1 实验：探究小车速度随时间变化的规律
知识点一
实验目的
(1)进一步练习使用打点计时器及利用纸带求速度．
(2)学会用实验探究小车速度随时间变化的规律的方法，学会用v－t图象处理实验数据．
知识点二
实验原理
利用打点计时器打出的纸带上记录的数据，计算出各时刻的速度，再作出速度与时间的关系图象．
(1)某点的瞬时速度一般用一小段时间内的平均速度代替．
(2)若v－t图象为一倾斜直线，则物体做匀变速直线运动，图线的斜率表示加速度．
知识点三
实验器材
打点计时器、学生电源、复写纸、纸带、导线、一端带有滑轮的长木板、小车、细绳、钩码、刻度尺、坐标纸．
电磁打点计时器是一种使用低压交流电源的仪器，当电源的频率为50
Hz时，振针每隔0.02
s打一个点．现在用打点计时器测定物体的速度，当电源的频率低于50
Hz时，如果仍按50
Hz的时间间隔打一个点计算，则测出的速度值将比物体真实的速度值偏大．
知识点四
实验步骤
(1)如图所示，把附有滑轮的长木板放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上没有滑轮的一端，连接好电路．
(2)把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上钩码，把纸带穿过打点计时器，并把纸带的一端固定在小车的后面．
(3)把小车停在靠近打点计时器处，接通电源后，释放小车，让小车拖着纸带运动，打点计时器就在纸带上打下一系列小点．关闭电源．
(4)换上新的纸带，重复实验两次．
(5)增减所挂钩码，按以上步骤再做两次实验．
知识点五
数据处理
(1)从几条纸带中选择一条最清晰的．为了便于测量，舍掉开头比较密集的点迹，找一个适当的点做计时起点．仍然选择相隔0.1
s的若干计数点进行测量，记入表格．
(2)利用第一章给出的方法得出各计数点的瞬时速度并填入下表：
位置
1
2
3
4
5
6
7
时间/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
v/(m·s－1)
(3)以速度v为纵轴，时间t为横轴建立直角坐标系，根据表中的数据，在直角坐标系中描点．
(4)通过观察思考，找出这些点的分布规律，画出v－t图线．
一小球在桌面上从静止开始做加速运动，现用高速摄影机在同一底片上多次曝光，记录下小球每次曝光的位置，并将小球的位置编号．如图所示，1位置恰为小球刚开始运动的瞬间，作为零时刻．摄影机连续2次曝光的时间间隔均为0.5
s，小球从1位置到6位置的运动过程中经过各位置的速度分别为v1＝0，v2＝0.06
m/s，v3＝0.12
m/s，v4＝0.18
m/s，v5＝0.24
m/s.
考点一
实验器材与步骤
(1)实验器材
①打点计时器；②附有滑轮的长木板；③小车；④带小钩的细绳；⑤25
g的钩码4个；⑥纸带；⑦刻度尺；⑧学生电源、导线．
(2)实验步骤
①把一端附有滑轮的长木板平放在实验桌上，并使滑轮伸出桌面，把打点计时器固定在长木板上远离滑轮的一端，连接好电路．如图所示．
②把一条细绳拴在小车上，使细绳跨过滑轮，下边挂上合适的钩码，启动计时器，然后放开小车，让小车拖着纸带运动，打完一条后立即关闭电源．
③换上新纸带，重复操作两次．
④在三条纸带中选择一条最清晰的，舍掉开头一些过于密集的点，找一个适当的点当做计时起点．
⑤选择相隔0.1
s的若干计数点进行测量，把数据填入设计好的表格内.
计数点位置编号n
0
1
2
3
4
5
6
时间t/s
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
相邻两计数点间的距离x/m
对应计数点的速度v/(m·s－1)
⑥增减钩码个数，再做两次实验．
【例1】 在探究小车速度随时间变化的规律的实验中，用打点计时器在纸带上打的点记录了小车的运动情况．某同学做此实验时的步骤如下：
A．使小车停在靠近打点计时器处，然后放开小车，让小车运动，再接通电源；
B．把长木板平放在实验桌上，使滑轮伸出桌面，将打点计时器固定在长木板没有滑轮的一端，并接好电路；
C．把一条细绳拴在小车上，细绳跨过定滑轮，下面挂上适当的钩码；
D．小车停止运动后，直接取下纸带；
E．将纸带固定在小车尾部，并穿过打点计时器的限位孔；
F．换上新纸带，再重复操作两次，然后从各纸带中选取一条点迹清晰的进行数据处理．
其中错误或遗漏的步骤有：
(1)________；(2)________．
将以上步骤完善后，其合理的顺序为________．
实验步骤可简化为“放置→固定→连接→先接后放，开始实验→重复实验→数据分析”，同时要理解实验中的关键步骤，如开始实验时应先接通电源，后释放小车．
【解析】 实验过程中应先接通电源，再放开纸带；取纸带前应先断开电源，所以错误的步骤是A、D.该实验步骤中合理的顺序为BECADF.
【答案】 (1)A中应先接通电源，再放开纸带 (2)D中取纸带前应先断开电源 BECADF
总结提能
在利用打点计时器进行实验时，要能正确地进行实验操作，应注意尽量减小误差．实验时要求先接通电源，再释放纸带，小车应在靠近打点计时器处释放．
在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中：
(1)电火花计时器正常工作时，其打点的周期取决于( B )
A．交流电压的高低
B．交流电的频率
C．墨粉纸盘的大小
D．纸带的长度
解析：电火花计时器打点的周期取决于交流电的频率，选项B正确．
(2)(多选)下列操作中正确的有( AC )
A．在释放小车前，小车要靠近打点计时器
B．打点计时器应放在长木板上有定滑轮的一端
C．应先接通电源，后释放小车
D．电火花计时器应使用低压交流电源
解析：在释放小车前，小车要靠近打点计时器，以便于充分利用纸带，且应先接通电源，后释放小车，选项A、C正确；电火花计时器使用220
V交流电源，且计时器应固定在长木板上没有定滑轮的一端，选项B、D错误．
考点二
计算加速度
逐差法
(1)由纸带判断物体是否做匀变速直线运动
如图表示实验打出的纸带，O、A、B、C、D、E、F、…为每隔时间t选定的一系列计数点．我们可以认为OA、AB、…EF段的平均速度就等于这些段位移所对应时间的中间时刻的瞬时速度，即
1＝v1，2＝v2，…6＝v6，
因为1＝，2＝，…6＝，
所以a1＝＝＝＝，
同理a2＝，…a5＝
若小车做匀变速直线运动，则a1＝a2＝…＝a5，即有x2－x1＝x3－x2＝…＝x6－x5＝Δx＝at2，
因此，小车是否做匀变速直线运动，只要看小车在各个连续相等时间内的位移差是否都相等即可．
(2)根据纸带及其数据测定匀变速运动小车的加速度．
由a1＝，a2＝，…a5＝可得小车加速度的平均值＝
＝
＝
显然，这种求的方法只用了x1、x6两个数据，而x2、x3、x4、x5在计算过程中被抵消了，所以丢失了多个数据，并失去了正负偶然误差相互抵消的作用，算出的值误差较大．这种方法不可取．
若把x1、x2、…x6分成x1、x2、x3和x4、x5、x6两组，则有x4－x1＝(x4－x3)＋(x3－x2)＋(x2－x1)＝3at2，写成x4－x1＝3a1t2，同理x5－x2＝3a2t2，x6－x3＝3a3t2，故a1＝，a2＝，a3＝.
从而＝＝
＝，
这种计算加速度平均值的方法叫做逐差法．
图象法
(1)求出各点的瞬时速度
(2)作v－t图象：
①建立坐标系，纵坐标轴为速度v，横坐标轴为时间t.
②对坐标轴进行适当分度，使测量结果差不多布满坐标系．
③描出测量点，应尽可能清晰．
④用一条光滑的曲线(直线)连接坐标系中的点，明显偏离曲线(直线)的点视为无效点，连线时应使连线两侧的点分布大致相同．
⑤从最终结果看出小车的v－t图象是一条倾斜的直线．
(3)求出图线的斜率即为加速度
求图线的斜率时，要在图线上选取间隔距离适当较远的两个点．这样有利于减小误差．
【例2】 某课外兴趣小组在探究小车速度随时间变化的规律的实验中，得到如图所示的纸带．实验中所用交流电的频率为50
Hz，纸带前面的几个点较模糊，因此从A点开始每5个点取一个计数点，其中B、C、D、E点的对应速度分别为vB＝________
m/s，vC＝________m/s，vD＝________m/s，vE＝________m/s，由此推得F点的速度vF＝________m/s.小车从B运动到C的加速度a1＝________m/s2，从C运动到D的加速度a2＝______
m/s2，从D运动到E的加速度a3＝________m/s2.
解答本题的思路如下：
???
【解析】 由题意可知，每相邻两个计数点的时间间隔为
T＝0.02×5
s＝0.1
s
B点的速度为A、C两点间的平均速度：
vB＝＝
cm/s＝25.25
cm/s＝0.252
5
m/s
C点的速度为B、D两点间的平均速度：
vC＝＝
cm/s＝32.75
cm/s＝0.327
5
m/s
同理可得：vD＝0.402
5
m/s，vE＝0.477
5
m/s
vC－vB＝vD－vC＝vE－vD＝0.075
m/s
从B、C、D、E四点的位置关系和速度的关系我们可以发现相邻相等时间内的速度之差相等，因此有
vF－vE＝vE－vD＝0.075
m/s
解得F点的速度为vF＝0.552
5
m/s
由加速度的定义a＝可知，小车从B点运动到C点的加速度a1＝＝
m/s2＝0.75
m/s2
同理可得：小车从C点运动到D点的加速度a2＝0.75
m/s2
小车从D点运动到E点的加速度a3＝0.75
m/s2
因为a1＝a2＝a3，所以小车做加速度大小不变的直线运动．
【答案】 0.252
5 0.327
5 0.402
5 0.477
5 0.552
5
0．75 0.75 0.75
总结提能
当物体做匀变速直线运动时，某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，根据v＝＝可以求出物体在某点的瞬时速度．
另外，应用平均速度法求解瞬时速度时，要特别注意相邻计数点间时间间隔的确定，同时还应注意已知的距离是不是相邻计数点间的距离．
如图所示是某同学在探究匀变速直线运动实验中获得的一条纸带．
(1)已知打点计时器电源的频率为50
Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为0.02
s.
(2)A、B、C、D是纸带上的四个计数点，每两个相邻计数点间有四个点没有画出．从图中读出A、B两点的间距x＝0.70
cm；C点对应的速度是0.100
m/s(计算结果保留三位有效数字)．
解析：(1)因为打点计时器电源的频率为50
Hz，故打相邻两点的时间间隔为T＝0.02
s.
(2)因为每两个相邻计数点间有四个点没有画出，故相邻两计数点的时间间隔为t＝5T＝0.1
s．由题图可知A、B两点的间距x＝0.70
cm，vC＝＝0.100
m/s.
1．在“研究小车速度随时间的变化规律”实验中，关于计数点间时间间隔的下列说法中正确的是( A )
A．每隔4个点取一个计数点，则计数点之间的时间间隔为0.10
s
B．每隔4个点取一个计数点，则计数点之间的时间间隔为0.08
s
C．每隔5个点取一个计数点，则计数点之间的时间间隔为0.10
s
D．每隔5个点取一个计数点，则计数点之间的时间间隔为0.08
s
解析：每隔四个点和每五个点取一个计数点时间间隔相同，都是有5个时间间隔，故时间T＝0.02×5
s＝0.1
s.
2．(多选)在探究小车速度随时间变化的规律的实验中，下列说法正确的是( AC )
A．通过调节，使小车、纸带、细绳和定滑轮上边缘在一条直线上
B．坐标轴单位长度越小越好
C．开始前要先开电源后松纸带，打完点要先断开电源后取纸带
D．钩码的质量越大越好
解析：实验中调节滑轮的高度使小车、纸带、细绳和定滑轮上边缘在一条直线上，可以减小摩擦，所以A对；要适当地选取坐标轴的单位长度使图象尽量分布在较大的坐标平面内；开始前要先接通电源后松开纸带，打完点要先断开电源后取纸带，这样可以使实验效果更好，所以C对；钩码的质量要适中，不要太大也不要太小．
3．在研究加速度不变的直线运动的实验中，算出小车经过各计数点的速度，如下表所示：
计数点序号
1
2
3
4
5
6
计数点对应时刻/s
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
通过计数点的速度/
(cm·s－1)
44.0
62.0
81.0
100.0
110.0
168.0
为了算出加速度，合理的方法是( C )
A．根据任意两计数点的加速度公式a＝算出加速度
B．根据实验数据，画出v－t图象，量出其倾角α，由公式a＝tanα算出加速度
C．根据实验数据，画出v－t图象，由图线上任意两点所对应的速度，用公式a＝算出加速度
D．依次算出通过连续两计数点间的加速度，其平均值作为小车的加速度
解析：选项A偶然误差较大．选项D实际上也仅由始、末两个速度决定，偶然误差也比较大，只有利用实验数据画出对应的v－t图象，才可充分利用各次测量数据，减小偶然误差．由于在物理图象中两坐标轴的分度大小往往是不相等的，根据同一组数据，可以画出倾角不同的许多图线，选项B是错误的．正确的方法是根据图线找出不同时刻所对应的速度值，然后利用公式a＝算出加速度，即选项C正确．
4.一位同学设计了用打点计时器测量小车沿斜面下滑的加速度的实验，实验装置示意图如图甲所示．已知打点计时器使用的电源的频率为50
Hz，图乙是所打出的纸带的一段，用毫米刻度尺量得数据如下：x1＝1.69
cm，x2＝2.28
cm，x3＝3.04
cm，x4＝3.82
cm，x5＝4.58
cm，x6＝5.36
cm，x7＝6.14
cm.
(1)由图乙可知，相邻两计数点之间的时间间隔Δt＝0.06
s；
(2)利用所测数据计算小车沿斜面下滑的加速度时，有一数据不可靠，这一数据是x1(填数据的字母代号)；
(3)去掉这一不可靠数据，利用其余数据可求出小车下滑的加速度大小a＝2.14
m/s2(取三位有效数字)．
解析：(1)交流电源的频率为50
Hz，因此打点计时器的打点周期为0.02
s，所以Δt＝3×0.02
s＝0.06
s.
(2)求出连续相等时间内的位移差：x2－x1＝0.59
cm，x3－x2＝0.76
cm，x4－x3＝0.78
cm，x5－x4＝0.76
cm，x6－x5＝0.78
cm，x7－x6＝0.78
cm.可见x1不可靠．
(3)由逐差法可得a＝，
代入数据得a≈2.14
m/s2.
5．在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，纸带记录了小车的运动情况，在纸带上确定出A、B、C、D、E、F共6个计数点，每两个相邻的计数点之间还有4个点未画出．x1＝1.40
cm、x2＝2.90
cm、x3＝4.38
cm、x4＝5.88
cm、x5＝7.39
cm.
(1)试根据纸带上各个计数点间的距离，计算出打下B、E两个点时小车的瞬时速度，并将这两个速度值填入下表.
(2)将B、C、D、E各个时刻的瞬时速度标在直角坐标系中，并画出小车的瞬时速度随时间变化的关系图线．
答案：见解析
(3)由所画速度—时间图象求出小车的加速度为1.50(1.49～1.51)
m/s2(保留三位有效数字)．
解析：(1)打B点时的瞬时速度等于AC过程的平均速度
vB＝＝
m/s＝0.215
m/s
打E点时的瞬时速度等于DF过程的平均速度
vE＝＝
m/s≈0.664
m/s.
(2)以打A点时开始计时，v－t图象如图所示．
(3)根据图象求出图线的斜率就是小车运动的加速度，
a＝＝
m/s2≈1.50
m/s2.
PAGE
-
11
-2 匀变速直线运动的速度与时间的关系
知识点一
匀变速直线运动
(1)定义：沿着一条直线，且加速度恒定不变的运动．
(2)分类：
匀变速直线运动
(3)直线运动的v－t图象：
①匀速直线运动的v－t图象是一条平行于时间轴的直线，如图所示．
②匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线，如图所示，a表示匀加速直线运动，b表示匀减速直线运动．
③v－t图线的倾斜程度，即图线斜率的数值等于物体的加速度的大小，斜率的正负表示加速度的方向．
④v－t图线与纵轴的交点坐标，即纵截距等于物体的初速度．
(多选)下列图象表示物体做匀变速直线运动的是( BD )
考点一
匀变速直线运动的速度与时间的关系式
(1)公式推导
设一个物体做匀变速直线运动，0时刻速度为v0，t时刻速度为v，由加速度的定义得a＝＝＝，整理得v＝v0＋at.这就是匀变速直线运动的速度公式．
(2)速度公式的理解与讨论
①速度公式：v＝v0＋at.
式中v0是t＝0时刻的速度，t是速度由v0变化到v所用的时间，at是时间t内的速度变化量，v是t时刻的瞬时速度．
②公式v＝v0＋at是矢量式，一般规定v0方向为正方向，其他量如果和v0方向相同则取正，和v0方向相反则取负．
③当v0＝0时，v＝at，表示从静止开始的匀加速直线运动，速度与时间成正比．
④若物体做匀减速运动且v＝0，则是末速度为零的匀减速直线运动，也可以认为是反向的初速度为零的匀加速直线运动，则v0＝at.
⑤公式v＝v0＋at虽然可由a＝变形后得到，但两者含义不同．a＝是加速度的定义式，适用于所有变速运动(包括非匀变速直线运动和曲线运动)；而v＝v0＋at是匀变速直线运动的速度公式，仅适用于匀变速直线运动．
【例1】 火车沿平直轨道匀加速前进，通过某一路标时的速度为10.8
km/h,1
min后变成54
km/h，再经过多长时间火车的速度才能达到64.8
km/h?
根据题意，画出如图所示的运动示意图，再将v1、v2、v3的速度换算如下：v1＝10.8
km/h＝3
m/s，v2＝54
km/h＝15
m/s，v3＝64.8
km/h＝18
m/s.
【解析】 方法1 由速度公式v＝v0＋at得
a＝＝
m/s2＝0.2
m/s2
故时间t2＝＝
s＝15
s.
方法2 运动过程中加速度a不变．
由a＝＝＝得t2＝·t1＝15
s.
方法3 画出火车运动的v－t图象，如下图所示，由图中的三角形相似可得＝，解得t2＝15
s.
【答案】 15
s
总结提能
应用速度公式解题时往往有多种解法，但结合图象进行分析，可以使问题变得更直观、形象．理清运动过程，画出运动示意图，可以使复杂的问题变得清晰，进而从中找到解题的方法．
一质点从静止开始以1
m/s2的加速度做匀加速运动，经5
s后做匀速运动，最后2
s的时间使质点匀减速到静止，则质点匀速运动时速度多大？减速运动时加速度多大？
解析：质点的运动过程包括加速→匀速→减速三个阶段．如图所示，AB段为加速阶段，BC段为匀速阶段，CD段为减速阶段．则匀速运动的速度即为加速阶段的末速度vB，以初速度方向为正方向，则vB＝v0＋at＝(0＋1×5)
m/s＝5
m/s.
而质点做匀减速运动的初速度即为匀速运动的速度，即vB＝vC＝5
m/s，而末速度vD＝0，由vD＝vC＋at得
a＝＝
m/s2＝－2.5
m/s2.
负号表示a与初速度v0方向相反．
答案：5
m/s 2.5
m/s2
考点二
匀变速直线运动的v－t图象
(1)物理意义
反映了速度随时间的变化规律．
(2)特点
由v＝v0＋at知，匀变速直线运动的速度v是时间t的一次函数，其函数图象是一条倾斜的直线．
如图所示，图线a表示速度随时间均匀增加，所以图线a表示物体做匀加速直线运动．
(3)对v－t图象的理解
①横轴上方表示速度的方向与选取的正方向相同，横轴下方表示速度的方向与选取的正方向相反，右上图中，图线a表示物体的速度为正且增大，即沿正方向做匀加速直线运动；图线c表示物体的速度先沿正方向减小再沿负方向增大，即物体先沿正方向做匀减速直线运动再沿负方向做匀加速直线运动．
②图线与纵轴的截距表示物体在起始时刻的速度，图线与横轴的截距表示物体的速度为0时的时刻．
③上图中图线a、b、c的交点表示物体在t1时刻速度相等．
④图线的斜率k＝表示加速度．图线倾斜得越厉害，斜率越大，表示物体的加速度越大．v－t图象是曲线，在不同点切线的斜率不同，表示物体的加速度在发生变化，如下左图所示，图线a表示物体的加速度逐渐变大，物体做加速度逐渐增大的加速运动，图线b表示物体做加速度逐渐减小的加速运动．
⑤图线与时间轴所围图形的面积表示物体位移的大小，如上右图所示，阴影的面积表示t1～t2时间内位移的大小．
⑥图线的拐点(折点)表示加速度方向改变，速度出现极值．
速度图象与时间轴交点表示速度方向改变，折点表示加速度方向改变．
a．如上左图所示，图线为与横轴相交的直线，交点处表示该时刻物体反向运动，速度方向改变，但加速度不变，仍为匀变速直线运动．
b．如上右图所示，t0时刻图线由向上倾斜变为向下倾斜，表示物体加速度方向改变，不表示速度方向改变．
【例2】 (多选)一物体自t＝0时开始做直线运动，其速度图象如图所示．下列选项中正确的是( )
A．6
s末物体离出发点最远
B．在0～6
s内，物体经过的路程为40
m
C．在0～4
s内，物体的平均速度为7.5
m/s
D．4～6
s内，物体的位移为0
分段分析物体的运动，应把图象与物体的实际运动结合起来进行分析.0～2
s物体向正方向加速运动，2～4
s向正方向匀速运动，4～5
s向正方向减速运动，5～6
s向负方向加速运动．
【解析】 根据题图知，物体先加速运动，接着匀速运动，再减速运动，最后反向加速运动.0～5
s物体向正方向运动，5～6
s向负方向运动，故5
s末物体离出发点最远，选项A错误；0～6
s内的路程等于t轴上方的梯形和下方的三角形的面积之和，为40
m，选项B正确；0～4
s内的位移为30
m，则平均速度为＝
m/s＝7.5
m/s，选项C正确；由图象可知4～6
s两个三角形的面积大小相等，故4～6
s内的位移为0，选项D正确．
【答案】 BCD
如图所示是物体做直线运动的v－t图象．由图可知，该物体( B )
A．第1
s内和第3
s内的运动方向相反
B．第3
s内和第4
s内的加速度相同
C．第1
s内和第4
s内的位移大小不相等
D．0～2
s和0～4
s内的平均速度大小相等
解析：由v－t图象可知第1
s内和第3
s内速度为正，所以运动方向相同，选项A错误；第3
s内和第4
s内图线是一条倾斜直线，斜率不变，故加速度相同，选项B正确；第1
s内的位移和第4
s内的位移大小相等方向相反，选项C错误；0～2
s内的位移与0～4
s内的位移相同，所以平均速度不同，选项D错误．
1．下列关于匀变速直线运动的说法，正确的是( D )
A．匀变速直线运动是运动快慢相同的运动
B．匀变速直线运动是速度变化量相同的运动
C．匀变速直线运动的图象是一条倾斜的直线
D．匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线
解析：运动快慢相同是指速度不变，故选项A错误；匀变速直线运动是在相等的时间内速度变化量相同的运动，若时间不相同，则速度的变化量不同，故选项B错误；v－t图象中，匀变速直线运动的图象是一条倾斜的直线，在其他图象中不一定是直线，故选项C错误，D正确．
2．(多选)汽车的加速性能是反映汽车性能的重要指标．速度变化得越快，表明它的加速性能越好．如图为研究甲、乙、丙三辆汽车加速性能得到的v－t图象，根据图象可以判定( BD )
A．甲车的加速性能最好
B．乙比甲的加速性能好
C．丙比乙的加速性能好
D．乙、丙两车的加速性能相同
解析：本题考查实际情况与匀变速直线运动的综合．从图象可判断：乙、丙的加速度大小相等，且比甲大，即乙、丙的速度变化比甲大，所以乙、丙的加速性能相同，且比甲大．所以选项B、D正确．
3．一个质点做直线运动，其速度随时间变化的函数关系为v＝kt.其中k＝0.3
m/s2，下列说法正确的是( C )
A．质点做匀速直线运动
B．质点的速度变化量大小是0.3
m/s
C．质点做匀加速直线运动
D．质点的初速度为0.3
m/s
解析：因为质点的速度随时间均匀变化，所以质点做匀加速直线运动，加速度a＝0.3
m/s2，质点速度变化量的大小与时间有关．
4．星级快车出站时能在150
s内匀加速到180
km/h，然后正常行驶．某次因意外列车以加速时的加速度大小将车速减至108
km/h.以初速度方向为正方向，则下列说法错误的是( C )
A．列车加速时的加速度大小为
m/s2
B．列车减速时，若运用v＝v0＋at计算瞬时速度，其中a＝－
m/s2
C．若用v－t图象描述列车的运动，减速时的图线在时间轴t轴的下方
D．列车由静止加速，1分钟内，速度可达20
m/s
解析：列车的加速度大小a＝＝＝
m/s2，减速时，加速度方向与速度方向相反，a′＝－
m/s2，选项A、B正确；列车减速时，v－t图象中图线依然在时间轴t轴的上方，选项C错误；由v＝at可得v＝×60
m/s＝20
m/s.选项D正确．
5．2014年，歼－31隐身战机在某机场进行了首次热身飞行表演．设该战机的速度达到98
m/s时即可升空，假定战机从静止开始以3.5
m/s2的加速度做匀加速直线运动，则该战机从开动到起飞需滑行多长时间？
解析：战机做初速度为零的匀加速直线运动，战机的初速度v0＝0，末速度v＝98
m/s，加速度a＝3.5
m/s2.由速度与时间的关系式v＝v0＋at得战机从开动到起飞滑行的时间为t＝＝
s＝28
s.
答案：28
s
PAGE
-
8
-3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
知识点一
匀速直线运动的位移
(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x＝vt.
(2)做匀速直线运动的物体，如图所示，其v－t图象是一条平行于时间轴的直线，其位移在数值上等于v－t图线与对应的时间轴所包围的矩形的面积．
知识点二
匀变速直线运动的位移
位移在v－t图象中的表示：做匀变速直线运动的物体的位移对应着v－t图象中的图线和时间轴包围的面积．如图所示，在0～t时间内的位移大小等于梯形的面积．
知识点三
(1)公式中的x、v0、a均是矢量，应用公式时，应先确定正方向．
(2)当v0＝0时，x＝at2，表示初速度为零的匀加速直线运动的位移与时间的关系．
(3)当a＝0时，x＝v0t，表示匀速直线运动的位移与时间的关系．
某质点的位移随时间变化的数量关系式为x＝4t＋2t2
m，x与t的单位分别是m和s，则质点的初速度和加速度分别是多少？
答案：4
m/s 4
m/s2
考点一
对v－t图象的理解
1．匀速直线运动的v－t图象
(1)图象特征
匀速直线运动的v－t图象是与横轴平行的直线，如图所示．
(2)图象的作用
①能直观地反映匀速直线运动速度不变的特点．
②从图象中可以看出速度的大小和方向，如图，图象在t轴下方，表示速度为负，即速度方向与规定的正方向相反．
③可以求出位移x.
在v－t图象中，运动物体在时间t内的位移x＝vt，就对应着“边长”分别为v和t的一块矩形的“面积”，如图中画斜线的部分．
2．匀变速直线运动的v－t图象
(1)图象的特征
匀变速直线运动的v－t图象是一条倾斜的直线．如图甲和乙所示为不同类型的匀变速运动的速度图象．
初速度为零的匀加速直线运动的v－t图象是过原点的倾斜直线，如图丙所示．
(2)图象的利用
①直观地反映速度v随时间t均匀变化的规律．图甲为匀加速运动，图乙为匀减速运动．
②可以直接得出任意时刻的速度，包括初速度v0.
③可求出速度的变化率．图甲表示速度每秒增加0.5
m/s，图乙表示速度每秒减小1
m/s.
④图线与时间轴所围“面积”表示物体在时间t内的位移．如下图所示，画斜线部分表示时间t内的位移．
3．v－t图象的深入分析
(1)v－t图象与时间轴的交点表示速度方向的改变，折点表示加速度方向的改变．(如图所示)
(2)v－t图象中两图象相交，只是说明两物体在此时刻的速度相同，不能说明两物体相遇．
(3)v－t图象只能反映直线运动的规律
因为速度是矢量，既有大小又有方向．物体做直线运动时，只可能有两个速度方向，规定了一个为正方向时，另一个便为负值，所以可用正、负号描述全部运动方向．当物体做一般曲线运动时，速度方向各不相同，不可能仅用正、负号表示所有的方向，所以不能画出v－t图象．所以，只有直线运动的规律才能用v－t图象描述，任何v－t图象反映的也一定是直线运动规律．
【例1】 (多选)某物体运动的v－t图象如图所示，下列说法正确的是( )
A．物体在第1
s末运动方向发生变化
B．物体在第2
s内和第3
s内的加速度是相同的
C．物体在4
s末返回出发点
D．物体在6
s末离出发点最远，且最大位移为1
m
用v－t图象分析问题时要注意：(1)v－t图象中直线的斜率表示物体运动的加速度；(2)图线和t轴所围的面积的数值等于物体的位移大小，图线和t轴所围成的面积的数值的绝对值的和等于物体的路程．
【解析】 由图象可知，物体在前2
s内速度先增大后减小，但运动方向没有变化，选项A错误；第2
s内和第3
s内图线的斜率没变，所以加速度相同，选项B正确；在v－t图象中，图线与坐标轴所围的“面积”表示物体的位移，从图象可以看出，前4
s内物体的位移为零，所以物体在4
s末返回出发点，选项C正确；物体在第6
s末离出发点最远，6
s内的位移为1
m，选项D正确．
【答案】 BCD
甲、乙两汽车在一平直公路上同向行驶．在t＝0到t＝t1的时间内，它们的v－t图象如图所示．在这段时间内( A )
A．汽车甲的平均速度比乙的大
B．汽车乙的平均速度等于
C．甲、乙两汽车的位移相同
D．汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大
解析：v－t图象中图线下的面积表示位移，在0～t1时间内，甲的位移大于乙的位移，所以汽车甲的平均速度比乙的大，选项A正确，选项C错误；汽车乙做的不是匀减速直线运动，平均速度小于，选项B错误；v－t图象中图线的斜率表示加速度，汽车甲、乙的加速度都是逐渐减小的，选项D错误．
考点二
匀变速直线运动的位移
(1)匀变速直线运动的位移公式x＝v0t＋at2.
(2)对位移公式x＝v0t＋at2的理解
①位移公式说明匀变速直线运动的位移与时间是二次函数关系，式中v0是初速度，时间t是物体实际运动的时间．
②此公式既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动．在取初速度v0方向为正方向的前提下，匀加速直线运动a取正值，匀减速直线运动a取负值；计算结果x>0，说明位移的方向与初速度v0方向相同；x<0，说明位移方向与初速度v0方向相反．
③对于初速度为零的匀加速直线运动，位移公式为x＝at2，即位移x与时间t的二次方成正比．
④此公式中共有四个物理量，知道其中任意三个物理量，便可确定第四个物理量．
【例2】 一辆卡车初速度为v0＝10
m/s，以a＝2
m/s2的加速度行驶，求：
(1)卡车在3
s末的速度v3；
(2)卡车在6
s内的位移x6与平均速度v；
(3)卡车在第6
s内的位移x.
卡车做匀加速直线运动，根据速度公式可求得3
s末的速度，根据位移公式可求得6
s内的位移．第6
s内的位移等于前6
s内的位移减去前5
s内的位移．
【解析】 (1)3
s末的速度
v3＝v0＋at3＝10
m/s＋2×3
m/s＝16
m/s
(2)6
s内的位移
x6＝v0t6＋at＝10×6
m＋×2×36
m＝96
m
6
s内的平均速度v＝＝
m/s＝16
m/s
(3)5
s内的位移
x5＝v0t5＋at＝10×5
m＋×2×25
m＝75
m
所以第6
s内的位移x＝x6－x5＝21
m.
【答案】 (1)16
m/s (2)96
m 16
m/s (3)21
m
总结提能
(1)对x＝v0t＋at2中a的理解：物体做匀减速直线运动时，若以初速度方向为正方向，并使a仅表示加速度的大小，这时匀减速直线运动的位移时间关系式可变形为x＝v0t－at2，这时v0、a、t均取正值，更适合于我们的习惯．
(2)汽(火)车刹车等问题，物体做匀减速直线运动，停止后不再运动．这类问题的处理思路是：先求出它们从刹车到静止的刹车时间，再比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动公式求解．
2011年太平洋冰壶锦标赛在南京奥体中心完美收官，主场作战的中国队表现出色，包揽了男、女两个项目的金牌．如图所示，冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时，速度恰好为零．冰壶通过前三个矩形区域的时间为t，试通过所学知识计算冰壶通过四个矩形区域所需的时间．
解析：根据匀变速直线运动的位移公式和速度公式，设每个矩形区域的长为l.由A到E，有4l＝vt1－at，0＝v－at1，由A到D有3l＝vt－at2，联立解得t1＝2t或t1＝t，显然t不符合题意，应舍去．
答案：2t
【例3】 汽车在高速公路上行驶的速度为108
km/h，若驾驶员发现前方80
m处发生了交通事故，马上紧急刹车，汽车以恒定的加速度经过4
s才停下来．
(1)问该汽车是否会有安全问题？
(2)如果驾驶员看到交通事故时的反应时间是0.5
s，该汽车是否会有安全问题？
(1)驾驶员采取刹车措施后，汽车做匀减速直线运动．在此过程中，初速度为汽车的行驶速度108
km/h，即30
m/s，汽车经过4
s停下来，末速度为0.运动过程如图所示．
(2)该汽车的实际运动可分为两部分：当驾驶员看到交通事故时，在反应时间内，汽车做匀速直线运动；当驾驶员刹车后，汽车以原行驶速度为初速度做匀减速直线运动．其运动情况如图所示．选取汽车行驶的初速度方向为正方向．
【解析】 (1)108
km/h＝30
m/s，由公式v＝v0＋at可得
汽车刹车过程中的加速度为
a＝＝
m/s2＝－7.5
m/s2
汽车从刹车到停止所经过的位移为
x＝v0t＋at2＝
m＝60
m
由于前方距离有80
m，汽车经过60
m就已停下来，所以不会有安全问题．
(2)汽车做匀速直线运动的位移x1＝v0t＝30×0.5
m＝15
m，汽车做匀减速直线运动的位移x2＝v0t＋at2＝30×4＋×(－7.5)×42
m＝60
m，汽车停下来的实际位移为x＝x1＋x2＝(15＋60)m＝75
m，由于前方距离有80
m，所以不会有安全问题．
【答案】 (1)不会有安全问题 (2)不会有安全问题
总结提能
公式x＝v0t＋at2为矢量式，其中的x、v0、a都是矢量，应用时必须选取统一的正方向，一般选初速度v0的方向为正方向．若物体做匀加速直线运动，a与v0同向，a取正值．若物体做匀减速直线运动，a与v0反向，a取负值．若位移的计算结果为正值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相同；若位移的计算结果为负值，说明这段时间内位移的方向与规定的正方向相反．
ETC是电子不停车收费系统的简称．汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示．假设汽车以正常行驶速度v1＝16
m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d＝8
m处正好匀减速至v2＝4
m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t0＝25
s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶．设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a1＝2
m/s2和a2＝1
m/s2.求：
(1)汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；
(2)汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间Δt是多少？
解析：(1)汽车通过ETC通道时，
匀减速过程的位移x1＝＝60
m，
匀加速过程的位移x2＝＝120
m，
则汽车的总位移x＝x1＋d＋x2＝188
m.
(2)汽车走ETC通道时，
匀减速过程的时间t1＝＝6
s，
匀速过程的时间t2＝＝2
s，
匀加速过程的时间t3＝＝12
s.
汽车走人工收费通道时，
匀减速过程的时间t′1＝＝8
s，
匀减速过程的位移x′1＝t′1＝64
m；
匀加速过程的时间t′2＝＝16
s，
匀加速过程的位移x′2＝t′2＝128
m.
则汽车走ETC通道比走人工收费通道节约的时间Δt＝(t′1＋t0＋t′2)－(t1＋t2＋t3)－＝28.75
s.
答案：(1)188
m (2)28.75
s
1．一物体做匀变速直线运动，下列说法中正确的是( C )
A．物体的末速度一定与时间成正比
B．物体的位移一定与时间的平方成正比
C．物体的速度在一定时间内发生的变化与这段时间成正比
D．若为匀加速运动，速度和位移都随时间增加；若为匀减速运动，速度和位移都随时间减小
解析：根据v＝v0＋at和x＝v0t＋at2可知，选项A、B错误；由a＝可知，选项C正确．当物体做匀减速运动时，速度减小，但位移可能增大，选项D错误．
2．做匀变速直线运动的物体，加速度为a，在时间t内位移为x，末速度为v，则下列关系中正确的是( D )
A．x＝vt＋at2 B．x＝－vt＋at2
C．x＝－vt－at2
D．x＝vt－at2
解析：根据x＝v0t＋at2和v＝v0＋at，可得D选项正确．
3．如图所示是汽车与自行车在同一直线上、从同一地点同向运动、同时计时而作出的v－t图象，由图象可知( A )
A．在2
s末二者速度相同
B．在4
s末二者速度相同
C．在2
s末二者相遇
D．在4
s末二者不相遇
解析：由图象可知，自行车做匀速直线运动，速度为v1＝6
m/s，汽车做初速度等于零的匀加速直线运动，a＝3
m/s2，交点表示t＝2
s时，二者速度都是6
m/s，A正确，B错误；位移可由图线与横轴所围的面积求得，t＝2
s末面积不相同．t＝4
s末面积相同，C、D错误．
4．(多选)一个物体做匀变速直线运动，它的位移与时间的关系式为x＝t＋0.5t2(m)，从t＝0时开始计时，t1时刻它的速度大小为3
m/s，则( AC )
A．物体的加速度a＝1
m/s2
B．物体的加速度a＝0.5
m/s2
C．t1＝2
s
D．t1＝4
s
解析：将x＝v0t＋at2与x＝t＋0.5t2(m)，对比知v0＝1
m/s，a＝1
m/s2.当v＝3
m/s时，t1＝＝2
s，所以A、C选项正确．
5．“10米折返跑”的成绩反映了人体的灵敏素质，测定时，在平直跑道上，受试者以站立式起跑姿势站在起点—终点线前，当听到“跑”的口令后，全力跑向正前方10米处的折返线，测试员同时开始计时，受试者到达折返线处时，用手触摸折返线的物体(如木箱)，再转身跑向起点—终点线，当胸部到达终点线的竖直面时，测试员停止计时，所用时间即为“10米折返跑”的成绩．设受试者起跑的加速度大小为4
m/s2，运动过程中的最大速度为4
m/s，快到达折返线处时需减速到零，减速的加速度大小为8
m/s2，返回时达到最大速度后不需减速，保持最大速度冲线，求该受试者“10米折返跑”的成绩为多少秒？
解析：对受试者，由起点—终点线向折返线运动的过程中，加速阶段根据运动学公式得t1＝＝1
s，s1＝vmt1＝2
m，减速阶段根据运动学公式得t3＝＝0.5
s，s3＝vmt3＝1
m，匀速阶段用时t2＝＝1.75
s．由折返线向起点—终点线运动的过程中，加速阶段根据运动学公式得t4＝＝1
s，s4＝vmt4＝2
m，匀速阶段用时t5＝＝2
s，受试者“10米折返跑”的成绩为t＝t1＋t2＋t3＋t4＋t5＝1
s＋1.75
s＋0.5
s＋1
s＋2
s＝6.25
s.
答案：6.25
s
PAGE
-
11
-4 匀变速直线运动的速度与位移的关系
1．匀变速直线运动的速度公式为v＝v0＋at，位移公式为x＝v0t＋at2，由以上两个公式消去时间t，就可以得出匀变速直线运动的位移与速度的关系式v2－v＝2ax.
做匀变速直线运动的物体，初速度为v0，经过一段位移后的速度为v，则物体经过这段位移中点时的速度v中点多大？
提示：根据v2－v＝2ax，v－v＝2a×，消去ax，得v中点＝.
2．推论公式v2－v＝2ax中涉及的四个物理量均是矢量，应用它解题时一般取v0方向为正方向，其他物理量的正、负根据与规定的正方向的关系确定．
3．某物体的初速度为v0，以加速度a做匀加速直线运动，如果要它的速度增加到初速度的n倍，则物体的位移是.
某汽车以5
m/s的初速度开始由斜坡顶端向下加速运动，已知汽车运动的加速度为1
m/s2，汽车到达斜坡底端的速度为15
m/s，求斜坡的长度．
答案：100
m
考点一
匀变速直线运动的速度与位移的关系
(1)公式推导
根据匀变速直线运动的基本公式
v＝v0＋at，x＝v0t＋at2，
消去时间t得v2－v＝2ax，
即为匀变速直线运动的速度—位移关系．
(2)对v2－v＝2ax的理解
①位移和速度的关系式为矢量式，它对匀减速直线运动也成立，一般规定初速度v0方向为正方向，当物体做匀加速直线运动时，a取正值；当物体做匀减速直线运动时，a取负值．x>0说明位移的方向与初速度方向相同，x<0说明位移的方向与初速度方向相反．
②当v0＝0时，公式简化为v2＝2ax.
当加速度一定时，可通过位移求解末速度或通过末速度求解位移．
③当v＝0时，公式简化为－v＝2ax.
当加速度一定时，可通过位移求解初速度或通过初速度求解位移．
【例1】 一物体由静止开始做匀加速直线运动，当其位移为x时速度为v，则当位移为时物体的速度v′为多大？
物体在做匀加速直线运动的过程中，加速度不变，本题没有涉及时间，也不需要求时间，故可根据速度—位移关系式求解．
【解析】 由匀变速直线运动的速度—位移关系式v2－v＝2ax和v0＝0，可得v2＝2ax，即v∝
所以＝＝＝
故位移为时物体的速度v′＝v.
【答案】 v
总结提能
解答匀变速直线运动问题的方法比较多，故在选用公式时，应从简便的原则出发，以最简的形式进行解答．
解答匀变速直线运动问题时巧选公式的基本方法是：(1)如果题目中无位移x，也不让求x，一般选用速度公式v＝v0＋at；(2)如果题目中无末速度v，也不让求v，一般选用位移公式x＝v0t＋at2；(3)如果题目中无运动时间t，也不让求t，一般选用导出公式v2－v＝2ax.
随着机动车数量的增加，交通安全问题日益凸显．分析交通违规事例，将警示我们遵守交通法规，珍惜生命．一货车严重超载后的总质量为49
t，以54
km/h的速率匀速行驶．发现红灯时司机刹车，货车立即做匀减速直线运动，加速度的大小为2.5
m/s2(不超载时则为5
m/s2)．
(1)若前方无阻挡，问从刹车到停下来此货车在超载及不超载时分别前进多远？
(2)若超载货车刹车时正前方25
m处停着总质量为1
t的轿车，两车将发生碰撞，求相撞时货车的速度．
解析：(1)设货车刹车时的速度大小为v0，加速度大小为a，末速度大小为vt，刹车距离为x，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式得x＝
代入数据，得超载时x1＝45
m
不超载时x2＝22.5
m.
(2)超载货车与轿车碰撞时的速度为
v＝＝
m/s＝10
m/s.
答案：(1)45
m 22.5
m (2)10
m/s
考点二
匀变速直线运动的几个常用推论
(1)推论1：做匀变速直线运动的物体，在相邻的相等的时间内位移之差Δx＝at2是恒定的．
推证：设物体以初速度v0、加速度a做匀加速直线运动，自计时起时间T内的位移
x1＝v0T＋aT2.
在第2个时间T内的位移
x2＝v0·2T＋a(2T)2－x1＝v0T＋aT2，
即Δx＝aT2.
进一步推证可得
①a＝＝＝＝＝…
②x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1，据此可补上纸带上缺少的长度数据．
(2)推论2：做匀变速直线运动的物体，在某段时间内的平均速度等于初速度与末速度和的一半，也等于中间时刻的瞬时速度，即＝v＝.
推证：由v＝v0＋at，①
知经时间的瞬时速度v＝v0＋a·.②
由①得at＝v－v0，代入②中，得
v＝v0＋(v－v0)＝v0＋－＝，
即v＝.
又x＝v0t＋at2，
由①得a＝，则x＝v0t＋··t2＝v0t＋t，所以＝＝v0＋＝.
即＝v＝.
(3)推论3：做匀变速直线运动的物体，一段位移中点的速度等于初速度、末速度的平方和的一半的平方根，即
v＝.
推证：由速度位移公式v2－v＝2ax，①
知v2－v＝2a·.②
将①代入②可得v2－v＝，
即v＝.
注意：这些推论都只适用于匀变速直线运动，不论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动都是适用的．
(4)推论4：初速度为零的匀变速直线运动的比例式(T为等时间间隔)
①1T末、2T末、3T末、……nT末瞬时速度之比为
v1?v2?v3?……?vn＝1?2?3?……?n.
②1T内、2T内、3T内、……nT内的位移之比为
x1?x2?x3?……?xn＝12?22?32?……?n2.
③第1个T内，第2个T内，第3个T内，……第n个T内位移之比为
xⅠ?xⅡ?xⅢ?……?xn＝1?3?5?……?(2n－1)．
④通过连续相等的位移所用时间之比为
t1?t2?t3?……?tn
＝1?(－1)?(－)?……?(－)．
【例2】 某物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，到达斜面的最高点时速度恰好为零，如图所示，已知物体从底端A点运动到B点时，所用的时间为t，AB的长度为斜面长度的，则物体从B点运动到最高点C所用的时间为________．
本题中物体做匀减速直线运动，到最高点时速度为零，故可以利用可逆思维结合比例法快速求解．
【解析】 解法1(逆向思维法) 物体向上匀减速冲上斜面，相当于向下匀加速滑下斜面．
故xBC＝at，xAC＝a(t＋tBC)2，又xBC＝
由以上三式解得tBC＝t.
解法2(比例法) 对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间内通过的位移之比为
x1?x2?x3?……?xn＝1?3?5?…?(2n－1)
因为xBC?xAB＝()?()＝1?3，而通过xAB的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.
解法3(图象法) 根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边的平方之比，得＝，且＝，OD＝t，OC＝t＋tBC.
所以有＝，解得tBC＝t.
【答案】 t
总结提能
求解初速度为零的匀加速直线运动(或末速度为零的匀减速直线运动)问题的方法较多，可以采用速度公式、位移公式、速度—位移公式、推论式或图象法等进行求解．合理地选择公式，可以有效地减小计算量．
一质点做匀变速直线运动，它在两段连续的时间为t＝4
s内通过的位移分别是24
m和64
m，求质点的初速度大小和加速度大小．
解析：
依题意画出质点运动的草图如图所示．
解法1(常规解法)
由位移公式得x1＝vAt＋at2
x2＝[vA·2t＋a(2t)2]－(vAt＋at2)
将x1＝24
m，x2＝64
m，t＝4
s代入可解得
vA＝1
m/s，a＝2.5
m/s2.
解法2(用平均速度求解)
1＝＝
m/s＝6
m/s，2＝＝
m/s＝16
m/s
又2＝1＋at，即16
m/s＝6
m/s＋4
s·a，
解得a＝2.5
m/s2
由x1＝vAt＋at2可解得vA＝1
m/s.
解法3(用推论公式求解)
由x2－x1＝at2得64
m－24
m＝a·(4
s)2
解得a＝2.5
m/s2
由x1＝vAt＋at2可求得vA＝1
m/s.
答案：1
m/s 2.5
m/s2
考点三 应用匀变速直线运动规律解决实际问题
在解决生活和生产中的实际问题时，应根据所描述的情景与匀变速直线运动相结合分析，找出运动过程，并明确每个运动过程的运动情况，分析出各阶段的物理量，再选取合适的匀变速直线运动规律求解．应用匀变速直线运动规律解题的一般步骤及注意事项如下．
1．认真审题，弄清题意和物体的运动过程，必要的时候要画出物体的运动过程示意图．
2．明确已知条件和待求的物理量，要注意各量单位的统一．
3．规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向)，从而确定已知量和未知量的正负号．对于无法确定方向的未知量，可以先假设为正方向，待求解出后，再根据正负号确定所求物理量的方向．
4．选用适当的公式解题．
5．判断所得结果是否合乎题意．即对计算结果进行必要的判断，看其是否符合实际情况．
【例3】 2008年元旦过后，我国南方一些地区遭受了50年未遇的雪灾，致使道路交通严重受阻，甚至发生交通事故．究其原因主要是：大雪覆盖路面后，被车轮挤压，部分融化为水，在严寒的天气下，又马上结成冰，而汽车在光滑的冰面上行驶时，刹车后难以停下．现有一辆载重卡车，没有安装ABS系统，也没有防滑链．司机发现，即使以原速的一半行驶，紧急刹车后的刹车距离仍然达到了正常路面上紧急刹车距离的2倍．据测定，卡车橡胶轮胎与普通路面间的摩擦可以使卡车产生最大为8
m/s2的加速度，为保证安全，卡车在冰雪路面上的刹车距离不得超过8
m．问：
(1)卡车在冰雪路面上刹车的加速度为多大？
(2)卡车在冰雪路面上行驶的速度最大不得超过多少？
本题是匀变速直线运动的规律在实际中的应用问题，分析本题的关键是明确卡车在正常路面和在冰雪路面上刹车的运动都是匀减速直线运动，遵循相同的规律．
【解析】 (1)设卡车在正常路面上行驶的速度为v0，刹车的加速度为a，在冰雪路面上刹车的加速度为a1，
由v2－v＝2as得
卡车在正常路面上的刹车距离为s＝
在冰雪路面上的刹车距离为s1＝，又s1＝2s
由以上各式可得卡车在冰雪路面上刹车的加速度为
a1＝＝
m/s2＝1
m/s2.
(2)要使卡车在冰雪路面上的刹车距离不超过8
m，
即s1m＝8
m，
根据s1m＝得卡车在冰雪路面上行驶的最大速度为
vm＝＝
m/s＝4
m/s
即卡车在冰雪路面上行驶的速度最大不得超过4
m/s.
【答案】 (1)1
m/s2 (2)4
m/s
总结提能
在解答有关匀变速直线运动的问题时，由于相关公式较多，对于不同的情况，灵活选用公式能使解题过程变得简捷．像例3的这类问题中选用公式v2－v＝2as进行计算，由于公式中不涉及时间变量，因此，我们可以很方便地根据初速度、末速度和加速度求出位移．
在某市区内，一辆汽车正在平直的公路上以速度vA向东匀速行驶，一位观光游客正由南向北从斑马线上横过马路，汽车司机在A处发现这一情况(游客正步行到D处)，经t0＝0.5
s作出反应才紧急刹车，但仍将恰好步行至B的游客撞伤，而汽车仍保持匀减速直线运动到C点停下，整个事故过程如图所示．
为了判断汽车司机是否超速行驶，警方用一性能完全相同的汽车以法定最高速度v0＝12
m/s行驶在同一路段．由于事前有思想准备，司机在A处即紧急刹车，经12
m停下．在事故现场测得AB＝19.5
m，BC＝6.75
m，BD＝3.9
m，问：
(1)该肇事汽车刹车前的行驶速度vA是多大？是否超速？刹车时的加速度是多大？
(2)游客横过公路的步行速度大小．
(3)若汽车司机以法定最高速度v0行驶，发现情况和作出反应条件不变，事故是否会发生？
解析：(1)肇事汽车与实验汽车完全相同，因而急刹车的加速度大小相同．实验汽车初速度v0＝12
m/s，末速度为零，位移x0＝12
m．则由0－v＝2ax0，
得a＝－＝－
m/s2＝－6
m/s2，
肇事汽车司机反应时间t0＝0.5
s，此阶段汽车仍做匀速运动．
所以有xAC＝vAt0＋，解得vA＝15
m/s(vA＝－21
m/s舍)，因此肇事汽车属超速行驶．
(2)设汽车由A到B匀减速运动的时间为t1，
则xAB＝vAt0＋vA·t1＋at，解得t1＝1
s(t1＝4
s舍)，
所以游客横过公路的步行速度
v人＝＝
m/s＝2.6
m/s.
(3)若汽车以法定最高速度v0行驶，则在t0＋t1＝1.5
s内的位移x′＝v0t0＋v0t1＋at，解得x′＝15
m．所以游客经过B点时，汽车还距B点19.5
m－15
m＝4.5
m，因而事故不会发生．
答案：(1)15
m/s 超速 －6
m/s2 (2)2.6
m/s
(3)不会发生
1．两个小车在水平面上做加速度相同的匀减速直线运动，若它们的初速度之比为1?2，它们的运动的最大位移之比为( B )
A．1?2
B．1?4
C．1?
D．2?1
解析：由0－v＝2ax得＝，选项B正确．
2．如图所示，木块A、B并排且固定在水平桌面上，A的长度是L，B的长度是2L.一颗子弹沿水平方向以速度v1射入A，以速度v2穿出B.子弹可视为质点，其运动视为匀变速直线运动．则子弹穿出A时的速度为( C )
A.
B.
C.
D.v1
解析：设子弹的加速度为a，则
v－v＝2a·3L①
v－v＝2a·L②
由①②两式得子弹穿出A时的速度vA＝，选项C正确．
3．某航母跑道长200
m．飞机在航母上滑行的最大加速度为6
m/s2，起飞需要的最低速度为50
m/s.那么，飞机在滑行前，需要借助弹射系统获得的最小初速度为( B )
A．5
m/s
B．10
m/s
C．15
m/s
D．20
m/s
解析：由题知，v＝50
m/s，a＝6
m/s2，x＝200
m，根据v2－v＝2ax得飞机需要借助弹射系统获得的最小初速度v0＝＝
m/s＝10
m/s.故选项B正确．
4．(多选)物体先做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小为a1，当速度达到v时，改为以大小为a2的加速度做匀减速直线运动，直至速度为零．在加速和减速过程中物体的位移和所用时间分别为x1、t1和x2、t2，下列各式成立的是( AC )
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
解析：在加速运动阶段v2＝2a1x1，v＝a1t1；在减速运动阶段0－v2＝2(－a2)x2，v＝a2t2.由以上几式可得＝，＝，进一步可得＝，选项A、C正确．
5．如图所示，一辆长为5
m的汽车以v1＝15
m/s的速度行驶，在离铁路与公路交叉点175
m处，汽车司机突然发现离交叉点200
m处有一列长300
m的列车以v2＝20
m/s的速度行驶过来，为了避免事故的发生，汽车司机应采取什么措施？(不计司机的反应时间与铁路、公路的宽度)
解析：本题需分情况讨论．若汽车不采取措施，到达交叉点的时间为t1＝
s＝
s
穿过交叉点的时间为t2＝
s＝12
s
列车到达交叉点的时间为t01＝
s＝10
s
列车穿过交叉点的时间为t02＝
s＝25
s
因t2>t01，如果要求汽车先于列车穿过交叉点，汽车必须加速，所用时间t必须满足tv1t01＋a1t>180
m
解得a1>0.6
m/s2
因t1因此应有<175
m 所以a2>0.643
m/s2
所以汽车司机可以让汽车以a1>0.6
m/s2的加速度加速通过或以a2>0.643
m/s2的加速度减速停下．
答案：汽车司机可以让汽车以a1>0.6
m/s2的加速度加速通过或以a2>0.643
m/s2的加速度减速停下．
PAGE
-
12
-5 自由落体运动
知识点一 自由落体运动
(1)定义：物体只在重力作用下从静止开始下落的运动．
(2)运动性质：自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动．
知识点二 自由落体加速度
(1)定义：在同一地点，物体做自由落体运动的加速度都相同，这个加速度叫自由落体加速度，也叫重力加速度．
(2)方向：竖直向下．
(3)大小：地球上其大小随地理纬度的增加而增大，在赤道上最小，两极处最大，一般计算中，常取g＝9.8_m/s2.
1971年7月26日发射的阿波罗－15号飞船首次把一辆月球车送上月球，美国宇航员斯科特驾驶月球车行驶28千米，并做了一个落体实验：在月球上的同一高度同时释放羽毛和铁锤，如图所示，出现的现象是(月球上是真空)( D )
A．羽毛先落地，铁锤后落地
B．铁锤先落地，羽毛后落地
C．铁锤和羽毛都做自由落体运动，重力加速度为9.8
m/s2
D．铁锤和羽毛都做自由落体运动，同时落地
知识点三 自由落体运动规律
(1)自由落体运动实质上是初速度v0＝0，加速度a＝g的匀加速直线运动．
(2)基本公式
一位观察者测出，从悬崖进行跳水比赛的参赛者碰到水面前在空中下落了3.0
s，如果不考虑空气阻力，悬崖有多高？实际上是有空气阻力的，因此实际高度比计算值大些还是小些？为什么？(g取10
m/s2)
提示：由h＝gt2，得悬崖高h＝×10×32
m＝45
m．如果不考虑空气阻力，可算出悬崖高45
m，实际上由于存在空气阻力，加速度比重力加速度小，所以实际高度比计算值小．
考点一 自由落体加速度
(1)重力加速度
自由落体加速度也叫重力加速度，是由物体受到的重力产生的．用符号g表示，单位为米/秒2(m/s2)．
(2)大小
在地球上的不同地方，自由落体加速度的大小略有不同．
一般计算中，可以取g＝9.8
m/s2或g＝10
m/s2，如无特别说明，都按g＝9.8
m/s2进行计算．
(3)方向
重力加速度的方向总是竖直向下的．
(4)特点
①在同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同，因此，一切物体自由下落的快慢是相同的．
平时我们看到轻重不同、形状不同、密度不同的物体下落时快慢不同，是由于它们受到空气阻力的影响不同．
②在地球表面上，从赤道到两极，自由落体的加速度逐渐增大，在赤道上最小，约为9.780
m/s2；在两极最大，约为9.832
m/s2.
③在地球上同一地方的不同高度上，自由落体加速度的大小也略有不同，随高度的升高，重力加速度逐渐减小，但在高度相差不太大时，不需要考虑重力加速度的微小差异．
【例1】 (多选)关于自由落体运动，下列说法中正确的是( )
A．初速度为零的竖直向下的运动是自由落体运动
B．只在重力作用下的竖直向下的运动是自由落体运动
C．自由落体运动在任意相等的时间内速度的变化量相等
D．自由落体运动是初速度为零、加速度为g的匀加速直线运动
本题考查自由落体运动的特点，可直接根据自由落体运动的相关知识进行分析．
【解析】 自由落体运动是初速度为零，且只在重力作用下的运动，所以选项A、B错误；在运动性质上，自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，加速度为g，所以在任意相等的时间内速度的变化量Δv＝gΔt相等，故选项C、D正确．
【答案】 CD
总结提能
自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为g，g的大小与重力大小无关．所有的匀变速直线运动的规律都适用于自由落体运动．但要注意，当问题指明(或有暗示)空气阻力不能忽略时，物体从静止开始下落的运动就不再是自由落体运动．
(多选)关于重力加速度的下列说法中，正确的是( BCD )
A．重力加速度g是标量，只有大小，没有方向，通常计算中g取9.8
m/s2
B．在地球上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大
C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中的加速度都相同
D．在地球上的同一地方，离地面高度越大，重力加速度g越小
解析：解题的关键是知道自由落体加速度的大小和方向均与物体所处的地球表面的位置有关．重力加速度是矢量，方向竖直向下，与重力的方向相同．在地球表面，不同的地方，g的大小略有不同，但都在9.8
m/s2左右，所以A不正确，B正确．在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小，所以C、D正确．
考点二 自由落体运动的规律
(1)速度公式：v＝gt.
该公式反映了自由落体运动的瞬时速度随时间变化的规律，公式中的v是从开始下落经过时间t后的瞬时速度．
(2)位移公式：x＝gt2.
位移公式反映了自由落体运动的位移随时间变化的规律，式中x是从开始下落经过时间t的位移，位移的起点是自由落体运动的起始位置．
(3)速度位移关系式：v2＝2gx.
(4)自由落体运动的推论
①连续相等的时间T内的位移之差：Δx＝gT2.
②平均速度：＝.
③若从开始运动时刻计时，划分为相等的时间间隔T，则有如下比例关系．
a．T末、2T末、3T末……瞬时速度之比
v1?v2?v3……＝1?2?3?……
b．T内、2T内、3T内……位移之比
x1?x2?x3?……＝1?4?9?……
c．第一个T内、第二个T内、第三个T内……位移之比
xⅠ?xⅡ?xⅢ?……＝1?3?5?……
④若从运动起点(初位置)划分为连续相等的位移x，则有如下比例关系．
a．连续相等的位移末的瞬时速度
v1?v2?v3?……＝1???……
推证：由v2－v＝2ax可直接得到．
b．通过连续相等的位移所用时间之比
t1?t2?t3?……＝1?(－1)?(－)?……
【例2】 屋檐每隔一定时间滴下一滴水，当第5滴正欲滴下时，第1滴刚好落到地面，而第3滴与第2滴分别位于高1
m的窗子的上、下沿，如图所示，问：(g取10
m/s2)
(1)此屋檐离地面多高？
(2)滴水的时间间隔是多少？
由题图，如果将这5滴水的运动等效为一滴水的自由落体运动，并且将这一滴水运动的全过程分成时间相等的4段，设时间间隔为T，则这一滴水在0时刻，T末、2T末、3T末、4T末所处的位置，分别对应图示第5滴水、第4滴水、第3滴水、第2滴水、第1滴水所处的位置，据此可作出解答．
【解析】 方法1：利用基本规律求解．
设屋檐离地面高为x，滴水间隔为T.由x＝gt2得第2滴水的位移x2＝g(3T)2，第3滴水的位移x3＝g(2T)2，又x2－x3＝1
m，联立以上三式，解得T＝0.2
s.
屋檐高x＝g(4T)2＝×10×(4×0.2)2
m＝3.2
m.
方法2：用比例法求解．
(1)由于初速度为零的匀加速直线运动从开始运动起，在连续相等的时间间隔内的位移比为1?3?5?7?…?(2n－1)，令相邻两水滴之间的间距从上到下依次是x0、3x0、5x0、7x0.
显然，窗高为5x0，即5x0＝1
m，得x0＝0.2
m.
屋檐总高x＝x0＋3x0＋5x0＋7x0＝16x0＝3.2
m.
(2)由x＝gt2知，滴水时间间隔为：
T＝＝
s＝0.2
s.
方法3：用平均速度求解．
设滴水间隔为T，则雨滴经过窗子过程中的平均速度为＝＝.由vt＝gt知，雨滴下落2.5T时的速度为vt＝2.5gT.由于＝vt，故有＝2.5gT，解得T＝0.2
s.
屋檐高x＝g(4T)2＝3.2
m.
【答案】 (1)3.2
m (2)0.2
s
总结提能
对于从同一位置开始间隔相等时间，依次做自由落体运动的物体在空间形成不同间距问题，可将若干个物体在某一时刻的排列情形，等效成一个物体在不同时刻的位置，这就类似于做匀变速直线运动连续相等时间，由此可用Δx＝aT2，初速度为零的匀变速直线运动的比例关系或者平均速度法求解．
如图所示，离地面足够高处有一竖直空管，管长为l＝0.2
m，M，N为空管的上、下两端，以恒定的速度向下做匀速直线运动，同时在空管N端下方距离d＝0.25
m有一小球开始做自由落体运动，取g＝10
m/s2，求：
(1)若经过t1＝0.2
s，小球与N端等高，求空管的速度大小v0；
(2)若经过t2＝0.5
s，小球在空管内部，求空管的速度大小v0应满足什么条件；
(3)为了使小球在空管内部运动的时间最长，求v0的大小，并求出这个最长时间．
解析：(1)当球与N端等高时，v0t1－gt＝d，
得v0＝2.25
m/s.
(2)若v0最小时，球恰好运动到与N端等高，则：v0t2－gt＝d，得v0＝3
m/s；若v0最大时，球恰好运动到与M端等高，则：v0t2－gt＝d＋l，得v0＝3.4
m/s，故3
m/s≤v0≤3.4
m/s.
(3)当时间最长时，球运动到M处恰好与管共速，则：v0＝gt3，v0t3－gt＝d＋l，解得v0＝3
m/s，小球与N端等高时，则：v0t4－gt＝d，解得t4＝0.1
s，或t4＝0.5
s．则tm＝Δt＝0.5
s－0.1
s＝0.4
s.
答案：(1)2.25
m/s (2)3
m/s≤v0≤3.4
m/s
(3)3
m/s 0.4
s
考点三 测定重力加速度的方法
1．利用打点计时器
(1)实验装置如图所示．让重物自由下落打出点迹清晰的纸带．
(2)对纸带上计数点间的距离进行测量，利用g＝，求出重力加速度．
(3)用打点计时器测出的重力加速度可能比实际值偏小，因为重物带动纸带通过计时器下落时要受阻力作用．
(4)实验时注意以下几点：
①为尽量减小空气阻力的影响，重物应选密度大的，如铁锤等．
②打点计时器应竖直固定好．
③重物应靠近打点计时器释放，且要先开打点计时器电源再放手让重物运动．
④改变重物的重量，重复打出几条纸带．
⑤选点迹清晰，且1、2两点间距离小于或接近2
mm的纸带分析探究．
(5)数据处理(逐差法)
①依据相邻两点速度计算加速度再求平均值的方法．
因为a1＝，a2＝，a3＝…an＝，然后取平均值，即＝＝，从结果看，真正参与运算的只有v1和vn＋1，中间各点的瞬时速度在运算中都未起作用，可见此方法不好．
②利用“逐差法”求加速度，若为偶数段，设为6段，则a1＝，a2＝，a3＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得；若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第3段；则a1＝，a2＝，然后取平均值，即＝；或由a＝直接求得；这样所给的数据利用率高，提高了准确程度．
2．频闪照相法
频闪照相机可以间隔相等的时间拍摄一次，根据Δx是否为恒量，可判断自由落体运动是否为匀变速直线运动．根据匀变速直线运动的推论Δx＝gT2可求出重力加速度g＝.
也可以根据v＝＝求出物体在某两个时刻的速度，由g＝也可求出重力加速度g.
3．滴水法
(1)如图，让水滴自水龙头滴下，在水龙头正下方放一个盘，调节水龙头，让水一滴一滴地滴下，并调节到使第一滴水碰到盘的瞬间，第二滴水正好从水龙头口开始下落，并且能依次持续下去；
(2)用刻度尺测出水龙头口距盘面的高度h；
(3)测出每滴水下落的时间T，其方法是：当听到某一滴水滴落在盘上的同时，开启停表开始计时，之后每落下一滴水到盘上依次数1、2、3…，当数到n时按下停表停止计时，则每一滴水滴下落的时间为T＝；
(4)由h＝gT2，得g＝＝.
注意：(1)利用打点计时器测重力加速度的误差主要来自阻力的影响和测量误差．
(2)频闪照相法和滴水法的误差主要是测量误差．
【例3】 用滴水法可以测定重力加速度，方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴到挡板上，如图所示，仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始下落．首先量出水龙头口离挡板的高度h，再用秒表计时，计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启秒表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2,3，…”一直数到“n”时，按下秒表按钮停止时，读出秒表的示数为t.
(1)写出用上述测量方法计算重力加速度g的表达式：g＝________.
(2)为了减小误差，改变h的数值，测出多组数据，记录在表格中(表中t′是水滴从水龙头口到A板所用的时间，即水滴在空中运动的时间)，请在图中所示的坐标纸上作出适当的图象，并利用图象求出重力加速度g的值：g＝________(要求保留三位有效数字)．
次数
高度h/cm
空中运动时间t′/s
1
20.10
0.20
2
25.20
0.23
3
32.43
0.26
4
38.45
0.28
5
44.00
0.30
6
50.12
0.32
(1)根据题意每滴水下落的时间为，由自由落体可得g的表达式．(2)由自由落体h＝gt2，h－t2图象为过原点的直线，其斜率为k＝g，则g＝2k.
【解析】 解题关键是求出每滴水从水龙头到盘子的时间．
(1)滴水周期是水滴自由下落的时间，故T＝，
由h＝gT2得g＝.
(2)各次实验的t′2见下表：
1
2
3
4
5
6
0.040
0.053
0.068
0.078
0.090
0.102
描点作出图象如图所示，由图象知k＝≈4.84
m/s2，故g＝2k＝9.68
m/s2.
【答案】 (1) (2)图象见解析 9.68
m/s2
总结提能
测定重力加速度的方法
(1)利用相邻的、相等的时间间隔的位移差相等，且为一定值，即Δx＝gT2，则g＝.
(2)可由位移公式x＝gt2求得．利用刻度尺量出从初始位置到某点的位移，若已知发生这段位移的时间，则g＝.可以找多个点，多次求g值，再求平均值．
(3)可利用速度公式v＝gt求得．利用平均速度求某一点的瞬时速度，并已知自由下落的物体经过这一点的时间，则由g＝解得，当然亦可多找点，多次求瞬时速度，多次求g值，再求平均值．
(4)利用多次求得的瞬时速度，画出v－t图象，根据图象的斜率求得g.
(5)用滴水法可以测定重力加速度的值．方法是：在自来水龙头下面固定一块挡板A，使水一滴一滴连续地滴落到挡板上，如图所示，仔细调节水龙头，使得耳朵刚好听到前一个水滴滴在挡板上的声音的同时，下一个水滴刚好开始下落．首先量出水龙头口离挡板的高度h，再用停表计时．计时方法是：当听到某一水滴滴在挡板上的声音的同时，开启停表开始计时，并数“1”，以后每听到一声水滴声，依次数“2,3，…”，一直数到“n”，按下停表按钮停止时，读出停表的示数为t.根据以上数据可求g.由上可知，相邻两滴水声的间隔就是水滴自由下落的时间，故T＝，由x＝gT2得g＝.
图中甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50
Hz.
(1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？
答案：甲图
(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5……经测量，第15至第17点间的距离为11.70
cm，第1至第16点间距离为43.88
cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为2.93
m/s，测出的重力加速度值为g＝9.78(±0.02均可)
m/s2(要求保留三位有效数字)．
解析：(1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理．
(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝≈2.93
m/s，又根据2gH＝v2，g＝＝
m/s2≈9.78
m/s2.
1．(多选)小刚观察苹果树，从同一高度一个苹果和一片树叶同时从静止直接落到地上，苹果先着地，下列说法中正确的是( CD )
A．苹果和树叶做的都是自由落体运动
B．苹果和树叶的运动都不能看做自由落体运动
C．苹果的运动可以看成自由落体运动，树叶的运动不能看成自由落体运动
D．假如地球上没有空气，则苹果和树叶会同时落地
解析：由于苹果受到空气阻力比苹果自身所受重力小得多，可以忽略不计，因此苹果的运动可视为自由落体运动；在没有空气阻力的情况下，苹果、树叶只受重力作用，因此都是自由落体运动．
2．做自由落体运动的物体运动的时间取决于( B )
A．物体的重力
B．物体下落的高度
C．物体的速度
D．物体的加速度
解析：由位移时间关系式h＝gt2，得t＝，所以做自由落体运动的物体运动的时间由下落的高度决定．
3．(多选)如图所示，甲、乙、丙、丁是以时间为横轴的自由落体运动的图象，下列说法正确的是( BCD )
A．甲是a－t图象
B．乙是v－t图象
C．丙是h－t图象
D．丁是a－t图象
解析：自由落体运动的加速度等于重力加速度，为一恒量，故甲不是a－t图象、丁为a－t图象，选项A错误，D正确；由公式v＝gt知做自由落体运动的物体的速度与时间成正比，选项B正确；由h＝gt2知自由落体的h－t图线为抛物线，选项C正确．
4．为了测量重力加速度，某学校研究性学习小组的一位同学，利用做自由落体运动的重物，牵引纸带通过打点计时器打出若干条纸带，从中选出一条清晰的，由纸带上打出的某一点开始，每5个点剪下一段纸带，按图所示，使每一条纸带下端与x轴重合，左边与y轴平行，将纸带按段粘贴在直角坐标系中，已知交流电源的频率为50
Hz，则重力加速度是9.7
m/s2(保留两位有效数字)．除了上述利用自由落体测量重力加速度的方法外，你还有没有更简便的方法？请简述测量原理及方法并写出所用器材．
答案：见解析
解析：连接纸带上端的中点成一条直线，求出直线的斜率k即为重力加速度g.由题意可得，每段纸带的长度就是相邻相等时间间隔内小车的位移，由图示数据可得Δs＝9.7×10－2
m，时间间隔为T＝0.02×5
s＝0.1
s，根据Δs＝aT2，可得重力加速度为9.7
m/s2.有更简便的方法．测量原理及方法：根据G＝mg用弹簧测力计测量标准质量砝码的重力，然后求g，需要的器材有弹簧测力计、标准质量砝码．
5．从离地面500
m处自由落下一个小球，g取10
m/s2，求：
(1)落到地面经过多长时间？
(2)开始下落后第1
s内的位移和最后1
s内的位移．
(3)下落时间为总时间一半时的位移．
解析：解题关键是理解自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动．
(1)小球做自由落体运动，根据
x＝gt2，t＝＝
s＝10
s.
(2)第1
s内的位移x1＝gt＝×10×12
m＝5
m.
小球共下落10
s，求最后1
s内的位移，可用总位移减去前9
s内的位移．x9＝gt＝405
m，最后1
s内的位移Δx＝x－x9＝95
m.
(3)下落一半时间t′＝t＝5
s，位移x′＝gt′2＝×10×52
m＝125
m.
答案：(1)10
s (2)5
m 95
m (3)125
m
PAGE
-
14
-6 伽利略对自由落体运动的研究
知识点一 亚里士多德的观点
物体下落的快慢是由它们的重量决定的．
知识点二 伽利略的研究
(1)归谬：伽利略从亚里士多德的论断出发，通过逻辑推理，否定了亚里士多德的论断．
(2)猜想：伽利略猜想自由落体运动是一种最简单的变速运动，它的速度应该是均匀变化的．
(3)数学推理：伽利略通过数学推理得出初速度为零的匀变速直线运动应有x∝t2.
(4)实验结果：
①小球沿斜面滚下的运动是匀加速直线运动．
②只要斜面的倾角一定，小球的加速度都是相同的．
③增大斜面的倾角，小球的加速度随斜面倾角的增大而增大．
(5)合理外推：伽利略认为当斜面倾角为90°时，小球将自由下落，仍会做匀变速直线运动．
如图是著名的比萨斜塔．传说伽利略曾在比萨斜塔上做过实验．伽利略让重的铁球和轻的铁球同时下落，发现两球几乎同时落地，仅仅相差“二指宽”．这是为什么呢？
提示：实验证明：相同时间内，重的铁球和轻的铁球下落高度几乎相同．“二指宽”的差别是空气阻力造成的．
伽利略科学方法的意义是什么？
提示：伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究自然规律的科学方法——抽象思维、数学推导和科学实验相结合，这种方法到现在一直是物理学乃至整个自然科学界最基本的研究方法，不但标志着物理学的真正开端，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的大门从此被打开．
考点一 伽利略对自由落体运动的研究
(1)伽利略的逻辑思维
伟大的物理学家伽利略用简单明了的科学推理，巧妙地揭示了亚里士多德的理论内部包含的矛盾．他指出：根据亚里士多德的论断，一块大石头的下落速度要比一块小石头的下落速度大，假定大石头的下落速度为8
m/s，小石头的下落速度为4
m/s，由这一观点出发，当我们把两块石头拴在一起时，对于下落快慢就有两种结论：
结论一：下落快的会被下落慢的拖着而减慢，下落慢的会被下落快的拖着而加快，结果整个系统的下落速度应该小于8
m/s而大于4
m/s；
结论二：两块石头拴在一起，加起来比大石头还要重，其下落的速度比任何一个物体都要快，速度应该大于8
m/s.
产生矛盾的根本原因就是“重物比轻物下落得快”．从逻辑上，伽利略认为只有一种可能：重物与轻物应该下落得同样快．
(2)猜想及实验验证
猜想：重物和轻物下落速度不受重力大小的影响，都是做相同的匀变速直线运动．
实验：①伽利略用数学运算得出结论：如果物体初速度为0，而且速度随时间的变化是均匀的，则v∝t，x∝t2，因此，探究自由落体运动是否为匀变速直线运动，只要证明物体自由下落过程中的位移与时间的平方是否成正比即可．
②实验验证：因为物体实际下落太快，伽利略想办法把物体的速度放慢，即先研究小球在斜面上的运动，如图所示．
让小球从斜面上不同位置滚下，观测小球多次从不同起点滚下的位移和所用时间平方的比值是否保持不变，即是否能观测到＝＝＝….
如果不断加大斜面的倾角，小球对于每一个特定的倾角从不同高度滚下，其比值仍然保持不变，则可以合理地外推至倾角为90°，即物体自由下落时，其比值也保持不变，如图所示．由此，伽利略间接地验证了自由落体运动是匀变速直线运动．
【例1】 美国《科学》杂志刊登了根据伽利略当年描述的实验装置所进行的一项重复性的斜面实验．该实验的倾角为3.73°，使用水钟测量时间，其结果见下表：
s(以英尺为单位)
t(以毫升为单位)
15
90
13
84
10
72
7
62
5
52
3
40
1
23.5
根据上面的数据，你能验证伽利略当年的研究是否正确吗？
【解析】 水钟流出水的体积与时间成正比，如果小球沿斜面滚动的距离与水钟流出水的体积的二次方成正比，则说明位移与时间的二次方成正比，证明小球沿斜面的运动是匀变速直线运动．
由表中数据可得＝＝0.001
9；＝＝0.001
8；＝＝0.001
9；＝＝0.001
8；＝＝0.001
8；＝＝0.001
9；＝＝0.001
8.
可见，在误差允许的范围内，小球的位移与时间的二次方成正比，小球的运动是一种匀变速直线运动，因而验证了伽利略当年研究的正确性．
【答案】 见解析
总结提能
熟悉伽利略对斜面实验的研究过程，掌握证明物体做匀变速直线运动的方法，是解决本题的前提．
下面是在模拟伽利略“冲淡重力”实验时获取的一组数据.
试根据这组数据回答：
(1)该小球做的是匀变速直线运动吗？请说明理由．
(2)在空格处填上相应估算数据．
解析：(1)可计算出：＝＝3，＝≈3.01，
＝≈3.01，＝≈2.98，……
可见为一常数，说明是匀变速直线运动．
(2)由(1)知＝3，得s7＝3t＝3×49＝147，故应填入147.
答案：(1)是 理由见解析 (2)147
考点二 伽利略的研究方法
观察—提出猜想—运用逻辑推理—用实验验证—对猜想进行修正(补充)—推广应用
(1)运用“归谬法”否定了亚里士多德关于重的物体下落快、轻的物体下落慢的论断．
(2)提出自由落体运动是一种最简单的变速运动——匀变速运动的假说．
(3)由于不能用实验直接验证自由落体运动是匀变速运动，伽利略采用了间接验证的方法：
①运用数学推导的方法得出初速度为零的匀变速直线运动符合x∝t2.
②运用斜面实验测出小球沿光滑斜面向下的运动符合x∝t2，是匀变速直线运动．
a．不同质量的小球沿同一倾角的斜面运动，x/t2的值不变，说明它们的运动情况相同．
b．不断增大斜面倾角，得出x/t2的值随之增大，说明小球做匀变速直线运动的加速度随倾角的增大而增大．
c．伽利略将斜面实验结果外推到斜面倾角增大到90°的情况——小球自由下落，认为小球仍会保持匀变速直线运动的性质．
伽利略对自由落体运动的研究，开创了研究自然规律的科学方法——抽象思维、数学推导和科学实验相结合，这种方法到现在一直是物理学乃至整个自然科学界最基本的研究方法，不但标志着物理学的真正开端，也有力地推进了人类科学认识的发展，近代科学研究的大门从此被打开．
【例2】 (多选)伽利略对自由落体运动的研究，是科学实验和逻辑思维的完美结合，如图所示，可大致表示其实验和思维的过程，对这一过程的分析，下列说法正确的是( )
A．甲、乙、丙图是实验现象，丁图是经过合理的外推得到的结论
B．丁图是实验现象，甲、乙、丙图是经过合理的外推得到的结论
C．运用丁图的实验，可“放大”重力的作用，使实验现象更明显
D．运用甲图的实验，可“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显
【解析】 因为物体下落得太快，伽利略无法测量物体自由下落的时间，为了使物体运动放慢，伽利略转向探究物体在斜面上的运动，甲、乙、丙三个图都是实验现象，采用斜面的目的是“冲淡”重力的作用，使实验现象更明显，而之所以采用了不同倾角的斜面，则是观察其规律性，形成外推的实验基础，而丁图是在此基础上经过合理的外推得到的结论，选项A、D正确．
【答案】 AD
总结提能
解答本题的关键是对“实验现象”和“合理外推”的理解与感悟，“实验现象”能够直接观察到，而“合理外推”的内容一定是不能直接观测到的．
在学习物理知识的同时，还应当十分注意学习物理学研究问题的思想和方法，从一定意义上说，后一点甚至更重要．伟大的物理学家伽利略的研究方法对于后来的科学研究具有重大的启蒙作用，至今仍然具有重要意义．请你回顾伽利略探究物体下落规律的过程，判定下列哪个过程是伽利略的探究过程( C )
A．猜想——问题——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
B．问题——猜想——实验验证——数学推理——合理外推——得出结论
C．问题——猜想——数学推理——实验验证——合理外推——得出结论
D．猜想——问题——实验验证——数学推理——合理外推——得出结论
解析：伽利略探究物体下落规律的过程是：先对亚里士多德对落体运动的观察得出的结论提出质疑——大小石块捆在一起下落得出矛盾的结论；猜想——下落的运动是最简单的运动，速度与时间成正比；数学推理——如果v∝t，则有h∝t2；实验验证——设计出斜面实验并进行研究，得出光滑斜面上滑下的物体的规律h∝t2；合理外推——将光滑斜面上滑下的物体的规律h∝t2推广到落体运动．从探究的过程看，答案应是C.
1．(多选)伽利略认为自由落体运动应该是最简单的变速运动，即它的速度是均匀变化的，速度的均匀变化意味着( AD )
A．速度与时间成正比
B．速度与位移成正比
C．速度与时间的二次方成正比
D．位移与时间的二次方成正比
解析：伽利略认为速度均匀变化意味着速度与时间成正比，可从数学上推导出位移与时间的二次方成正比，A、D正确．
2．爱因斯坦说：“伽利略的发现以及他所应用的科学推理方法，是人类思想史上最伟大的成就之一，标志着物理学的真正开端．”在科学史上，伽利略享有“近代科学方法论的奠基人”的美誉．根据你对物理学的学习和对伽利略的了解，他的物理思想方法的研究顺序是( A )
A．提出假说，数学推理，实验验证，合理外推
B．数学推理，实验验证，合理外推，提出假说
C．实验验证，合理外推，提出假说，数学推理
D．合理外推，提出假说，数学推理，实验验证
3．伽利略用实验验证v∝t的困难是( C )
A．当时没有测量时间的仪器
B．不能很准确地测定下落的距离
C．不能测出下落物体的瞬时速度
D．缺少科学研究方法的指导
解析：在当时，有测量时间的仪器(如滴水法等)，但不精确，A错误；测下落距离时，能准确地测量，故B错误；不能测出下落物体的瞬时速度，故C正确．
4．物理学家于2003年评出10个最美丽的物理实验，这种美是一种经典概念：最简单的仪器和设备，最根本、最单纯的科学结论．其实，科学的美蕴藏于各门科学的实验之中，有待于我们在学习过程中不断的感悟和发现．伽利略的自由落体实验和加速度实验均被选为最美的实验．
在加速度实验中，伽利略将光滑直木板槽倾斜固定，让铜球从木槽顶端沿斜面由静止滑下，并用水钟测量铜球每次下滑的时间，研究铜球的运动路程与时间的关系．亚里士多德曾预言铜球的运动速度是均匀不变的，伽利略却证明铜球运动的路程与时间的平方成正比．请将亚里士多德的预言和伽利略的结论分别用公式表示(其中路程用x、速度用v、加速度用a、时间用t表示)．
亚里士多德的预言：v＝；伽利略的结论：x＝at2.
5．如图所示是某课题研究小组进行自由落体运动实验时，用频闪照相的方法获得的两张照片A和B，任选其中的一张回答下列几个问题．
A．质量相等的纸片和纸团 B．体积相等的铅球和木球
(1)我选图A；
(2)我从图中观察到的现象是从同一高度同时由静止释放的质量相等的纸团和纸片，纸团下落得快，先落地；
(3)请你对观察到的现象进行解释．
答案：质量相等的纸团和纸片，纸片受到的空气阻力较大，不能忽略，纸片的运动不是自由落体运动，而纸团受到的空气阻力较小，可以忽略，其运动可以看成是自由落体运动．
或(1)我选图B；
(2)我从图中观察到的现象是体积相等的铅球和木球，从同一高度同时由静止释放，它们同时落地；
(3)请你对观察到的现象进行解释．
答案：铅球和木球受到的空气阻力都可以忽略，它们的运动都可以看成是自由落体运动，所以同时落地．
PAGE
-
8
-
