角平分线模型知识精讲
1.
过角平分线上一点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质来解决问题，例：
已知：P是平分线上的一点，过点P作于点M，过点P作于点N，则.
2.
若题目中已经有了角平分线和角平分线上一点到一边的垂线段（距离），则作另一边的垂线段，例：
已知：AD是的平分线，，过点D作于点E，则.
3.
在角的两边上取相等的线段，结合角平分线构造全等三角形（角边等，造全等），例：
已知：点D是平分线上的一点，在OA、OB上分别取点E、F，且，连接DE、DF，则.
4.
过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，例：
已知：点D是平分线上的一点，过点D作，则是等腰三角形，即.
证明：是的平分线，，
又，是等腰三角形.
5.
有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边所在直线于一点，也可构造等腰三角形，例：
已知：OC平分，点D是OA上一点，过点D作交OB的反向延长线于点E，则.
6.
有角平分线时，可将等角放到直角三角形中，构造相似三角形，也可以另加一对相等的角构造相似三角形，例：
（1）已知：OC平分，点E、F分别在OA、OB上，过点E作于点M，过点F作于点N，则，如图所示：
（2）已知：OC平分，点E、F在OC上，作于点M，作于点N，则，如图所示：
（3）已知：OC平分，点E、F在OC上，作，则，如图所示：
7.
【内内模型】如图，两个内角平分线交于点D，则.
证明：平分，平分，，
在中，
①
在中，
②
，
由得，
即.
8.
【内外模型】如图，的一个内角平分线和一个外角平分线交于点D，则.
证明：平分，平分，，
在中，，即
①
在中，
②
由得
，即.
9.
【外外模型】如图，两个外角的角平分线交于点D，则.
证明：平分，平分，，
在中，，即
①
，
②
由①＝②，得，
在中，，
，，
即，
由④可得，代入③式可得，
整理可得.半角模型知识精讲
1.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，则BE＋DF＝EF.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90?得到△ABG，使得AD与AB重合，
通过证明△AEF≌△AEG即可得到BE＋DF＝EF.
2.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，则AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
简证：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90?得到△ABG，使得AD与AB重合；将△ABE绕点A逆时针旋转90?得到△ADH，使得AB与AD重合.
∵旋转，∠1＝∠H，又∵△AFE≌△AFH，∴∠2＝∠H，∴∠1＝∠2；
∵旋转，∠4＝∠G，又∵△AEF≌△AEG，∴∠3＝∠G，∴∠3＝∠4，
即AE平分∠BEF，AF平分∠DFE.
3.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，则.
简证：通过上述的全等直接可以得到，不再证明.
4.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，过点A作AH⊥EF交EF于点H，则AH＝AB.
简证：由上述结论可知AE平分∠BEF，又∵AB⊥BC，∴AH＝AB.
5.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，则.
简证：由结论1可得EF＝BE＋DF，则＝CE＋CF＋EF＝CE＋CF＋BE＋DF＝2AB.
6.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：如图，将△AND绕点A顺时针旋90?得到△AGB，连接GM.
通过证明△AMG≌△AMN得MN＝MG，DN＝BG，∠GBE＝90?，即可证.
7.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则△BME
△DFN
△AMN
△BAN
△DMA
△AFE.
简证：通过证明角相等得到三角形相似，要善于使用上述结论.
8.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：连接AC，∵∠DAF＝∠EAC，∠ADB＝∠ACB，∴△ECA△NDA，
又∵△AMN△AFE，∴.
【补充】通过面积比是相似比的平方比亦可得到.
9.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论7可得△DAM△BNA，∴，即.
10.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：设，在Rt△CEF中，
，化简得，.
11.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则当BE＝DF时，EF最小，最小，最大.
证明：如图，作△AEF的外接圆，点P为EF的中点，连接OA、OE、OF、PC，过点A作AH⊥EF.
∵∠EAF＝45?，∴∠EOF＝90?，设，则，
，，
∴当点A、O、P、C四点共线时，即BE＝DF，、EF、均有最小值，有最大值.
12.
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45?，AE、AF分别与BD相交于点M、N，则.
简证：由结论8可得△△ECA△NDA，，
，
同理可得.
补充：等腰直角三角形与“半角模型”
如图所示，在等腰直角三角形ABC中，若∠DCE＝45?，则.
证明：如图，将△ACD绕着点C顺时针旋转90?得到△，连接.
∵旋转，∴△ACD≌△，∴AD＝，
在△DCE与△中，
，∴ED＝，
∵∠BE＝∠BC＋∠EBC＝∠DAC＋∠EBC＝90?，∴，.对角互补模型知识精讲
1.
全等型—90?
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90?，OC平分∠AOB.
则可以得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
证明：如图，过点C作CM⊥OA于点M，CN⊥OB于点N.
∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），
在正方形MONC中，由题意可得∠MCN＝360?－∠CMO－∠AOB－∠CNO＝90?，∴∠MCD＋∠DCN＝90?，
又∵∠DCE＝90?，∴∠ECN＋∠MCD＝90?，∴∠MCD＝∠ECN，
∴△CDM≌△CEN，∴CD＝CE，∴结论①成立；
∵四边形MONC为正方形，∴OM＝ON＝OC，
又∵OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝OD＋ON＋DM＝OM＋ON，∴OD＋OE＝OC，∴结论②成立；
∴，∴结论③成立.
2.
如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90?，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.
证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF＝CG，∴四边形CFOG为正方形，
∵∠1＋∠2＝90?，∠3＋∠2＝90?，∴∠1＝∠3，∴△CDF≌△CEG，
∴CD＝CE，结论①成立；
在正方形CFOG中，OF＝OG＝OC，
∵OE－OD＝OG＋GE－OD＝OG＋FD－OD＝OG＋OF，∴OE－OD＝OC＝OC，结论②成立；
3.
全等型—60?和120?
如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120?，OC平分∠AOB.
则可得到如下几个结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
由角平分线性质可得CF＝CG，在四边形OFCG中，∠FCG＝60?，
∵∠FCD＋∠DCG＝∠GCE＋∠DCG＝60?，∴∠FCD＝∠GCE，∴△CDF≌△CEG（ASA），
∴CD＝CE，结论①成立；
在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝60?，∴OF＝OG＝OC，
又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝OC＝OC，结论②成立；
，结论③成立.
4.
全等型—和
如图，已知∠AOB＝，∠DCE＝，OC平分∠AOB.
则可以得到以下结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝2OC·cos，③.
证明：如图，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
证△CDF≌△CEG可得CD＝CE，结论①成立，
在Rt△COF和Rt△COG中，∠COF＝∠COG＝，∴OF＝OG＝OC·，
又∵OD＋OE＝OD＋OG＋EG＝OD＋OG＋DF＝OF＋OG，∴OD＋OE＝2OC·cos，结论②成立，
，结论③成立.
5.
相似型—90?
如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90?，∠BOC＝.
结论：CE＝CD·.
证明【方法一】：如图1，过点C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分别为F、G.
先证△CEG∽△CDF，即，又∵四边形CFOG是矩形，∴CF＝DG，
在Rt△COG中，，∴CE＝CD·；
证明【方法二】：如图2，过点C作CF⊥OC交OB于点F.
通过证明△CFE∽△COD可得.中点模型知识精讲
1.
在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：
已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.
2.
在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：
（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.
（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.
3.
将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：
（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.
（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.
4.
将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：
如图，已知点E是△ABC中线AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.
5.
有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：
如图，已知点C为边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，则，，四边形ADBC为平行四边形.
6.
有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：
如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.
7.
有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：
如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.
8.
有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：
如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，.
9.
当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：
（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.
（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.倍长中线模型知识精讲
1.
如图，在矩形ABCD中，若BD＝BE，DF＝EF，则AF⊥CF.
证明：连接AC，如图所示：
由题意可证△ADF≌△HEF，∴AD＝BC＝EH，
∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，
又∵BD＝BE，∴AC＝CH，
∵AF＝FH，∴点F是AH的中点，∴AF⊥CF（三线合一）.
2.
如图，四边形ABCD是平行四边形，BC＝2AB，M为AD的中点，CE⊥AB于点E，则∠DME＝3∠AEM.
法一、证明：延长EM交CD的延长线于点N，连接CM，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠AB∥CD，∴∠AEM＝∠N，
在△AEM与△DNM中，，∴△AEM∽△DNM（ASA），∴EM＝MN，
又∵AB∥CD，CE⊥AB，∴CE⊥CD，∴CM是Rt△ECN斜边的中线，
∴MN＝MC，∠N＝∠MCN，∴∠EMC＝2∠N＝2∠AEM，
∵在平行四边形ABCD中，BC＝AD＝2DM，BC＝2AB＝2CD，∴DC＝MD，
∴∠DMC＝∠MCD＝∠N＝∠AEM，
∴∠EMD＝∠EMC＋∠CMD＝2∠AEM＋∠AEM，∴∠EMD＝3∠AEM.
法二、证明：设BC的中点为N点，连接MN交EC于点P，连接MC，如图所示：
由题意可得AM＝BN，MD＝NC，
∵BC＝2AB，∴四边形ABNM与四边形MNCD均为菱形，
∴MN∥AB，∠AEM＝∠EMN，
∵CE⊥AB，∴MN⊥CE，
又∵AM＝MD，MN∥AB，∴点P为EC的中点，
∴MP垂直平分EC，∴∠EMN＝∠NMC，
又∵四边形MNCD是菱形，∴∠NMC＝∠CMD，
∴∠EMD＝3∠EMN＝3∠AEM.
3.
如图，△ADE与△ABC均为等腰直角三角形，且EF＝CF，求证
（1）DF＝BF；
（2）DF⊥BF.
证明：延长BF至点G，使得FG＝FB，连接BD、DG、EG，如图所示：
在△EFG与△CFB中，，∴△EFG≌△CFB，
∴EG＝CB，∠EGF＝∠CBF，∴EG∥BC，
∵AB＝BC，AB⊥CB，∴EG＝AB，EG⊥AB，
又∵∠AED＝∠DAE，∴∠DAB＝∠DEG，
在△DAB与△DEG中，，∴△DAB≌△DEG，
∴DG＝DB，∠ADB＝∠EDG，∴∠BDG＝∠ADE＝90?，
∴△BGD为等腰直角三角形，∴DF＝BF且DF⊥BF.
4.
如图，△OAB∽△ODC，∠OAB＝∠ODC＝90?，BE＝EC，求证：
（1）AE＝DE；
（2）∠AED＝2∠ABO.
证明：（1）取OB、OC的中点M、N，连接AM、EM、EN、DN，如图所示：
∵∠BAO＝∠ODC＝90?，BM＝MO，CN＝NO，
∴AM＝OM＝BM，DN＝CN＝NO，OM∥EN，EM∥ON，∴四边形OMEN为平行四边形，
∴OM＝EN，EM＝ON，
∴AM＝EN，EM＝DN，∠MAO＝∠AOB，∠NDO＝∠DON，
∵∠AMB＝∠MAO＋∠AOB，∠DNC＝∠DON＋∠NDO，∴∠AMB＝∠DNC，
∵∠BME＝∠BOC＝∠ENC，∴∠AMB＋∠BME＝∠DNC＋∠CNE，∴∠AME＝∠DNE，
在△AME与△END中，，∴△AME≌△END，∴AE＝DE；
（2）由（1）可得△AME≌△END，∴∠MAE＝∠NED，∠AEM＝∠EDN，
∵∠AED＝∠AEM＋∠MEN＋∠NED＝∠AEM＋∠EMB＋∠EAM，
又∵∠MAB＝∠MBA，∴∠AMB＋2∠ABO＝180?，∠AMB＋（∠MAE＋∠AEM＋∠EMB）＝180?，
∴∠MAE＋∠AEM＋∠EMB＝2∠ABO，∴∠AED＝2∠ABO.倍半角模型知识精讲
一、二倍角模型处理方法
1.
作二倍角的平分线，构成等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，作∠ABC的平分线交AC于点D，则∠DBC＝∠C，DB＝DC，即△DBC是等腰三角形.
2.
延长二倍角的一边，使其等于二倍角的另一边，构成两个等腰三角形.
例：如图，在△ABC中，∠B＝2∠C，延长CB到点D，使得BD＝AB，连接AD，则△ABD、△ADC都是等腰三角形.
例题：如图，在△ABC中，∠C＝2∠A，AC＝2BC，求证：∠B＝90?.
【解答】见解析
【证法一】如图1，作∠C的平分线CE交AB于点E，过点E作ED⊥AC于点D.
则∠ACE＝∠A，AE＝CE，
∵AE＝EC，ED⊥AC，∴CD＝AC，
又∵AC＝2BC，∴CD＝CB，∴△CDE≌△CBE，∴∠B＝∠CDE＝90?；
【证法二】如图2，延长AC到点D，使得CD＝CB，连接BD，取AC的中点E，连接BE.
由题意可得EC＝CD＝BC，∠DBE＝90?，
∵CD＝CB，∠D＝∠CBD，∴∠ACB＝2∠D，
∵∠ACB＝2∠A，∠A＝∠D，∴AB＝BD，
又∵AE＝DC，∴△ABE≌△DBC，∴∠ABE＝∠DBC，∴∠ABC＝∠EBD＝90?.
【证法三】如图3，作∠C的平分线CD，延长CB到点E，使得CE＝AC，∴AC＝BC＋BE.
∵AC＝2BC，∴BC＝BE，在△ACD与△ECD中，AC＝EC，∠ACD＝∠ECD，CD＝CD，
∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠E，
又∵∠DCB＝∠DCA＝∠A，∴∠E＝∠DCB，∴DC＝DE，∴∠ABC＝90?.
二、倍半角综合
1.
由“倍”造“半”
已知倍角求半角，将倍角所在的直角三角形相应的直角边顺势延长即可.
如图，若，则（）
2.
由“半”造“倍”
已知半角求倍角，将半角所在的直角三角形相应的直角边截取线段即可.
如图，在Rt△ABC（∠A＜45?）的直角边AC上取点D，当BD＝AD时，则∠BDC＝2∠A，设，则，在Rt△BCD中，由勾股定理可得，解得，故有.
三、一些特殊的角度
1.
由特殊角30?求tan15?的值
如图，先构造一个含有30?角的直角三角形，设BC＝1，，AB＝2，再延长CA至D，使得AD＝AB＝2，连接BD，构造等腰△ABD，则∠D＝∠BAC＝15?，.
2.
由特殊角45?求tan22.5?的值
由图可得，.
3.
“345”三角形
（1）如图1，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
（2）如图2，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则；
（3）如图3，Rt△ABC三边比为3:4:5，Rt△BCD三边比为，若，则.
