几何最值之瓜豆原理知识精讲
初中数学有一类动态问题叫做主从联动，这类问题应该说是非常出题，好多优秀老师都在研究它，原因是它在很多名校模考的时候经常出现，有的老师叫他瓜豆原理，个人理解可能是种瓜得瓜种豆得豆的意思吧，主动点运动的轨迹是什么，则从动点的轨迹就是什么。也有的老师叫他旋转相似，或者手拉手。我感觉这类问题在解答的时候需要有轨迹思想，就是先要明确主动点的轨迹，然后要搞清楚主动点和从动点的关系，进而确定从动点的轨迹来解决问题，但在解答问题时，要符合解不超纲的原则，所以最后解决问题还是用到了旋转相似的知识，也就是动态手拉手模型，下面整理一些题目来集中训练一下这类题目，希望对你能有所帮助.
涉及的知识和方法：
知识：①相似；②三角形的两边之和大于第三边；③点到直线之间的距离垂线段最短；④点到圆上点共线有最值。
方法：第一步：找主动点的轨迹
；第二步：找从动点与主动点的关系；第三步：找主动点的起点和终点；第四步：通过相似确定从动点的轨迹，第五步：根据轨迹确定点线、点圆最值
在此类题目中，题目或许先描述的是主动点P，但最终问题问的可以是另一点Q（从动点），根据P、Q之间存在某种联系，从P点出发探讨Q点运动轨迹并求出最值。
一、轨迹之圆篇
例1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析观察动图可知点Q轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O有什么关系？
考虑到Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO=AQ:AP=1:2．
结论：确定Q点轨迹圆即确定其圆心与半径，
由A、Q、P始终共线可得：A、M、O三点共线，
由Q为AP中点可得：AM=1/2AO．
Q点轨迹相当于是P点轨迹成比例缩放．
根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系；
根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系．
例2：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，作AQ⊥AP且AQ=AP．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析Q点轨迹是个圆，可理解为将AP绕点A逆时针旋转90°得AQ，故Q点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径．
考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
例3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？
分析考虑AP⊥AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；
考虑AP:AQ=2:1，可得Q点轨迹圆圆心M满足AO:AM=2:1．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．
模型总结
为了便于区分动点P、Q，可称点P为“主动点”，点Q为“从动点”．
此类问题的必要条件：两个定量
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：
∠PAQ=∠OAM；
（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：
AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．
按以上两点即可确定从动点轨迹圆，Q与P的关系相当于旋转+伸缩．
古人云：种瓜得瓜，种豆得豆．“种”圆得圆，“种”线得线，谓之“瓜豆原理”．
思考1：如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为一边作等边△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？
分析Q点满足（1）∠PAQ=60°；（2）AP=AQ，故Q点轨迹是个圆：
考虑∠PAQ=60°，可得Q点轨迹圆圆心M满足∠MAO=60°；
考虑AP=AQ，可得Q点轨迹圆圆心M满足AM=AO，且可得半径MQ=PO．
即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO≌△AQM．
小结可以理解AQ由AP旋转得来，故圆M亦由圆O旋转得来，旋转角度与缩放比例均等于AP与AQ的位置和数量关系．
思考2如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，以AP为斜边作等腰直角△APQ．
考虑：当点P在圆O上运动时，如何作出Q点轨迹？
分析Q点满足（1）∠PAQ=45°；（2）AP:AQ=：1，故Q点轨迹是个圆．
连接AO，构造∠OAM=45°且AO:AM=：1．M点即为Q点轨迹圆圆心，此时任意时刻均有△AOP∽△AMQ．即可确定点Q的轨迹圆．
二、轨迹之线段篇
引例：如图，P是直线BC上一动点，连接AP，取AP中点Q，当点P在BC上运动时，Q点轨迹是？
分析当P点轨迹是直线时，Q点轨迹也是一条直线．
可以这样理解：分别过A、Q向BC作垂线，垂足分别为M、N，在运动过程中，因为AP=2AQ，所以QN始终为AM的一半，即Q点到BC的距离是定值，故Q点轨迹是一条直线．
引例如图，△APQ是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ，当点P在直线BC上运动时，求Q点轨迹？
分析当AP与AQ夹角固定且AP:AQ为定值的话，P、Q轨迹是同一种图形．
当确定轨迹是线段的时候，可以任取两个时刻的Q点的位置，连线即可，比如Q点的起始位置和终点位置，连接即得Q点轨迹线段．
模型总结
必要条件：
主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；
主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．
结论：
P、Q两点轨迹所在直线的夹角等于∠PAQ（当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于MN与BC夹角）
P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ（由△ABC∽△AMN，可得AP:AQ=BC:MN）几何最值之将军饮马知识精讲
什么是将军饮马？
传闻在亚历山大有一位精通数学和物理的学者，名字叫海伦，有一天，一位罗马将军专程去拜访他，并向他请教一个百思不得其解的问题。
如图，将军每天从军营A出发，先到河边饮（yìn）马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使得行走的路程最短？
据说，海伦稍加思索就解决了它，此后，这个问题就被称为“将军饮马”，并流传至今.
为了方便，接下来我们将这一系列问题简化为一般的数学问题进行再次研究.
一、两点一线
1.
如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：由“两点间线段最短”可得当A、P、B三点共线时，PA＋PB的值最小，即为AB的长度.
构图：连接AB，AB与的交点即为点P，如图所示：
2.
如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得PA＋PB的值最小？
思路：和上题相比，这个问题就难在PA＋PB不是一条线段，而是一段折线段，由“两点之间线段最短”和“点到直线间，垂线段最短”可以将这个问题中的折线段转化为直线段.
构图：作点A关于的对称点A’，连接A’B，A’B与直线的交点即为点P，如图所示：
3.
如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：连接AB并延长与的交点即为点P，如图所示：
4.
如图，在直线两侧各有一个定点，分别是点A、B，怎样在直线上找到一点P，使得的值最大？
构图：作点B关于直线的对称点B’，连接AB’并延长与的交点即为点P，如图所示：
5.
如图，在直线同侧有A、B两个定点，怎样在直线上找到一点P，使得的值最小？
构图：连接AB，作AB的垂直平分线与直线交于点P，此时为0，如图所示：
二、一定两动
1.
如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使△PCD的周长最小？
构图：分别作点P关于OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’，交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小，P’P’’即为△PCD的周长最小值，如图所示：
2.
如图，点P在∠AOB的内部，怎么样在OA上找一点C，在OB上找一点D，使PD＋CD的值最小？
构图：作点P关于OB的对称点P’，过点P’作P’C⊥OA交OB于点D，交OA于点C，此时PD＋CD的值最小，P’C即为PD＋CD的值最小.
3.
如图，点P在∠AOB的内部，怎样在OA、OB上分别取点C、D，使得△PCD的周长最小？
构图：分别作点P、Q关于OA、OB的对称点P’、Q’，连接P’Q’分别交OA、OB于点C、D，此时△PCD的周长最小值为PQ＋P’Q’，如图所示：
三、两点两线
在直线m、n上分别找两点P、Q，使得PA＋PQ＋QB的值最小.
（1）A、B两点都在直线的外侧
（2）一个点在内侧，一个点在外侧
（3）两个点都在内侧几何变换之平移知识精讲
一、平移
1、平移的定义
把一个图形沿着一定的方向平行移动而达到另一个位置，这种图形的平行移动简称为平移。
2、平移的两个要素：
（1）平移方向；（2）平移距离。
3、对应点、对应线段、对应角一个图形经过平移后得到一个新的图形，这个新图形与原图形是能够互相重合的全等形，我们把互相重合的点称为对应点，互相重合的线段称为对应线段，互相重合的角称为对应角。
4、平移方向和距离的确定
（1）要对一个图形进行平移，在平移前必须弄清它的平移方向和平移距离，否则将无法实现平移，那么怎样确定这两点呢？
A.若给出带箭头的线段：从箭尾到箭头的方向表示平移方向，而带箭头的线段的长度，表示平移距离，也有时另给平移距离的长度。
B.若给出由小正方形组成的方格纸：在方格中的平移，从方向上看往往是要求用横纵两次平
移来完成（有特殊要求例外），而移动距离是由最终要达到的位置确定的。
C.具体给出从某点P到另一点P’的方向为平移方向，线段PP’的长度为平移距离。
D.给出具体方位（如向东或者西北等）和移动长度（如10cm）
（2）图形平移后，平移方向与平移距离的确定。图形平移后，原图形与新图形中的任意一对前后对应点的射线方向就是原平移方向，这对对应点间的线段长度就是原平移距离。
5、平移性质
图形平移的实质是图形上的每一点都沿着同一个方向移动了相同的距离。平移后的图形与原图形
①对应线段平行（或在同条一直线上）且相等；
②对应点连线平行（或在同一条直线上）且相等；
③图形的形状与大小都不变（全等）；
④图形的顶点字母的排列顺序的方向不变。
6、判别平移图形：
除根据定义判别外，还可以根据平移特征，从中去掉那些能互相替代和包含的内容，只要具
备以下三条：
（1）这两个图形必须是全等形；
（2）这两个全等形的对应线段必须互相平行或者在同一条直线上）
（3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。
以上为判别方法一，由判别方法一还可以演变推出如下判别方法二：
（1）这两个图形必须是全等形；
（2）这两个全等形的对应顶点字母的排列顺序在图中的方向必须相同（同位顺时针或同为逆时针）；
（3）这两个全等形的对应点连线必须互相平行（或在同一条直线上）。
二、坐标系中的平移
1.
一次函数的平移
设一次函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
2.
反比例函数的平移
设反比例函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
3.
二次函数的平移
设二次函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
4.
设函数的解析式为
若将它向上平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向下平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向左平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为；
若将它向右平移个单位长度，得到新的一次函数解析式为.
5.
函数平移规律
口诀1：上加下减，左加右减；
口诀2：左右横，上下纵，正减负加.
典例1、如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，若∠B＝90?，AB＝6，BC＝8，BE＝2，DH＝1.5，则阴影部分的面积为
.
【解答】10.5
【解析】∵△ABC沿BC方向平移得到△AEF，
∴DE＝AB＝6，
∵DH＝1.5，∴HE＝DE－DH＝6－1.5＝4.5，
∵∠B＝90?，∴四边形ABEH是梯形，
S阴影＝S△DEF－S△CEH＝S△ABC－S△CEH＝S梯形ABEH
.
典例2、如图，在△ABC中，∠AVB＝90?，AB＝8，D是AB的中点，现将△BCD沿BA方向平移1个单位，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于
．
【解答】3
【解析】∵在△ABC中，∠ACB＝90?，AB＝8，点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝CD＝AB＝4，
又∵△EFG由△BCD沿BA方向平移1个单位得到的，
∴GH∥CD，GD＝1，∴△AGH∽△ADC，
，即，解得GH＝3.
典例3、如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形沿轴负方向平移个单位长度后，点C恰好在该双曲线上，请求出的值？
【解答】2
【解析】如图，作CE⊥轴于点E，交双曲线于点G，作DF⊥轴于点F.
在中，令，解得，令，解得，
则OB＝3，OA＝1，
∵∠BAD＝90?，∴∠BAO＋∠DAF＝90?，
又∵∠BAO＋∠OBA＝90?，∴∠FAD＝∠OBA，
在Rt△OAB与Rt△FDA中，∠OBA＝∠FAD，∠AOB＝∠DFA，AB＝AD，∴△OAB≌△FDA（AAS）
同理可得△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF＝OB＝EC＝3，DF＝OA＝BE＝1，∴OF＝OE＝4，
∴D（4,1），将点D的坐标代入反比例函数解析式中，解得k＝4，即，
由OE＝4可以得到C的纵坐标为4，将代入中，得，即G（1,4），
∴CG＝2，即将正方形沿轴负方向平移2个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上.几何最值之费马点知识精讲
皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有"业余数学家之王"的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学.费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的"费马小定理"、"费马大定理"等.
今天所讲的问题不是费马提出来的，而是他解决的，因此又叫费马点，问题如下：
问题：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.
解答：若点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120?，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.
1.
如何作出费马点
第一步：分别以AB、AC为边作等边△ABD与等边△ACE，如图所示：
第二步：连接CD、BE，即可得到△ADC≌△ABE，如图所示：
第三步：此时CD、BE的交点即为点P（费马点），
第四步：以BC为边，作等边△BCF，连接AF，AF必过点P，且∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120?.
注：上述结论成立有个前提条件，△ABC中，最大的角要小于120?，若最大的角大于或等于120?，对应的图如下所示：
此时费马点就是最大角的顶点A，这种情况不会考，了解即可，接下来的研究，都是默认最大角小于120?.
接下来就是要证明，证明分两部分，一部分过三角形两条边向外作等边三角形，连接CD、BE，这两条线的交点为什么就是费马点？另一部分就是为什么费马点到对应顶点的连线之和是最小的.
如下图所示，在△AEB与△ACD中，
∵AB＝AD，AE＝AC，∠BAE＝∠DAC＝∠BAC＋60?，
∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE＝∠ADC，
在△BPM与△DAM中，
∵∠BMP＝∠DMA，∴∠BPM＝∠DAM＝60?，∴∠BPC＝120?；
在PD上截取PG＝PB，连接PA、BG，如下图所示：
由题意可得△BPG为等边三角形，则PB＝BG，
易证△ABP≌△DBG，∴PA＝GD，∠APB＝∠DGB＝120?，
∴∠APC＝120?，∴PA＋PB＋PC＝GD＋PG＋PC＝CD.
接下来只需证明CD为最短的线段，那么以上的问题都可以得证了！
如下图所示，在△ABC中任取一个异于点P的点Q，连接QA、QB、QC、QD，将△ABQ绕着点A顺时针方向旋转60?得到，则△ABQ与重合，且在线段DQ上或DQ外，易证是等边三角形.
由题意可得
，即CD为最短的线段.几何变换之轴对称（翻折）
翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的。以这个性质为基础，结合圆的性质，三角形相似，勾股定理设方程思想来考查。那么碰到这类题型，我们的思路就要以翻折性质为基础，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！
对于翻折和折叠题型分两个题型来讲，一类题型就是直接计算型，另一类是涉及到分类讨论型，由浅入深难度逐步加大，，掌握好分类讨论型的翻折问题，那么拿下中考数学翻折题型就没问题了！
解决翻折题型的策略
一：利用翻折的性质：
①翻折前后两个图形全等。对应边相等，对应角相等
②对应点连线被对称轴垂直平分
二：结合相关图形的性质（三角形，四边形等）
三：运用勾股定理或者三角形相似建立方程。
翻折折叠题型（一），直接计算型，运用翻折的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！一般难度小，我们要多做一些这些题型，熟练翻折的性质，以及常见的解题套路！
翻折折叠题型（二），分类讨论型，运用翻的性质，结合题中的条件，或利用三角形相似，或利用勾股定理设方程来解题！般难度较大，需要综合运用题中的条件，多种情况讨论分析，需要准确的画图，才能准确分析！
常见的几类类型
1.
纸片中的折叠
如图，有一条直的宽纸带，按照如图方式折叠，则＝
.
【解答】
【解析】，如图所示：
∵∠＝∠1，∠2＝∠1，∴∠＝∠2，∴2∠＋∠AEB＝180?，
即2∠＋∠30?＝180?，解得∠＝75?.
2.
三角形中的折叠
在△ABC中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE沿DE进行不同的折叠得△C’DE，对折叠后产生的夹角进行探究：
（1）如图1，把△CDE沿DE折叠在四边形ADEB内，则求∠1+∠2的和；
（2）如图2，把△CDE沿DE折叠覆盖∠A，则求∠1+∠2的和；
（3）如图3，把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系.
【解答】（1）∠1＋∠2＝60?；（2）∠1＋∠2＝50?；（3）∠2－∠1＝2∠C
【解析】（1）由图可得∠1＋∠2＝180?－2∠CDE＋180?－2∠CED
＝360?－2（∠CDE＋∠CED）
＝360?－2（180?－∠C）
＝2∠C
＝60?
（2）连接DG，如图所示：
∠1＋∠2＝180?－∠C’－（∠ADG＋∠AGD）
＝180?－30?－（180?－80?）
＝50?
（3）由图可得∠2－∠1＝180?－2∠CED－（2∠CDE－180?）
＝360?－2（∠CDE＋∠CED）
＝360?－2（180?－∠C）
＝2∠C
3.
矩形中的折叠
如图，沿矩形ABCD的对角线BD折叠，点C落在点E的位置，已知BC＝8，AB＝6，求折叠后重合部分的面积.
【解答】阴影部分的面积为
【解析】∵点C与点E关于直线BD对称，∴∠1＝∠2，
∵AD∥BC，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴FB＝FD，
设，则，
在Rt△BAF中，，即，解得，
∴阴影部分面积.
4.
圆中的折叠
如图，将半径为8的沿AB折叠，弧AB恰好经过与AB垂直的半径OC的中点D，则折痕AB＝
.
【解答】AB
=
【解析】延长CO交AB于E点，连接OB，如图所示：
∵CE⊥AB，∴E为AB的中点，
由题意可得CD=4，OD=4，OB=8，
DE
=
(8×2
-
4)
=
6，OE=6-4=2，
在Rt△OEB中，根据勾股定理可得：AB
=
.几何最值之阿氏圆知识精讲
在平面上，到线段两端距离相等的点，在线段的垂直平分线上，即对于平面内的定点A、B，若平面内有一动点P满足PA:PB＝1，则P点轨迹为一条直线（即线段AB的垂直平分线），如果这个比例不为1，P点的轨迹又会是什么呢？两千多年前的阿波罗尼斯在其著作《平面轨迹》一书中，便已经回答了这个问题。接下来，让我们站在巨人的肩膀上，一起探究PA：PB＝k（k≠1）时P点的轨迹。
对于平面内的定点A、B，若在平面内有一动点P且P满足PA：PB＝k（k≠1），则动点P的轨迹就是一个圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”，如图所示：
借助画板工具我们发现，动点P在运动过程中，PA、PB的长度都在变化，但是PA：PB的比值始终保持不变，接下来我们在深入研究一下！
若，设，如图所示：
由图可以发现在AB上存在点C使得，在AB延长线上存在点D使得，也就是说，当点P与点C、D重合时，符合条件；
当点P不与点C、D重合时，对于任意一点P，连接PA、PB、PC，可得，所以PC为△PAB一条内角平分线，再连接PD，可得，所以PD为△PAB一条外角平分线，所以PC⊥PD，即∠CPD＝90?，所以点P的轨迹是以CD为直径的一个圆.
当我们遇到平面内一动点到两定点之比为定值且不为1的情况时，可以在过两定点的直线上按定比确定内分点和外分点，并以之为直径做圆从而确定动点的轨迹.
如何具体证明P点的轨迹就是一个完整的圆呢？
分别取线段AB的内外分点C、D，再取CD中点O，可得，设，则，由线段位置关系可得AC＋BC＋BD＝AD，则，解得，.
又，即，
整理得，即，
当点P在一个以O为圆心，r为半径的圆上运动时，如图所示：
易证：△BOP∽△POA，，∴对于圆上任意一点P都有.
对于任意一个圆，任意一个k的值，我们可以在任意一条直径所在直线上，在同侧适当的位置选取A、B点，则需，就可以构造出上述的A字型相似（详见本专辑的相似模型）.
例1、如图，正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上一动点，则的最小值为
，的最大值为
.
【解答】最小值为5，最大值为5
【解析】在BC上取一点G，使得BG＝1，连接PG、DG，如图所示：
∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，，
∴，
在△PDG中，DP＋PG≥DG，∴当D、G、P共线时，的值最小，
最小值为；
当点P在DG的延长线时，的值最大，如图所示：
此时最大值也是DG，最大值为5.
例2、如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，点P为弧AB上一动点，求的最小值.
【解答】
【解析】当A、P、D三点共线时，的值最小.
连接PB、CO，AD与CO相交于点M，如图所示：
∵AB＝BD＝2,BD是⊙O的切线,
∴∠ABD＝90?,∠BAD＝∠D＝45?,
∵AB是⊙O直径,∴∠APB＝90?,
∴∠PAB＝∠PBA＝45?,∴PA＝PB,PO⊥AB,
∵AC是⊙O的切线,∴AC⊥AB,
∴AC∥PO,∠CAO＝90?
∵AC＝PO＝1,
∴四边形AOPC是平行四边形,
而OA＝OP,∠CAO＝90?,
∴四边形AOPC是正方形,
，
∴PC＋PD＝PM＋PD＝DM,
∵DM⊥OC,∴由"垂线段最短"可知此时PC＋PD的值最小，
最小值为.几何最值之胡不归知识精讲
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家。由于着急只考虑到了"两点之间线段最短"，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着"胡不归？胡不归？"
看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题.
将这个问题数学化，我们不妨设总时间为，则，
由可得，提取一个得，
若想总的时间最少，就要使得最小，
如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为，且，
作DG⊥AE于点G，则，
将转化为DG＋DB，
再过点B作BH⊥AE于点H，交驿道所在直线于点，则就是我们要找的点，此时DG＋DB的最小值为BH，
，
综上，所需时间的最小值为，
少年想要尽快回家，应沿着驿道到达点之后，再沿着B路线回家，或许还能见到父亲的最后一面.
解决此类问题的一般方法：
第一步：将所求的线段和改写成的形式；
第二步：构造一个角，使得；
第三步：过目的地作所构造的角的一边的垂线，该垂线段的长度就是所求的最小值；
第四步：计算.
例1：如图，P为正方形ABCD对角线BD上一动点，若AB＝2，求AP＋BP＋CP的最小值.
【解答】
【解析】连接AC，作∠DBE＝∠30?，交AC于点E，过点A作AF⊥BF，垂足为F，如图所示：
在Rt△PBF中，∵∠PBF＝30?，，∴的最小值即为线段AF的长。
在△ABF中，∵∠BAE＝45?，∠ABE＝75?，∴∠AEB＝60?，
解得，
通过面积法可得，求得，
∴AP＋BP＋CP的最小值是.
例2：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，△COD关于CD的对称图形为△CED.
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）连接AE，若AB＝6，.
①求sin∠EAD的值；
②若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连结OP，一动点Q从点O出发，以1个单位每秒的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以1.5个单位每秒的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走完全程所需的时间.
【解答】（1）见解析；（2）①，②
【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，
∵AC与BD交于点O，且△COD、△CED关于CD对称，∴DO＝OC，DO＝ED，OC＝CE，
∴DO＝OC＝CE＝ED，∴四边形OCED是菱形；
（2）①设AE交CD于点K，∵四边形OCED是菱形，∴DE∥AC，DE＝OC＝OA，
∴，
又∵AB＝CD＝6，∴DK＝2，CK＝4，
在Rt△ADK中，，
；
②作PF⊥AD于点F，易得，
∵点Q的运动时间，
∴当O、P、F三点共线且OF⊥AD时，OP＋PF的值最小，此时OF是△ACD的中位线，
，
∴，
.
综上，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短，AP的长为，点Q走完全程需要的时间为3s.几何变换之旋转
1.
旋转的概念
将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角.
2.
旋转三要素：旋转中心、旋转方形和旋转角度.
3.
旋转的性质
一个图形与它旋转后所得到的图形：
（1）对应点到旋转中心的距离相等；
（2）两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等.
注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转.
4.
旋转作图
在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.
具体步骤如下：
（1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心；
（2）把连线按要求（顺/逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；
（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；
（4）连接所得到的对应点.
5.
旋转中的全等变换（详细知识点见本专辑的半角模型、对角互补模型、全等模型等）.
（1）等腰直角三角形中的半角模型
（2）正方形中的半角模型
6.
自旋转模型
有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等.
（1）60?自旋转模型
（2）90?自旋转模型
（3）等腰旋转模型
（4）中点旋转模型（倍长中线模型）
7.
共旋转模型
（1）等边三角形共顶点旋转模型
（2）正方形共顶点旋转模型
8.
旋转相似
