16.3
可化为一元一次方程的分式方程
第1课时
分式方程及其解法
学习目标:
1.理解分式方程的意义,会按一般步骤解可化为一元一次方程的分式方程.(重点)
2.理解增根的概念,了解增根产生的原因,知道解分式方程须验根并掌握验根的方法,了解解分式方程验根的必要性.(难点)
自主学习
一、知识链接
1.找出下列各组分式的最简公分母:
与
的最简公分母是
;
与
的最简公分母是
.
2.一元一次方程的特征是什么?
答:___________________________________________________________________.
3.解一元一次方程一般需经过哪些步骤呢?结合例题回顾.
解一元一次方程的步骤
解方程:
①去分母
解:方程两边同乘10,得
.
②去括号
去括号,得
.
③移项
移项,得
.
④合并同类项
合并同类项,得
.
⑤系数化为1
系数化为1,得
.
二、新知预习
小红家到学校的路程为18
km.小红从家去学校总是先乘坐公共汽车,下车后再步行1
km,才能到学校,路途所用时间是1
h.
已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍,求小红步行的速度.
上述问题中有哪些等量关系?
答:①_____________________+_______________________=小红上学路上的时间;
②公共汽车的速度=_______________________________;
如果设小红步行的速度为x
km/h,那么公共汽车的速度为________
km/h,根据等量关系①,可以得到方程:_______________________________;
如果设小红步行的时间为x
h,那么她乘坐公共汽车的时间为______h,根据等量关系②,可以得到方程:_______________________________;
在(2)(3)中得到的方程与我们学过的一元一次方程有什么不同?这两个方程有哪些共同特点?
答:___________________________________________________________________.
【要点归纳】像这样,方程中含有________,并且分母中含有___________的方程叫做分式方程.
合作探究
一、探究过程
探究点1:分式方程的概念
问题:方程x+(x+1)=是不是分式方程?
【典例精析】
例1
在方程①=8+;②=x;③=;④x-=0中,是分式方程的有(
)
A.①和②
B.②和③
C.③和④
D.①和④
【要点归纳】确定是不是分式方程,主要是看是否符合分式方程的概念,方程中含有分式,并且分母中含有未知数,像这样的方程才属于分式方程.
探究点2:分式方程的解法
讨论:怎样解方程?
例2
试着解下列分式方程:
;
解:方程两边同乘___________,得
去分母(乘最简公分母)
___________________.
解这个整式方程,得____________.
解整式方程
经检验,__________________________.
验根(原分式方程是否有意义)
.
解:方程两边同乘___________,得
去分母(乘最简公分母)
___________________.
解这个整式方程,得____________.
解整式方程
经检验,__________________________.
验根(原分式方程是否有意义)
【知识要点】1.解分式方程的过程,实质上是将方程的两边乘同一个整式,约去分母,把分式方程转化为整式方程来解,所乘的整式通常取方程中出现的各分母的最简公分母.
2.当解得的根使得分母的值为0时,我们把这样的根叫做分式方程的增根.此时,分式方程______.
【针对训练】1.解方程:(1);(2).
【方法总结】解分式方程的步骤:①去分母;②解整式方程;③检验;④写出方程的解.注意检验有两种方法,一是代入原方程,二是代入去分母时乘的最简公分母,一般是代入最简公分母检验.
探究点3:分式方程的增根
例3
若关于x的方程=+有增根,则增根可能为( )
A.0
B.2
C.0或2
D.1
【归纳总结】增根是使分式方程的分母为0的根,所以判断增根就应想到分式方程的最简公分母为0;注意应舍去不合题意的解.
【针对训练】2.若关于x的分式方程=1-有增根,则m的值为( )
A.-3
B.-2
C.-1
D.3
例4若关于x的分式方程+=无解,求m的值.
【归纳总结】分式方程无解与分式方程有增根所表达的意义是不一样的.分式方程有增根仅包括分式方程化为整式方程后,整式方程有解但使最简公分母为0的情况;分式方程无解不但包括分式方程有增根,而且包括整式方程无解的情况.
二、课堂小结
内容
易错提醒
分式方程的概念
方程中含有________,并且分母中含有________的方程叫做分式方程.
(1)用分式方程中的最简公分母同乘方程两边,注意不要漏乘没有分母的项,得出解后,要注意检验;
(2)分式方程无解的两种情况:①将分式方程通过“去分母”化成整式方程后,整式方程是类似“0x=1”的形式,即整式方程无解;②整式方程求得的根使得原分式方程的最简公分母等于0.
分式方程的解法
(1)去分母:在方程的两边同乘___________,化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)检验:把解得的根代入______________,如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解;否则这个解不是原分式方程的解(使最简公分母为零的解是原方程的增根).
分式方程的增根
解得的根使得分母的值为0,我们把这样的根叫做分式方程的增根,则原分式方程______.
当堂检测
1.下列关于x的方程中,是分式方程的是(
)
A.=
B.=
C.+1=
D.=1-
2.解分式方程=1时,去分母后可得到
(
)
A.x(2+x)-2(3+x)=1
B.x(2+x)-2=2+x
C.x(2+x)-2(3+x)=(2+x)(3+x)
D.x-2(3+x)=3+x
3.分式方程=0的根是
(
)
A.x=1
B.x=-1
C.x=2
D.x=-2
4.解方程:
(1);
(2).
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.(1)(x+1)(x-1)
(2)a2
-4
2.只含一个未知数;未知数的最高次数是1;等号的两边都是整式.
3.
2x-5(3-2x)=10x
2x-15+10x=10x
2x+10x-10x=15
2x=15
x=7.5
二、新知预习
(1)乘坐公共汽车的时间
步行的时间
小红步行速度的9倍
(2)9x
(3)(1-x)
(4)与一元一次方程不同的是,这两个方程中都含有分式;
这两个方程的共同特点:都含有分式,并且分母中含有未知数.
【要点归纳】
分式
未知数
合作探究
一、探究过程
探究点1:分式方程的概念
解:不是,因为方程中没有分式.
【典例精析】
例1
C
例2
(1)x(1-x)
36x=18(1-x)
x=
x=是分式方程的解
(2)x-1
x+1=-(x-3)+(x-1)
x=1
x=1不是分式方程的解,故分式方程无解
【知识要点】
2.
无解
【针对训练】1.解:(1)方程两边同乘(x-1)(x-2),得2(x-2)=x-1.
解得x=3.经检验,x=3是分式方程的解.
(2)方程两边同乘6x-2,得4-(6x-2)=3.
解得x=.经检验,x=是分式方程的解.
探究点3:分式方程的增根
例3
A
【针对训练】2.B
例4
解:将原分式方程化为整式方程,整理得(m-1)x=-10.∵原分式方程无解,∴当m-1=0,即m=1时,整式方程无解;或最简公分母x2-4=0,即x=±2,代入整式方程得m=-4或6.∴m=1或-4或6.
二、课堂小结
分式
未知数
最简公分母
最简公分母
无解
当堂检测
1.D
2.C
3.D
4.解:](1)化为整式方程,得x+1+2x(x-1)=2(x-1)(x+1),
解这个整式方程,得x=3,
经检验,x=3是分式方程的解,
故x=3.
(2)化为整式方程,得(2x+2)(x-2)-x(x+2)=x2-2,
解这个整式方程,得x=-,
经检验,x=-是分式方程的解,
故x=-.