AB＝2BF
B．∠ACE＝ ∠ACB
C．AE＝BE
D．CD⊥BE
C
课堂小结
一.三角形的高：
从三角形的一个顶点向它对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部，交于同一点.
直角三角形的三条高交于直角顶点.
钝角三角形的三条高不相交于一点,高所在直线交于一点.
三角形的三条高所在直线交于一点.(垂心)
二.三角形的中线：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段.
三角形的三条中线相交于一点,交点在三角形的
内部，这个交点叫三角形的重心。
三.三角形的角平分线：
在三角形中,一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的
角平分线.
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三角形
的内部，这个交点叫做三角形的内心。
注意：三角形的角平分线是一条线段 ,
角的平分线是一条射线.
作业与课外学习任务
1.练习作业：学习检测P54-55 第1至10题
书面课本P76 练习 1,2
2.课外学习任务：
预习P76 9.1.2 三角形的内角和与外角和
教学反馈：
作业存在的主要问题：
2.如图，在△ABC中, ∠B＜∠C, AD、AE分别
是△ABC的高和角平分线.
(1)若∠B=30。，∠C=50。,则∠DAE=______；
（请直接写出答案）
(2)写出∠DAE、∠B、∠C的数量关系，并证明
你的结论。
A
B
C
D
E
2.如图，在△ABC中, ∠B＜∠C, AD、AE分别
是△ABC的高和角平分线.
(2)写出∠DAE、∠B、∠C的数量关系，并证明
你的结论。
A
B
C
D
E
∵ AD是△ABC的高,
∴ ∠ADC=90。.
∴ ∠DAC=180。－∠ADC－∠C,
=90。－∠C.
∵ AE是△ABC的角平分线,
∵ ∠BAC=180。－∠B－∠C,
∴ ∠DAE=∠EAC－∠DAC,
2.如图，在△ABC中, ∠B＜∠C, AD、AE分别
是△ABC的高和角平分线.
(2)写出∠DAE、∠B、∠C的数量关系，并证明
你的结论。
A
B
C
D
E
∵ AD是△ABC的高,
∴ ∠ADC=90。.
∴ ∠DAC=180。－∠ADC－∠C,
=90。－∠C.
∵ AE是△ABC的角平分线,
∵ ∠BAC=180。－∠B－∠C,
∴ ∠DAE=∠EAC－∠DAC,
课堂小结
一.三角形的内角和：
三角形三个内角的和等于180°.
课堂小结
三角形的内角和：
三角形三个内角的和等于180°.
C
B
A
在△ABC中, ∠A+∠B+∠C=180°.
直角三角形的两个锐角互余。
B
A
C
在△ABC中, 若∠C=90°，
则∠A+∠B=90°.
作业与课外学习任务
1.练习作业：学习检测P56-57 第1至12题
书面课本P82 习题9.1 1,2
2.课外学习任务：
预习P76 9.1.2 三角形的外角和