华师大版 八年级下册课件：19.1.2 矩形的判定(共27张PPT)

矩形的判定
数学华师大版 八年级下
新知导入
小明利用周末的时间，为自己做了一个相框，你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？
矩形有哪些性质？
矩形的对边平行且相等．
矩形的四个角为直角．
矩形的对角线互相平分且相等．
矩形既中心对称图形又轴对称图形．
新知讲解
平行四
边形
一个角
是直角
∟
矩形
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
□ABCD
∠A＝90°
□ABCD是矩形
矩形的判定方法1
新知讲解
有一个角是直角的四边形是矩形吗？
有两个角是直角的四边形是矩形吗？
有三个角是直角的四边形是矩形吗？
新知讲解
1、任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
2、过点B作垂直于AB的直线l；
3、过点D作垂直于AD的直线m，交l于点C，即得一个三个角都是直角的四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
新知讲解
已知：在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．
求证：四边形ABCD是矩形．
证明：∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD为矩形(矩形的定义)．
命题：有三个角是直角的四边形是矩形．
定理：有三个角是直角的四边形是矩形．
矩形的判定方法2
新知讲解
矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．
几何语言：
在四边形ABCD中，
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°．
∴四边形ABCD是矩形．
新知讲解
由矩形的性质“矩形的对角线相等”我们可以猜想：
“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是一个矩形”．
这个猜想成立吗？
新知讲解
1、任意作两条相交的直线，交点记为O；
2、以点O为圆心，适当长为半径画弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段OA、OB、OC、OD；
3、顺次连结所得的四点，即得一个对角线相等的平行四边形ABCD．
四边形ABCD是矩形吗？
新知讲解
已知：四边形ABCD是平行四边形，AC=BD．
求证：四边形ABCD是矩形．
命题：对角线相等的平行四边形是矩形．
证明：在□ABCD中， AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴△BAD≌△CDA．
∴∠BAD=∠CDA．
∵AB∥CD，
∴∠BAD +∠CDA=180°，
∴∠BAD＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有一个内角是直角的平行四边形是矩形）．
定理：对角线相等的平行四边形是矩形．
矩形的判定方法3
新知讲解
矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．
□ABCD
AC = BD
□ ABCD是矩形
对角线互相平分且相等的四边形是矩形吗？为什么？
四边形ABCD是矩形
结论：对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
新知讲解
你能帮助小明检验一下他所做的相框是矩形吗？用什么方法？为什么？
1、测量相框的对角线是否相等来判断所做的相框是否是矩形．
因为对角线相等的平行四边形是矩形．
2、测量相框的三个内角是否是直角来判断所做的相框是否是矩形．
因为有三个角是直角的四边形是矩形．
新知讲解
例4 如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE=BF=CG=DH．
求证：四边形EFGH是矩形．
分析：根据已知条件，我们可以先证明四边形EFGH是平行四边形，再证明对角线EG和FH相等，即可得证．
新知讲解
证明: ∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=BO=CO=DO ，
∵AE=BF =CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形 ．
∵EO+OG=OF+OH，即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形 （对角线相等的平行四边形是矩形）．
新知讲解
例5 如图，四边形ABCD是由两个全等正三角形ABD和BCD组成的，M、N分别为BC、AD的中点．
求证：四边形BMDN是矩形．
分析：由已知条件，可知BN⊥AD，DM⊥BC，因此，在四边形BMDN中，已有两个角是直角，只需再证明另一个角且是直角即可得到它是一个矩形．
新知讲解
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角形，
∴∠ADB＝∠CDB＝60°，
又∵M、N分别为BC、AD的中点，
∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠BDM＝30°，
∴∠DNB＝∠DMB＝90°，
∴∠MDN＝∠ADB＋∠BDM＝90°，
∴四边形BMDN是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
例6 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB，交AG于点E．
求证：四边形ADCE是矩形．
分析：根据已知条件AB＝AC，我们可以先通过证明四边形ABDE是平行四边形，得到DE＝AB＝AC，因此可以利用“对角线相等的平行四边形是矩形”这一判定定理证明四边形ADCE是矩形．
新知讲解
新知讲解
证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠B＝∠ACB，BD＝DC，
又∵AE是△ABC的外角∠CAF的平分线，
∴∠1＝　∠CAF＝ （∠B＋∠ACB）＝∠B，
∴AE∥BC，
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE＝BD，AB＝DE，
∴AC＝DE，AE＝DC，
又∵AE∥DC，∴四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．
1．在数学活动课上，老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的是（　　）
A．测量对角线是否相互平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量对角线是否相等
D．测量其中三个角是否都为直角
2．如图，要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB=BC B．AO=BO
C．∠1=∠2 D．AC⊥BD
课堂练习
B
D
课堂练习
3．木工做一个长方形桌面，量得桌面的长为45cm，宽为28cm，对角线为53cm，这个桌面　 　．（填“合格”或“不合格”）．
4．如图，为了检查平行四边形书架ABCD的侧边是否与上、下边都垂直，工人师傅用一根绳子比较了其对角线AC，BD的长度，若二者长度相等，则该书架的侧边与上、下边都垂直，请你说出其中的数学原理
　 　 　　 　　 ．
对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的四个角都是直角
合格
课堂练习
5．如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，过点C作BD的平行线CE，过点D作AC的平行线DE，CE与DE相交于点E．证明：四边形OCED是矩形．
证明：∵DE//AC，CE//BD，
∴DE//OC，CE//OD，
∴四边形OCED是平行四边形．
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°，
∴四边形OCED是矩形．
课堂练习
6．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边的中点，以AB、BD为邻边作?ABDE，连接AD，EC．
求证：四边形ADCE是矩形．
证明：∵AB=AC，D为BC边的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，∴∠ADC=90°，
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，AE=BD，
∴AE∥CD，AE=CD，∴四边形ADCE是平行四边形，
又∵∠ADC=90°，∴四边形ADCE是矩形．
拓展提高
7．已知：如图，?ABCD，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE、BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．
证明：在平行四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AB//CD，则BE//CD．
又∵AB＝BE，∴BE＝DC，
∴四边形BECD为平行四边形，
∴OD＝OE，OC＝OB．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠BCD，即∠A＝∠OCD．
又∵∠BOD＝2∠A，∠BOD＝∠OCD+∠ODC，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴OC＝OD，∴OC+OB＝OD+OE，
即BC＝ED，∴平行四边形BECD为矩形．
中考链接
1、 【2018·湖北】下列识别图形不正确的是（　　）
A．有一个角是直角的平行四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
2、【2018·湖南】如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．∠ABC＝90° D．∠1＝∠2
C
C
课堂总结
1、矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2、矩形的判定方法有哪些？
角：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形 ；
（2）有三个角是直角的四边形是矩形．
对角线： （1）对角线相等的平行四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
板书设计
∠A=∠B=∠C=90°
□ABCD
AC=BD
□ABCD
∠A=90°
□ ABCD是矩形
四边形ABCD
是矩形
□ ABCD
是矩形
例4
例5
例6
作业布置
教材106页第1题、第2题，107页第3题、第5题．