华东师大版数学七年级下册第9章多边形 9.1.2 三角形内角和与外角和课件 (25张PPT)

9.1 三角形
9.1.2 三角形的内角和与外角和
学习目标
1.了解并掌握三角形的内角和等于180°，理解直角三角形两锐角互余的性质.(重点)
2.掌握三角形外角的两条性质，了解三角形的外角和是360°.(难点)
3.能应用三角形内角和外角的性质进行相关角的计算或比较.(重点、难点)
三角形的内角和
如图所示，已知△ABC,过点A作MN∥BC，
∵MN∥BC，∴∠B=____，∠C=____.
又∵∠1+∠BAC+∠2=______，
∴∠B+∠BAC+∠C=______.
【总结】三角形的内角和等于______.
∠2
180°
180°
180°
∠1
新课自主预习
将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？
折叠三角形纸板，可以把它的三个角拼成一个角.
可以将∠A，∠B 剪下并移至顶点C处拼接成一个角.
A
B
C
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
观察与思考
因为直线在平移下的像是与它平行的直线，
如图，将△ABC的边BC所在的直线
平移，使其经过点A，得到直线B'C' .
所以 B'C'∥BC.
则 ，
所以∠B+∠BAC+∠C=180°.
又
三角形的内角和
观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.
由此得到：
三角形的内角和等于180°.
你还能想出其它的方法推出这个结论吗？
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
例1 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x ＋ 15 ＝ 48.
答： ∠A， ∠B， ∠C的度数分别为99°， 33°， 48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
典例精析
例2 如图，在△ABC中， ∠BAC=40 °, ∠B=75 °, AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
C
D
解: 由∠BAC=40 °，AD是△ABC的角平分线，得
∠BAD= ∠BAC=20 °.
在△ABD中，
∠ADB=180°-∠B-∠BAD
=180°-75°-20°
=85°.
问题1　在△ABC 中，若∠C =90°，你能求出∠A，∠B 的度数吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗？利用上面的结果，你能得出什么结论？
A
B
C
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：
在直角△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的内角性质
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成Rt△ABC
例3 如图， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
解：在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中，
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
问题1　在图中，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A，∠B之间有什么大小关系？
我觉得可以利用“三角形的内角和等于180°”的结论.
三角形的外角的性质
因为∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等）
于是∠ACD =∠A +∠B.
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由此得到：
2.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.
如图，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C 的度数.
解：因为∠B+∠C=∠CAD，
所以∠C=∠CAD-∠B，
所以∠C=100°-30°=70°.
做一做
问题2　如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE= ∠2+ ∠3，
∠CBF= ∠1+ ∠3,
∠ACD= ∠1+ ∠2.
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
你还有其他解法吗？
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
∠CBF +∠2=180 ° ②，
∠ACD +∠3=180 ° ③，
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °，
①+ ②+ ③得
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
+(∠1+ ∠2+ ∠3)=540 °，
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD=540 °-180°=360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
要点归纳
三角形的外角和等于360°.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
(
(
2
1
3
∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
典例精析
例4 (一题多解）如图，计算∠BDC.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
A
B
D
E
A
C
D
E
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
解：（解法一）连接AD并延长于点E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因为∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
（解法二）延长BD交AC于点E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
（解法三）连接延长CD交AB于点F.（解题过程同解法二）
)
2
A
B
C
D
(
(
(
1
3
2
(
重要发现：
∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
1.已知△ABC中，∠A＝ 70°，∠C＝30°，∠B＝______.
2.直角三角形一个锐角为70°，另一个锐角是_______.
3.在△ABC中，∠A=80°，∠B=∠C，则∠C=_______.
80°
20°
50°
当堂跟踪练习
4.如图，AD是△ABC的角平分线，∠B= 36°，
∠C= 76°，则∠DAC的度数为________.
34°
5 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求：（1）∠B 的度数； （2）∠C的度数.
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°，
∠C=180?-40?-70?=70°.
解：因为∠ADC是△ABD的外角.
所以∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又因为∠B=∠BAD，
40°
A
B
70°
80°
C
D
课堂小结
三角形的内角
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
直角三角形的两锐角互余
课堂小结
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °