华师大版 八年级下册课件：19.2.1 菱形的性质(共25张PPT)

菱形的性质
数学华师大版 八年级下
新知导入
请观察下列这些图形有什么共同特征？
都有一种特殊的平行四边形——菱形
新知讲解
在平行四边形中，如果内角大小保持不变，仅改变边的长度，请仔细观察和思考：在这变化过程中，哪些关系没变？哪些关系变了？
平行四边形
邻边相等
菱形
如果改变了边的长度，使两邻边相等，那么这个平行四边形成为怎样的四边形？
新知讲解
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形．
新知讲解
将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形？
菱形
新知讲解
画出菱形的两条折痕，并通过折叠手中的图形回答以下问题：
2、菱形是轴对称图形吗？菱形有几条对称轴？
对称轴之间有什么关系？
1、菱形是中心对称图形吗？若是，对称中心是什么？
菱形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点．
菱形是轴对称图形，
对称轴有两条是对角线所在的直线，两条对称轴互相垂直．
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．
新知讲解
具备平行四边形所有的性质
对称性：
边：
角：
对角线：
既是轴对称图形又是中心对称图形
菱形是特殊的平行四边形，因此菱形除具有平行四边形的性质外，还有它的特殊性质．你能说出菱形有哪些特殊性质吗?
新知讲解
画出菱形的两条对称轴，从边、角、对角线三个方面猜想菱形具有哪些特殊的性质？如何证明？
猜想：
1、菱形的四条边都相等．
2、菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
如何验证以上的猜想？　
新知讲解
命题：菱形的四条边都相等．
已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AB=BC=CD=AD．
证明： ∵四边形ABCD是菱形，
　　　 ∴ AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
　　　 ∴ AB=DC，AD=BC，
∴ AB=BC=CD=AD．
定理：菱形的四条边都相等．
新知讲解
命题：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
已知：如图，四边形ABCD是菱形．
求证：AC⊥BD ；
AC平分∠DAB和∠DCB；BD平分∠ADC和∠ABC．
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=AB，OB＝OD，
在等腰△DAC中，∵AO=CO，
∴DB⊥AC，DB平分∠ADC（三线合一）．
同理AC平分∠BCD；BD平分∠ABD和∠ADC．
定理：菱形的对角线互相垂直，且每条对角线对平分一组对角．
新知讲解
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
对称性
边
角
对角线
平行四边形的
一般性性质
矩形的
特殊性质
菱形的
特殊性质
对边平行且相等
邻边垂直
四个角都是直角
中心对称图形
既是中心对称图形又是轴对称图形
对角相等
邻角互补
对角线互相平分
对角线相等
既是中心对称图形又是轴对称图形
四条边相等
对角线互相垂直
平行四边形、矩形、菱形的性质对比
新知讲解
菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形的面积吗?
思考：计算菱形的面积除了上式方法外，利用对角线能计算菱形的面积公式吗?
E
【菱形的面积公式】 S菱形 = 底×高 = 对角线乘积的一半．
新知讲解
例1 如图，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B，试求出∠B的大小，并说明△ABC是等边三角形．
解：在菱形ABCD中，∵∠BAD+∠B=180°，∠BAD=2∠B，
∴∠B=60°．
在菱形ABCD中，
∵AB=BC（菱形的四条边都相等），∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形．
新知讲解
例2 如图，已知菱形ABCD的边长为2 cm，∠BAD=120°，对角线AC、BD相交于点O．试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．（结果保留根号）
解：∵四边形是ABCD菱形，
∴OB=OD，AB=AD（菱形的四条边都相等），
在△ABO和△ADO中，∵OB=OD，AO=AO，OB=OD，∴△ABO≌△ADO．
∴∠BAO=∠DAO= ∠BAD=60° ．
在△ABC中，∵AB=BC，∠BAC=60° ，
∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=2．
在菱形ABCD中，∵AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），
∴△AOB为直角三角形，
∴BO= ，∴BD=2BO= （cm）．
新知讲解
例3 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE垂直且平分CD，垂足为点E．求∠BCD的大小．
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=DC=CB=BA（菱形的四条边都相等）．
又∵AE垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴AC=AD=DC=CB=BA，
即△ADC与△ABC都为等边三角形．
∴∠ACD=∠ACB=60°，
∠BCD=120°．
课堂练习
1、菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 　　B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．对角线相等
2、下列说法错误的是 （ ）
A．菱形的四边都相等
B．菱形的对角线互相垂直
C．菱形的对角线互相平分且平分一组对角
D．菱形的对角线相等且互相平分
B
D
课堂练习
3、如图在菱形ABCD中，对角线AC，BD交与点O，下列说法错误的是（ ）
A． AB∥CD
B． AC=BD
C．AC ⊥BD
D．OA=OC
4、如图在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，AE ⊥BC于点E，则AE的长是（ ）
A．3 　　　B．2
C．9.6 　　D．4.8
B
D
课堂练习
5、如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=6cm，BD=8cm，求菱形的高AE．

解：在菱形ABCD中，
∵AC=6m，BD=8cm，
∴OC= AC= ×6=3cm，OB= BD= ×8=4cm，
∵AC⊥BD，
∴BC=5cm，
∴CD=BC=5cm，S菱形ABCD=CD?AE= AC?BD，
即5AE= ×6×8，解得AE=4.8cm．
课堂练习
6、如图，在菱形ABCD中，过B作BE⊥AD于E，过B作BF⊥CD于F．
求证：AE=CF．
证明：∵菱形ABCD，
∴BA=BC，∠A=∠C，
∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°，
在△ABE与△CBF中
∠BEA＝∠BFC＝90° ，∠A＝∠C，BA＝BC ，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=CF．
拓展提高
7、如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过C作CE⊥AC，交AB的延长线于点E．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠E=50°，求∠DAB的度数．
拓展提高
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，DC∥BE，
又∵CE⊥AC，
∴BD∥EC，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD，
∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，
∴∠CEA=∠DBA=50°，
∴∠ADB=50°，
∴∠DAB=180°-50°-50°=80°．
中考链接
1、【2018?大连】如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB=5，AC=6，则BD的长是（　　）
A．8 B．7 C．4 D．3
2、【2018?淮安】如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
A
A
课堂总结
2．思想方法：
S菱形=底×高= 两对角线积的一半．
从知识和思想方法上谈谈你的收获？
（2）探究问题的思维方法：观察—猜想—实验—验证．
1．知识上：
特性＂特＂在“边、对角线、对称性”．
有一组邻边相等的平行四边形叫菱形．
1个定义；
2个公式；
3个特性；
（1）菱形转化成直角三角形或等腰三角形．
板书设计
菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等．
菱形的性质定理2：
菱形的对角线互相垂直，
且每条对角线对平分一组对角．
例1
例2
例3
菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
对称中心是对角线的交点，对称轴是对角线所在的直线．
作业布置
教材113页第1题、第2题、第3题．