17．1
变量与函数
第1课时
变量与函数的概念及其表示方法
学习目标：
1．掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本的概念；
2．了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系．
自主学习
一、知识链接
1．人们在认识和描述某一事物时，经常会用“量”来具体表达事物的某些特征（属性）．如：速度、时间、路程、温度、面积等，请你再写出三个“量”：
、
、
．同时用“数”来表明“量”的大小．
2．写出路程（s）、速度（v）、时间（t）之间的关系：
．
二、新知预习
阅读教材P28~30，完成下列问题：
1．小明去文具店购买一些铅笔，已知铅笔的单价为0．2元/支，总价y(元)随铅笔的数量x(支)的变化而变化，在这个问题中，变量是________________，常量是____________．
2．圆的面积S随着半径的变化而变化，已知它们的关系为：，在这个问题中，常量是
，变量是
．
【要点归纳】
变量：在某一变化过程中，可以取
的量，叫做变量．
常量：在某一变化过程中，取值始终
的量，叫做常量．
合作探究
一、探究过程
探究点1：常量与变量
问题1
如图是某日的气温变化图．
看图回答：
（1）这天的6时，10时和14时的气温分别为
，自己任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温：
；
（2）这一天中，最高气温是
，最低气温是
；
（3）这一天中，
时段的气温在逐渐升高，
时段的气温在逐渐降低；
（4）在这张图中，主要体现了哪些数量的变化？
答：
．
（5）在这张图中，你发现任意一个时刻对应的气温有几个？
答：
．
结论：从图中我们可以看到，随着
的变化，相应地
也随之变化．每一个时刻t（时），都有
的气温T（℃）与之对应．
?问题2
下表是某年中国人民银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率．观察下表：
存期x
三月
六月
一年
二年
三年
五年
年利率y(%)
1．80
2．25
2．52
3．06
3．69
4．14
?说一说：（1）在这个问题中，变化的量是
；
（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取存期x的一个确定的值，都有
的年利率y值和它对应；
（3）随着存期x的增长,相应的年利率y
．
问题3
收音机上的刻度盘上的波长和频率分别是用米（m）和千赫兹（kHz）为单位标刻的．下面是一些对应的数：
（1）在这个问题中，变化的量是
；
（2）观察上述表格，在上述变化过程中，任取波长λ的一个确定的值，频率f有
值和它对应；
（3）波长λ越大，频率f就
；
（4）试着找出频率f与波长λ的数值的关系为
，把频率f用含波长λ的代数式表示为
f
=
．
问题4
（1）圆的面积：如果用r表示圆的半径,S表示圆面积,则S与r之间满足下列关系:S=
.
（2）利用这个关系式,试求出半径为1cm,1.5
cm,2
cm,3
cm,4
cm时圆的面积,并将结果填入下表：（保留π）
半径r(cm)
1
1.5
2
3
4
…
圆面积S(cm2)
…
（3）由此我们可以发现：在这个问题中变化的量有
个,它们是
，圆的半径越大，它的面积就
．
（4）在上述变化过程中，任取圆半径r的一个确定的值，其面积S有
的值和它对应.
【要点归纳】在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些
规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生
的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t（时）和气温T(℃)，
随着
的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取
量，叫做变量(variable)．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终
，我们称之为常量，如问题3中的300
000，问题4中的π等．
探究点2：函数的有关概念
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x和y，对于x的每一个值，y都有
的值与之对应，我们就说x是
，y是
，此时也称y是x的函数．例如：
问题1的自变量是
，因变量是
，也称
是
的函数．
问题2的自变量是
，因变量是
，也称
是
的函数．
问题3的自变量是
，因变量是
，也称
是
的函数．
问题4的自变量是
，因变量是
，也称
是
的函数．
例1写出下列问题中的函数关系式,并指出其中的常量与变量．
（1）等腰三角形的顶角度数y与底角度数x的关系式；
（2）时速为110千米的火车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(小时)之间的关系式；
（3）底边长为10的三角形的面积S与高h之间的关系式；
（4）某种弹簧原长为20厘米,每挂物体1千克,伸长0．2厘米,挂上物体后的长度l(厘米)与所挂的物体的重量m(千克)之间的关系式；
（5）某种饮水机盛满20升水,打开阀门每分钟可流出0．2升水,饮水机中剩余水量V(升)与放水时间t(分)之间的关系式．
例2指出下列关系式中，哪些y是x的函数？哪些不是？说出你的理由．
（1）xy=2；(2)y2＝x；（3）x+y=5；（4）│y│=3x+1；（5）y=x2-4x+5；（6）y=│x│．
【针对训练】下列关于变量x
，y
的关系式：①y
=2x+3；②y
=x2+3；③y
=2|x|；④y2-3x=10，其中表示y
是x
的函数的是
．（填序号）
探究点3：函数的表示方式
表示函数关系的方法通常有三种：
(1)
，如问题3中的，问题4中的S＝π
r2，函数关系是用表达式表示的，它们又称函数关系式．
(2)
，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率的关系表．
(3)
，如问题1中的气温曲线．
二、课堂小结
常量与变量的概念
变量
在某一变化过程中，可以取不同值的量，叫做变量．
常量
在某一变化过程中，取值始终保持不变的量，叫做常量．
函数的概念
一般地，在一个变化过程中，有两个变量x与y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，我们就说x是自变量，y是因变量，y是x的函数．
函数的表示方法
解析法、列表法、图象法
当堂检测
1．下列说法中，不正确的是（
）
A．函数不是数，而是一种关系
B．多边形的内角和是边数的函数
C．一天中时间是温度的函数
D．一天中温度是时间的函数
2．下列关系中，y不是x的函数的是(
)
3．最近中旗连降雨雪，德岭山水库水位上涨．如图表示某一天水位变化情况，0时的水位为警戒水位．结合图象判断下列叙述不正确的是（
）
A．8时水位最高
B．P点表示12时水位为0．6米
C．8时到16时水位都在下降
D．这一天水位均高于警戒水位
4．设路程为s(km)，时间为t(h)，速度为v(km/h)，当v=60时，路程和时间的关系式为
，这个关系式中，
是常量，
是变量，
是
的函数．
5．下表是某市2020年统计的该市女学生各年龄组的平均身高．
(1)从表中你能看出该市14岁的女学生的平均身高是
；
(2)该市女学生的平均身高从
岁开始迅速增加；
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量？哪个是因变量？
6.分别写出下列各问题中的关系式，并指出各关系式中的常量和变量．
（1）如果直角三角形中一个锐角的度数为α，另一个锐角的度数β与α之间的关系；
（2）一支蜡烛原长为20
cm，每分钟燃烧0.5
cm，点燃x（分钟）后，蜡烛的长度y（cm）与x（分钟）之间的关系；
（3）有一边长为2
cm的正方形，若边长增加x
cm，则增加的面积y（cm2）与x之间的关系．
参考答案
自主学习
一、知识链接
1．长度
体积
质量
2．s=vt
二、新知预习
1．总价，铅笔的数量
铅笔的单价
2．π
S，r
【要点归纳】不同数值
保持不变
合作探究
一、探究过程
探究点1：常量与变量
问题1
-1℃，
2℃，
5℃
8时的气温为0℃
5℃
-3℃
3时~14时
0时~3时，14时~24时
时间和气温的变化
任意一个时刻对应的气温只有1个
结论：时间
气温
唯一
问题2
年利率y，存期x
唯一
随之增长
问题3
波长λ，频率f
唯一
越小
f·λ=300000
问题4
πr2
π
2.25π
4π
9π
16π
2
半径r、圆的面积S
越大
唯一
【要点归纳】变化
改变
气温T
时间t
不同数值
保持不变
探究点2：函数的有关概念
唯一
自变量
因变量
t
T
T
t
x
y
y
x
λ
f
f
λ
r
S
S
r
例1解:（1）y=180-2x．常量：-2,180；变量：底角度数x，顶角度数y.
（2）s=110t．常量：110；变量：路程s，时间t.
（3）S=5h．常量：5；变量：面积S，高h.
（4）l=20+0.2m．常量：20,0.2；变量：长度l，所挂物体的重量m.
（5）V=20-0.2t．常量：20,-0.2；变量：剩余水量V，放水时间t.
例2解：（1）（3）（5）（6）中y是x的函数，(2)（4）中y不是x的函数.因为(2)（4）中一个x的值可以对应两个y的值.
【针对训练】①
②
③
探究点3：函数的表示方式
解析法
（2）列表法
（3）图象法
当堂检测
1.C
2.C
3.C
4.s=60t
60
s，t
s
t
5.解：（1）146.1
cm
（2）12
（3）上表反映了年龄组与女生平均身高之间的关系，年龄组是自变量，女生平均身高是因变量.
6.解：（1）β=90°-α，90°是常量，α、β是变量．
（2）y=20-0.5x，20，-0.5是常量，x，y是变量．
（3）y=（2+x）2-22=4+4x+x2-4=x2+4x，4是常量，x，y是变量．第2课时
求自变量的取值范围与函数值
学习目标：1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制.（重点）
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
自主学习
一、知识链接
写出使下列代数式有意义的字母的取值范围：
（1）使整式有意义的条件是
；
（2）使分式有意义的条件是
；
（3）在实际问题中，字母的取值还必须
.
合作探究
一、探究过程
探究点1：函数自变量的取值范围
问题1
填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向的加数用y表示，试写出y与x的函数关系式．
问题2
试写出一个边长为5
cm的正方形，当边长减少x（cm）时，得到的新正方形的周长y（cm）与x（cm）之间的函数关系式．
问题3
如图，等腰直角△ABC的直角边长与正方形MNPQ的边长均为10
cm，AC与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N点重合．试写出重叠部分面积y（cm2）与MA长度x（
cm）之间的函数关系式．
思考：在上面问题所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
解：问题1，自变量x的取值范围是：
；
问题2，自变量x的取值范围是：
；
问题3，自变量x的取值范围是：
．
【要点归纳】上面例子中的函数,都是用
法表示的,在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，则必须使实际问题有意义．
例如，函数解析式S＝πR2中自变量R的取值范围是
，如果式子表示圆面积S与圆半径R的关系，那么自变量R的取值范围就应该是
．
例1求下列函数中自变量x的取值范围：
(1)
y＝3x－1； (2)
y＝2x2＋7；
(3)．
例2分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
（1）某市用电费用标准为每度0.50元，求电费y（元）关于用电度数x的函数关系式；
（2）已知等腰三角形的面积为20cm2，设它的底边长为x（cm），求底边上的高y（cm）关于x的函数关系式；
（3）在一个半径为10
cm的圆形纸片中剪去一个半径为r（cm）的同心圆，得到一个圆环.设圆环的面积为S（cm2），求S关于r的函数关系式.
【方法总结】1.求函数自变量取值范围的两个依据：
(1)要使函数的解析式有意义.
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0.
(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义.
探究点2：函数值
对于函数
y＝x(30－x)，当自变量x＝5时，对应的函数值
y＝5×(30－5)＝5×25＝125．
叫做这个函数当x＝5时的函数值．
例3
已知函数.
(1)求当x=2，3，-3时，函数的值；
(2)求当x取什么值时，函数的值为0.
【针对训练】求函数的相应值.
(1)当=3时，=
；
(2)当=0时，=
.
【方法总结】求函数值时，直接把自变量的值带入函数关系式中计算即可；求自变量的值，需把函数值带入函数关系式中，得到关于自变量的方程，然后解方程.
二、课堂小结
内容
求自变量的取值范围
1.使函数关系式有意义；2.符合实际意义.
求函数值的方法
把所给出的自变量的值代入函数关系式中，即可求出相应的函数值.
当堂检测
1.函数的自变量的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D.
2.对于函数,当时，函数值为
.
3.油箱中有油30
kg,油从管道中匀速流出，1
h流完，则油箱中剩余油量Q（kg）与流出时间t（min）之间的函数关系式是
，自变量t的取值范围是
.
4.求下列函数中自变量x的取值范围：
（1）y=；
（2）y=x2-x-2；
（3）y=.
5.等腰三角形的周长是16cm，底边长cm，腰长cm.写出底边长与腰长的函数关系式，并指出自变量的取值范围.（注意三角形的三边关系）
6.在长方形ABCD中，AD=10㎝，AB=4㎝，点P是AD上的任意一点，设AP的长为㎝，△PCD的面积为S㎝2，
（1）请写出S与x之间的函数关系式；
（2）指出自变量的取值范围；
（3）求=3时的函数值.
参考答案
自主学习
知识链接
（1）a为任意实数
（2）a≠1
（3）符合实际意义
合作探究
一、探究过程
探究点1：函数自变量的取值范围
问题1
解：图略.y与x的函数关系式为y=10-x.
问题2
解：y=20-4x.
问题3
解：.
思考：0＜x＜10且x为整数
0≤x≤5
0≤x≤10
【要点归纳】解析
R为任意实数
R≥0
【典例精析】
例1
解：（1）x为任意实数.（2）x为任意实数.（3）x≠-2.
例2
解：（1）y=0.50x(x≥0).（2）(x＞0).（3）S=100π-πr2(
0≤r≤10
).
探究点2：函数值：
125
例3
解：（1）当x=2时，y=2；当x=3时，y=2.5；当y=-3时，y=7.
（2）令y=0，即4x-2=0，解得x=0.5满足x≠-1.故当x=0.5时，函数的值为0.
【针对训练】（1）3
（2）
当堂检测
1.B
2.25
3.Q=30-0.5t
0≤t≤60
4.解：（1）x取任意实数.（2）x取任意实数.（3）x≠-2.
5.解：y=16-2x.因为三角形任意两边之和大于第三边，所以有2x>y，
即2x>16-2x.解得x>4.且2x<16，即x<8，故自变量x的取值范围为4＜x＜8.
6.解：（1）S=2(10-x).
（2）0≤x≤10.
（3）当=3时，S=14.
