人教版八年级上册11.1 与三角形有关的线段讲义（含答案)

三角形的边
知识精讲：
1.
按边分类
?
?
2.
三边关系
三角形任意两边的和大于第三边；三角形任意两边的差小于第三边
???
3.
稳定性
如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征叫做三角形的稳定性．除了三角形外，其他多边形不具备稳定性，因此在生产建设中，为达到巩固的目的，把一些构件都做成三角形结构．
三点剖析：
考点：1.
按边分类；2.三边关系；3.
稳定性
重难点：1.
在应用三边关系判断能否组成三角形时，可以简化为：当三条线段中最长的线段小于另两条线段之和时，或当三条线段中最短的线段大于另两条线段之差时，即可组成三角形．
2.
由三角形三边关系可得，如果a,
b,
c三条线段能够组成三角形，那么.
易错点：在做与三角形的边有关的计算时，最后一定要注意检验是否满足三边关系定理，即最终能否组成三角形.
题型讲解：
题模一：按边分类
例1.1.1
下列长度的三条线段能组成三角形的是（
）
A.1，2，3
B.1，，3
C.3，4，8
D.4，5，6
例1.1.2
下列说法中错误的是（
）
A.
三角形可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形
B.
三角形可分为等腰三角形和等边三角形
C.
等腰三角形包括等边三角形
D.
斜三角形包括锐角三角形和钝角三角形
题模二：三边关系
例1.2.1
等腰三角形的周长是18cm，其中一边长为4cm，其它两边长分别为（　　）
A.4cm，10cm
B.7cm，7cm
C.4cm，10cm或7cm，7cm
D.无法确定
例1.2.2
如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为（　　）
A.5
B.6
C.7
D.10
例1.2.3
如图，已知是△的边上的高，是边上的中线，求证：
例1.2.4
小明和小丽是同班同学，小明的家距学校2千米远，小丽的家距学校5千米远，设小明家距小丽家x千米远，则x的值应满足（
）
A.
B.
C.或
D.
题模三：稳定性
例1.3.1
要使五边形木架（用五根根条钉成）不变形，至少要再钉上（
）根本条．
A.1
B.2
C.3
D.4
例1.3.2
下列图形中，不具有稳定性的是（
）
A.
B.
C.
D.
练习：
随练1.1
已知有两边长为、，其中，则其周长一定满足（
）
A.
B.
C.
D.
随练1.2
在中，，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12和15的两部分，求三角形各边的长.
随练1.3
如图，已知△中，，D在AC的延长线上．求证：．
随练1.4
已知：A．b、c为三角形的三边长
化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|﹣|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|
随练1.5
如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（
）
A.A、C两点之间
B.E、G两点之间
C.B、F两点之间
D.G、H两点之间
三角形的高、中线、角平分线
知识点综合
1.
三角形的高、中线、角平分线
（1）从三角形的一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线；
（2）在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线；
（3）每个三角形都有三条中线，且相交于一点，这个点叫做三角形的重心.
（4）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
2.
面积问题
（1）解决面积相关的综合问题时，一般会用到等高三角形的面积比等于底之比，或者是同底三角形的面积比等于高之比.
（2）计算不规则的图形面积时，注意先把不规则的图形经过面积的加减组合，转化成容易计算的规则的图形面积，再进行计算.
三点剖析
考点：1.
三角形的高、中线、角平分线；2.
面积问题；
重难点：1.
锐角三角形的高均在三角形内部，三条高的交点也在三角形的内部；直角三角形两条高分别与两条直角边重合，三条高的交点也在三角形的直角顶点处；钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高落在三角形的外部.
2.
三角形三条中线的交点一定在三角形内部.
3.
每个三角形都有三条角平分线且交于一点，这个点叫三角形的内心，它也一定在三角形内部．
易错点：1.画三角形的高时，只要向对边或对边的延长线作垂线，连接顶点与垂足的线段就是该边的高．2.
三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线.
题型讲解：
题模一：三角形的高、中线、角平分线
例2.1.1
如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（　　）
A.
B.
C.
D.
例2.1.2
已知AD是△ABC的中线，则下列结论不正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
例2.1.3
如图，每个小正方形的边长为1，在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点．
（1）补全根据下列条件，利用网格点和三角板画图：
（2）画出AB边上的中线CD；
（3）画出BC边上的高线AE；
（4）的面积为________
题模二：面积问题
例2.2.1
如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形边长为1，点O，A，B在方格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C，使△ABC的面积为3，则这样的点C共有____
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
例2.2.2
如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（
）
A.10
B.7
C.5
D.4
例2.2.3
（1）阅读下面材料并完成问题：
已知：直线AD与△ABC的边BC交于点D，
①如图1，当时，则S△ABD________S△ADC．（填“=”或“＜”或“＞”）
②如图2，当时，则S△ABD_____S△ADC．
③如图3，若AD∥BC，则有S△ABC____S△DBC．（填“=”或“＜”或“＞”）
（2）请你根据上述材料提供的信息，解决下列问题：
过四边形ABCD的一个顶点画一条直线，把四边形ABCD的面积分成的两部分．（保留画图痕迹）
题型练习：
随练2.1
如图，作出钝角△的边上的高．
随练2.2
如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点是方格纸中的两个格点，在4×5的方格纸中，找出格点C，使△ABC的面积为1个平方单位，则满足条件的格点C的个数是
．
随练2.3
如图，对面积为1的逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至、、，使得，，，顺次连接、、，得到，记其面积为；第二次操作，分别延，，至，，，使得，，，顺次连接，，得到，记其面积为……，按此规律继续下去，可得到，则其面积为_________．
第次操作得到，则的面积
．
随练2.4
阅读下列材料：
某同学遇到这样一个问题：如图1，在中，，是的高．是边上一点，PM，PN分别与直线AB，AC垂直，垂足分别为点M，N．求证：．
他发现，连接AP，有，即．由，可得．
他又画出了当点在的延长线上，且上面问题中其他条件不变时的图形，如图2所示．他猜想此时BD，PM，PN之间的数量关系是：
请回答：
（1）请补全以下该同学证明猜想的过程；
∵___________，
∴___________，
∵，
∴．
（2）参考该同学思考问题的方法，解决下列问题：
在中，，BD是的高．P是所在平面上一点，PM，PN，PQ分别与直线AB，AC，BC垂直，垂足分别为点M，N，Q．
图3，若点P在的内部，则BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：_________________；
②若点P在如图4所示的位置，利用图4探究得出此时BD，PM，PN，PQ之间的数量关系是：________________________．
课后作业：
拓展1
等腰三角形的两边长分别是3和5，则这个等腰三角形的周长为　
　．
拓展2
有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为（　　）
A.1
B.2
C.3
D.4
拓展3
如图，中，已知，，则腰长的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
拓展4
已知：a、b、c是△ABC三边长，且M＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b－c），那么（
）
A.M＞0
B.M＝0
C.M＜0
D.不能确定
拓展5
如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC，且∠B=30°，∠C=100°，如图2．则下列说法正确的是____
A.点M在AB上
B.点M在BC的中点处
C.点M在BC上，且距点B较近，距点C较远
D.点M在BC上，且距点C较近，距点B较远
拓展6
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（　　）
A.2.5
B.3
C.4
D.5
拓展7
如图，在△ABC中，D是BA上一点，则成立吗？说明你的理由．
拓展8
在△ABC中，若AB＝5，BC＝2，且AC的长为奇数，则AC＝________．
拓展9
如图，工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，E、F、G、H分别是四条边上的中点，为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在（
）
A.A、C两点之间
B.E、G两点之间
C.B、F两点之间
D.G、H两点之间
拓展10
能将三角形面积平分的是三角形的（
）
A.角平分线
B.高
C.中线
D.外角平分线
拓展11
如图，A、B、C分别是线段A1B，B1C，C1A的中点，若△ABC的面积是1，那么△A1B1C1的面积____．
拓展12
如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，图中阴影部分为红色。若每个小长方形的面积都是1，则红色的面积为________.
拓展13
如图，任意四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，把△AOB、△AOD、△COD、△BOC的面积分别记作、、、，则下列各式成立的是（
）
A.
B.
C.
D.
拓展14
有一块三角形的优良品种实验土地，如图，现引进四个品种进行对比实验，须将这块土地分成面积相等的四块．请你制定出六种以上的划分方案．
拓展15
如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上：（1）请写出图1中所有的面积相等的各对三角形：_____；（2）如图1，不难证明，点P在直线m上移动到任一位置时，总有△ABP与△ABC的面积相等；如图2，点M在△ABC的边上，请过点M画一条直线，平分△ABC的面积.（保留作图痕迹，并对作法做简要说明）
拓展16
如图，在△ABC中，E为AC的中点，点D为BC上一点，BD︰CD＝2︰3，AD，BE交于点O，若S△AOE－S△BOD＝1，则△ABC的面积为________．
答案解析
三角形的边
题模一：按边分类
例1.1.1
【答案】D
【解析】A、1+2=3，不能组成三角形，故本选项错误；
B、1+＜3，不能组成三角形，故本选项错误；
C、3+4＜8，不能组成三角形，故本选项错误；
D、4+5＞6，能组成三角形，故本选项正确．
例1.1.2
【答案】B
【解析】三角形应该分为等腰三角形和不等边三角形.
题模二：三边关系
例1.2.1
【答案】B
【解析】当腰为4时，另一腰也为4，则底为18﹣2×4=10，
∵4+4=8＜10，
∴这样的三边不能构成三角形．
当底为4时，腰为（18﹣4）÷2=7，
∵0＜7＜7+4=11，
∴以4，7，7为边能构成三角形．
故选B．
例1.2.2
【答案】C
【解析】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．
若两个螺丝的距离最大，则此时这个木框的形状为三角形，可根据三条木棍的长来判断有几种三角形的组合，然后分别找出这些三角形的最长边即可．
已知4条木棍的四边长为2、3、4、6；
①选2+3、4、6作为三角形，则三边长为5、4、6；5-4＜6＜5+4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最长距离为6；
②选3+4、6、2作为三角形，则三边长为2、7、6；6-2＜7＜6+2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；
③选4+6、2、3作为三角形，则三边长为10、2、3；2+3＜10，不能构成三角形，此种情况不成立；
④选6+2、3、4作为三角形，则三边长为8、3、4；而3+4＜8，不能构成三角形，此种情况不成立；
综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7．
故选：C．
例1.2.3
【答案】见解析
【解析】∵
∴，在△AEC中，．
又∵AE为中线，∴
即，∴
例1.2.4
【答案】D
【解析】该题考查的是三角形三边关系．
由题意可得，小明家可能在以学校为圆心，半径为2千米的圆上，小丽可能在以学校为圆心，
半径为5千米的圆上，
由图易得，
当两家处于A，B位置时距离最近，为千米，
当两家位于C，D位置时距离最远，为千米．
因此，x应当满足，
故答案为D．
题模三：稳定性
例1.3.1
【答案】B
【解析】如图，至少需要2根木条．
例1.3.2
【答案】B
【解析】本题考查的是三角形稳定性．
A可以看成两个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
B可以看成一个三角形和一个四边形，而四边形不具有稳定性，则这个图形一定不具有稳定性，故本选项正确；
C可以看成三个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误；
D可以看成7个三角形，而三角形具有稳定性，则这个图形一定具有稳定性，故本选项错误．
故选B．
随练1.1
【答案】A
【解析】设三角形的第三边长为x，由三角形的三边关系可知，．因此周长l满足
随练1.2
【答案】8，8，11或10，10，7
【解析】该题考查的是等腰三角形．
根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，即，解得，
∴底边长是，此时三角形各边的长是10，10，7；
②当12是腰长与腰长一半时，即，解得，
∴底边长是，此时三角形各边的长是11，8，8．
随练1.3
【答案】见解析
【解析】∵在△中，
又∵∴
即
∴
随练1.4
【答案】2c-2a
【解析】∵A．b、c为三角形三边的长，
∴a+b＞c，a+c＞b，b+c＞a，
∴原式=|（b+c）﹣a|+|b﹣（c+a）|﹣|c﹣（a+b）|﹣|（a+c）﹣b|
=b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c+b﹣a﹣c
=2c﹣2a．
随练1.5
【答案】B
【解析】工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
三角形的高、中线、角平分线
题模一：三角形的高、中线、角平分线
例2.1.1
【答案】A
【解析】为△ABC中BC边上的高的是A选项．
例2.1.2
【答案】A
【解析】该题考察的是三角形中线的性质．
∵AD是△ABC的中线，
∴，B，C选项正确，
设h为点A到BC的垂线段长度
∵，
∴，D选项正确，
故答案是A．
例2.1.3
【答案】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：CD就是所求的中线；
（3）如图所示：AE即为BC边上的高；
（4）8．
【解析】（1）连接，过A、C分别做的平行线，并且在平行线上截取，顺次连接平移后各点，得到的三角形即为平移后的三角形；
（2）作AB的垂直平分线找到中点D，连接CD，CD就是所求的中线．
（3）从A点向BC的延长线作垂线，垂足为点E，AE即为BC边上的高；
（4）．
故的面积为8．
题模二：面积问题
例2.2.1
【答案】B
【解析】
由图可知，AB∥x轴，且AB=3，
设点C到AB的距离为h，
则△ABC的面积=×3h=3，
解得h=2，
∵点C在第四象限，
∴点C的位置如图所示，共有3个．
故选：B．
例2.2.2
【答案】C
【解析】作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，ED⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴S△BCE=BC?EF=×5×2=5．
例2.2.3
【答案】（1）=；；（2）见解析
【解析】本题结合三角形的面积公式考查了作图-应用与设计作图．
用到的知识点：等底等高的两个三角形面积相等，等高的两个三角形面积之比等于对应底之比，两平行线之间的距离处处相等．
（1）①=--------------------------------------1分
②--------------------------------------2分
③=--------------------------------------3分
（2）方法一：
①过点D作DE∥AC交BC延长线于点E，
②F为BE三等分点
③则直线AF为所求，如图所示．
---------------------------5分
方法二：
①E为AC三等分点，
②过E作FG∥BD交DC于点E，BC于G，
③则直线DG为所求，如图所示．
---------------------------5分
随练2.1
【答案】如下图
【解析】根据三角形高线的定义，边上的高线应该交在延长线上
随练2.2
【答案】6
【解析】该题考查的是三角形的面积．
首先分别在AB的两侧找到一个使其面积是1个平方单位的点，
再分别过这两点作AB的平行线，找到所有的格点即可．
满足条件的C点有6个，如图平行于AB的直线上，与网格的所有交点就是．
随练2.3
【答案】；
【解析】本题考查的是三角形面积推理．
如图，连接，那么与的面积之比等于与的长度之比，为，
同理，与的面积之比为，那么的面积为面积的6倍；
同理，、的面积均为面积的6倍，
那么的面积为面积的19倍．
这样的操作进行次，得到的三角形面积为．
随练2.4
【答案】（1）见解析（2）①②
【解析】该题考查的是等面积方法的应用．
（1）由图可知
∵
∴,
∵
∴
（2）①连接AP、BP、CP
参考该同学思考问题的方法，则有
∵，
∴，
∵，
∴．
②过点P分别作直线AB，AC，BC的垂线P，垂足分别为点M，N，Q，
分别连接接AP、BP、CP，参考以上的思考方法，则有
∵，
∴，
∵，
∴．
拓展1
【答案】11或13．
【解析】①3是腰长时，三角形的三边分别为3、3、5，
能组成三角形，周长=3+3+5=11，
②3是底边长时，三角形的三边分别为3、5、5，
能组成三角形，周长=3+5+5=13，
综上所述，这个等腰三角形的周长是11或13．
故答案为：11或13．
拓展2
【答案】C
【解析】此题主要考查了三角形三边关系，三角形的三边关系：任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；注意情况的多解和取舍．
从4条线段里任取3条线段组合，可有4种情况，看哪种情况不符合三角形三边关系，舍去即可．
四条木棒的所有组合：3，6，8和3，6，9和6，8，9和3，8，9；
只有3，6，8和6，8，9；3，8，9能组成三角形．
故选：C．
拓展3
【答案】B
【解析】根据三角形的三边关系定理来确定腰长x的取值范围．
若是等腰三角形，需满足的条件是：，解得
拓展4
【答案】C
【解析】∵a、b、c是△ABC三边长，
∴a＋b＋c＞0，a＋b－c＞0，a－b－c＜0，
∴M＝（a＋b＋c）（a＋b－c）（a－b－c）．
拓展5
【答案】C
【解析】
解：∵∠C=100°，
∴AB＞AC，
如图，取BC的中点E，则BE=CE，
∴AB+BE＞AC+CE，
由三角形三边关系，AC+BC＞AB，
∴AB＜AD，
∴AD的中点M在BE上，
即点M在BC上，且距点B较近，距点C较远．
故选C．
拓展6
【答案】A
【解析】已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，
拓展7
【答案】见解析
【解析】∵在△中，
在△中，∴
∴
∴
拓展8
【答案】5
拓展9
【答案】B
【解析】工人师傅做了一个长方形窗框ABCD，工人师傅为了使它稳固，需要在窗框上钉一根木条，这根木条不应钉在E、G两点之间（没有构成三角形），这种做法根据的是三角形的稳定性．
拓展10
【答案】C
拓展11
【答案】7
【解析】
如图，连接AB1，BC1，CA1，
∵A、B分别是线段A1B，B1C的中点，
∴S△
ABB1=S△
ABC=1，
S△
A1AB1=S△
ABB1=1，
∴S△
A1BB1=S△
A1AB1+S△
ABB1=1+1=2，
同理：S△
B1CC1=2，S△
A1AC1=2，
∴△A1B1C1的面积=S△
A1BB1+S△
B1CC1+S△
A1AC1+S△
ABC=2+2+2+1=7．
故答案为：7．
拓展12
【答案】5
【解析】该题考察的是面积计算．
运用求差法：全部的面积减去空白的面积就是红色的面积．设小长方形长为2，宽为．
．
拓展13
【答案】D
【解析】该题考查的是面积问题．
在△ABC中，△AOB与△COB
同高，所以，同理可得，所以，所以，该题答案选D．
拓展14
【答案】见下图
【解析】三角形一边上的中线可以把三角形分成两个面积相等的小三角形，因此本题可以利用中线设计划分方案．
拓展15
【答案】（1），，（2）见解析
【解析】该题考查的是尺规作图．
（1）因为平行线间的距离相等，所以，，；
（2）连接MC；过AB中点D作DE//MC交BC于点E；作直线ME，ME为过点M平分三角形面积的直线．
拓展16
【答案】
【解析】∵点E为AC的中点，
∴S△ABE=S△ABC．
∵BD：CD=2：3，
∴S△ABD=S△ABC，
∵S△AOE-S△BOD=1，
∴S△ABE-S△ABD=S△ABC-S△ABC=1，
解得S△ABC=10．
故答案为：10
0