直角三角形存在性问题知识精讲
1.
“两线一圆”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形。
①过点A作线段AB的垂线，除点A外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形；
②过点B作线段AB的垂线，除点B外，垂线上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形；
③以线段AB为直径作圆，除AB的中点（圆心）外，圆上任意一点都可以与A、B两点组成直角三角形.
同样的，我们将上述情况放到同一个图形中，如下图所示：（AB所在直线上的点要去掉，即为图中红色的点）
“两线一圆”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中也会对C点有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2.
两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：（以上述题目为例）
（1）表示出A、B、C的坐标；
（2）表示出线段AB、AC、BC的长；
（3）分类列方程：①，②，③；
（3）解方程；
（4）检验。
例1：如图所示，在中，，，D、E为线段BC上的两个动点，且（E在D的右边），运动初始时D与B重合，当E与C重合时运动停止，过点E作交AB于F，连接DF，设，如果为直角三角形，求的值.
【解答】或
【解析】在中，是确定的锐角，那么按照直角顶点分类，直角三角形BDF存在两种情况，如果把夹的两条边用含有的式子表示出来，分两种情况列方程就可以了.
如图1，作，垂足为H，那么H为BC的中点，
在中，，
由得，即，解得，
①如图2，当时，由，得，
，解得；
②如图3，当时，，得，
，解得.
例2：如图，已知直线经过点，与轴相交于点B，若点Q是轴上一点，且为直角三角形，求点Q的坐标.
【解答】，，，
【解析】将代入中，解得，
①如图1，过点A作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
②如图2，过点B作AB的垂线交轴于，
由AB的解析式可得的解析式为，即；
③如图3，以AB为直径画圆与轴分别交于，作轴，垂足为点E，则，
，即，解得或3，，
综上，，，，.等腰三角形存在性问题知识点精讲
1.
“两圆一线”几何法
已知线段AB，在平面内找一点C，使△ABC为等腰三角形。
①以A点为圆心，AB为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
②以B点为圆心，BA为半径作圆，除AB所在直线与圆的交点外，圆上任意一点都可以与点A、B组成以AB为腰的等腰三角形，如图所示：
③作AB的垂直平分线，除与AB的交点外，垂直平分线上任意一点都可以组成以AB为底的等腰三角形，如图所示：
PS：上述图中的五个红色点不能与A、B两点组成等腰三角形，要去电，所以此方法又被称为“两圆一线去五点法”，为了更好的观察，下面我们将上述三个图形合并成一个，如图所示：
“两圆一线去五点”法会得到无数个满足条件的点C，一般题目中都会对C点都有限制条件，使得C点的个数变为有限的，所以此类题一定要考虑全面，将所有满足题中条件的点准确找出来，不能多，也不能少。
2.
两点间距离公式代数法
代数法解题步骤：
（1）列出三边长的平方；
（2）分类列方程；
（3）解方程；
（4）检验。
注：若△ABC是等腰三角形，那么可以分为①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC三种情况.
例1、如图所示，在平面直角坐标系中，已知点D的坐标为（3，4），点P是轴正半轴上的一动点，如果是等腰三角形，求点P的坐标？
【解答】、、
【解析】方法一、几何法
①当时，以D为圆心，DO为半径画圆，与轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，此时，如图1所示；
②当时，以O为圆心，OD为半径画圆，与轴的正半轴交于点，如图2所示；
③当时，画OD的垂直平分线与轴的正半轴交于点P，设垂足为点E，如图3所示，
在中，此时；
方法二：代数法
设，由题意可得，
①当时，，解得，
当时，既不满足点P在轴的正半轴
，也不存在；
②当时，，解得，如图4所示，
当时，存在，但点P不在轴的正半轴上，故舍去；
③当时，，解得.
例2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，AC＝4cm，点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，当点D运动多少秒时，以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形？（结果可含根号）．
【解答】当点D运动8秒或秒或秒时，△ABD为等腰三角形
【解析】在Rt△ABC中，
∵∠ACB＝90°，AB＝8
cm，AC＝4
cm，
，
∵点D从点B出发，以每秒cm的速度在射线BC上匀速运动，
则BD＝tcm，
以A、D、B为顶点的三角形恰为等腰三角形时，分三种情况：
①当
BD＝AD
时，如图1，过D作DE⊥AB于E，则AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△ACB中，∵AC＝4，AB＝8，
∴∠B＝30°，
cos∠B＝cos30°＝，
，
；
②当AB＝BD时，如图2，
∵AB＝8，BD＝t，
则t＝8，
t＝；
③当AD＝AB时，如图3，
∵∠ACB＝90°，
∴DC＝BC＝，
则t＝，
t＝8；
综上，当点D运动8秒或秒或秒时，△ABD为等腰三角形．
总结：几何法只要图画的够好，就能快速找到目标，需要注意三点共线的特殊情况；代数法不需要画图，但有时计算量会比较大，在计算过程要细心点，而且算出来的结果要进行检验，这类存在性的问题。
要能够把几何法与代数法相结合，才能使得解题又快又准。菱形存在性问题知识精讲
一、关于菱形的基础知识
1、什么是菱形？
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
2、菱形的性质
菱形具有平行四边形的一切性质；
菱形的四条边都相等；
菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形也是轴对称图像，有两条对称轴（对角线所在的直线）.
3、菱形的判定
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
四条边都相等的四边形是菱形.
二、菱形存在性问题解题策略
若将菱形放入坐标系中，则菱形四个点的坐标需满足：
，
一般情况下，我们解决菱形存在性问题有两种思路：①先证平行四边形，再证菱形；②先等腰，再菱形.
典例一、如图，在坐标系中，已知A（1，1）、B（5，4），点C在x轴上，在平面内任取一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形.
【解答】见解析
【解析】思路1：设点C的坐标为，点D的坐标为，
①当AB为对角线时，即AB与CD互相平分，且AC＝BC，则
，解得，如图所示：
②当AC为对角线时，即AC与BD互相平分，且BA＝BC，则
，解得，如图所示：
③当AD为对角线时，则
，解得，如图所示：
思路2：先用等腰三角形存在性方法确定点C，再确定点D.
①当AB＝AC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
②当BA＝BC时，如图所示：
C点的坐标为，对应的点D的坐标为；
C点的坐标为，对应的点D的坐标为.
③当AC＝BC时，如图所示：正方形存在性问题知识精讲
一、关于正方形的基础知识
1.
正方形的定义
四条边相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形；
2.
正方形的性质（正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质）
边：四边相等，邻边垂直，对边平行；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
正方形是轴对称图形，有4条对称轴；
正方形是中心对称图形，两条对角线的交点就是对称中心.
3.
正方形的判定
四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；
有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形是正方形；
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形.
4.
特殊四边形之间的关系如图所示：
二、正方形存在性问题解决策略
1.
从未知量的角度来看，正方形可以有4个未知量，所以它的坐标应满足4个等量关系，互相平分2个，垂直（1个）且相等（1个）.
已知平面内2个定点，可以在平面内确定2个点使得它们构成正方形，但是，如果要在某条直线上确定点，很有可能会出现不存在的情况（未知量小于方程个数，无解）.
解决正方形存在性问题一般不用代数法，因为要列四元一次方程组，比较麻烦！
2.
解决正方形存在性问题常用方法
①从正方形判定入手
若已知菱形，则证明一个角是直角或者对角线相等；
若已知矩形，则证明一组邻边相等或对角线互相垂直；
若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件即可.
②构造三垂直全等
若条件并未给出关于四边形对角线的特殊性，一般任取3个顶点必然是等腰直角三角形，如果已经知道了两个定点，则可以通过构造三垂直全等来求出第3个点，然后再进一步求出第4个点.
若题目中给了4个动点，则先要判断此时的四边形是否为特殊的四边形，在特殊四边形基础上，再添加某些条件，使得其构成一个正方形.
例1：如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，AD＝6cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以每秒3cm的速度向点B移动，点Q以每秒2cm测得速度向点D移动，当点P到达点B处时，两点均停止移动，问：
（1）P，Q两点出发多长时间，线段PQ的长度为10cm？
（2）是否存在某一时刻，使四边形PBCQ为正方形？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；（2）不存在
【解析】（1）过点P作PH⊥CD于点H，如图所示：
∴HQ＝16﹣5t，
∴PQ2＝PH2+HQ2，
即102＝（16﹣5t）2+62，
解得，
答：P，Q两点出发或秒，线段PQ的长度为10cm；
（2）∵四边形PBCQ是正方形，
∴BP＝CQ，即16﹣3t＝2t，
解得，
∵，
∴不成立．
例2：如图，已知抛物线交x轴于点A、点B，交y轴于点C，且点A（6，0），点C（0，4），AB＝5OB，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形．
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？
（4）是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】（1）y＝ax2+bx+c，顶点坐标为；（2）S=﹣4x2+28x﹣24（1＜x＜6）；（3）不是菱形；（4）不存在
【解析】（1）∵点A（6，0），AB＝5OB，
∴点B（1，0），
设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
则由题意可得：，解得，
∴所求抛物线的解析式为，
∵，
∴所求抛物线的顶点坐标为；
（2）∵点E（x，y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，∴y＜0，
即﹣y＞0，﹣y表示点E到OA的距离．
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S＝2S△OAE＝2××OA?|y|＝﹣6y＝﹣6（x2﹣x+4）＝﹣4x2+28x﹣24，
自变量x的取值范围为：1＜x＜6；
（3）根据题意得：﹣4x2+28x﹣24＝24，
解之，得x1＝3，x2＝4，
∴所求的点E有两个，分别为E1（3，﹣4），E2（4，﹣4），
∵点E1（3，﹣4），
∴OE＝5，，
∴OE＝AE，
∴平行四边形OEAF是菱形，
∵点E2（4，﹣4），
∴OE＝，，
∴不满足OE＝AE，
∴平行四边形OEAF不是菱形；
（4）∵当OA⊥EF，且OA＝EF时，平行四边形OEAF是正方形，此时点E坐标只能（3，﹣3），而坐标为（3，﹣3）点不在抛物线上，
∴不存在这样的点E，使平行四边形OEAF为正方形．
例3：如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．
（1）求a，k的值；
（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；
（3）点M为抛物线上任意一点，点N为对称轴上任意一点，是否存在点M，N使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出求此正方形的边长．若不存在，请说明理由．
【解答】（1）a，k的值分别为1，﹣1；（2）Q（2，2）；（3）存在，边长为.
【解析】（1）∵直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（1，0），B（0，3）．
又∵抛物线y＝a（x﹣2）2+k经过点A（1，0），B（0，3），
∴，解得，
故a，k的值分别为1，﹣1；
（2）如图，
设Q点的坐标为（2，m），对称轴x＝2交x轴于点F，过点B作BE垂直于直线x＝2于点E．
在Rt△AQF中，AQ2＝AF2+QF2＝1+m2，
在Rt△BQE中，BQ2＝BE2+EQ2＝4+（3﹣m）2，
∵AQ＝BQ，
∴1+m2＝4+（3﹣m）2，
∴m＝2，
∴Q点的坐标为（2，2）；
（3）如图，
当点N在对称轴上时，NC与AC不垂直，所以AC应为正方形的对角线．
∵对称轴x＝2是AC的中垂线，
∴M点与顶点P（2，﹣1）重合，N点为点P关于x轴的对称点，其坐标为（2，1）．
此时，MF＝NF＝AF＝CF＝1，且AC⊥MN，
∴四边形AMCN为正方形．
在Rt△AFN中，，
即正方形的边长为．矩形存在性问题知识精讲
一、关于矩形的基础知识
1、什么是矩形？
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形就是在平行四边形的基础上增加一个角是直角这个比较特殊的条件.
2、矩形具有哪些性质？
矩形具有平行四边形的所有性质；
矩形的对角线相等；
矩形的四个角都是直角；
矩形是轴对称图形，有两条对称轴.
注：①矩形是特殊的平行四边形，也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分；
②矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.
（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.
3、矩形的判定方法
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；
对角线相等的平行四边形是矩形；
有三个角是直角的四边形是矩形.
二、矩形存在性问题的解题策略
1.
在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形，因此，在坐标系中，若AC为矩形ABCD的对角线，则此矩形应满足如下的等式：
；
2.
矩形除了可以由平行四边形得到之外，还可以看成是由两个直角三角形组成的，如图所示：
在此基础上，要善于利用直角三角形的性质：
①两个锐角互余；
②三边平方的等量关系（勾股定理）；
③斜边上的中线等于斜边的一半.
三、经典例题
例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线与轴负半轴交于点C，与抛物线另一个交点为D，且.
（1）直接写出点A的坐标，并求出直线的函数表达式（其中，k、b用含的式子表示）；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以A、D、P、Q为顶点的四边形能否成矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由.
【解答】，；（2），.
【解析】（1），
令，解得，，
直线经过点A，，即，，
令，整理得，
，点D的横坐标为4，
直线的函数表达式为；
（2）令，即，解得，，
，抛物线的对称轴为，设，
①若AD是矩形的一条边，则，则，
四边形ADPQ是矩形，，
，即，
即，；
②若AD是矩形的一条对角线，则线段AD的中点坐标为，
，，
四边形APDQ是矩形，
，即，
综上，当点P的坐标为或时，以A、D、P、Q为顶点的四边形能成为一个矩形.
例2：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点C的坐标为，过点C作于点E，点D为轴正半轴的一动点，且满足，连接DE，以DE、DA为边作平行四边形DEFA，若平行四边形DEFA为矩形，求的值；
【解答】（1）或
【解析】（1）在中，，
在中，
，
当四边形DEFA是矩形时，在中，，
①如图1，当点C在轴上方时，
可得方程，解得；
②如图2，当点C在轴下方时，
可得方程，解得.平行四边形存在性问题知识精讲
一、关于平行四边形的基础知识
1、什么是平行四边形？
平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形ABCD记作“ABCD”，读作“平行四边形ABCD”.
2、平行四边形具有哪些性质？
边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；
角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；
对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；
平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心.
注：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.
（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.
（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.
3、平行四边形的判定方法
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
二、平行四边形存在性问题的解题策略
1、由平行四边形的对边平行且相等，我们可以将点A、D看成是由B、C两点移动得到的，且移动的路径完全相同，如图所示：
所以可以得到；
2、由平行四边形的对角线互相平分我们可以得到AC的中点与BD的中点是重合的，如图所示：
点O就是AC的中点，也是BD的中点，所以.
上述两种情况所得到的方程进行变形，会发现所得到的方程是一样的，过程如下：
于是，我们又可以得到，当AC、BD为平行四边形ABCD的对角线时，则有（对应横、纵坐标相加）.
上述结论反过来，若，能否证明四边形ABCD就是平行四边形呢？答案是不一定，如下图所示：
点O是CD的中点，也是AB的中点，但是ABCD很显然不是平行四边形，这种反例要多加注意。
三、平行四边形存在性问题的考法
1、三定一动类（三个定点，一个动点）
例：如图，已知A（1，2）、B（5，3）、C（3，5），试在平面内找一点D，使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形.
【解答】见解析
【解析】设D（m，n），通过对角线互相平分，分类讨论：
①当BC为对角线时，则有，此时
②当AC为对角线时，则有，此时
③当AB为对角线时，则有，此时，具体如图所示：
2、两动两定
例：如图，已知A（1，1）、B（3，2），点C在轴上，点D在轴上，若以A、B、C、D为顶点的四边形刚好是平行四边形，求点C、D的坐标.
【解答】见解析
【解析】设C（m，0）、（0，N），通过对角线互相平分，分类讨论：
①当AB为对角线时，则有∴
②当AC为对角线时，则有∴
③当AD为对角线时，则有∴.
